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5. 已知单项式$-ax^{3}y^{a}$与$\frac{1}{b}x^{b - 3}y^{3}$是同类项，则这两个单项式的积是
$-\frac {1}{2}x^{6}y^{6}$
。答案
5. $-\frac {1}{2}x^{6}y^{6}$
解析
因为单项式$-ax^{3}y^{a}$与$\frac{1}{b}x^{b - 3}y^{3}$是同类项，所以相同字母的指数相同，即$a = 3$，$b - 3 = 3$，解得$b = 6$。
则这两个单项式分别为$-3x^{3}y^{3}$与$\frac{1}{6}x^{3}y^{3}$，它们的积为：
$(-3x^{3}y^{3}) × (\frac{1}{6}x^{3}y^{3}) = (-3 × \frac{1}{6})x^{3 + 3}y^{3 + 3} = -\frac{1}{2}x^{6}y^{6}$
$-\frac{1}{2}x^{6}y^{6}$
则这两个单项式分别为$-3x^{3}y^{3}$与$\frac{1}{6}x^{3}y^{3}$，它们的积为：
$(-3x^{3}y^{3}) × (\frac{1}{6}x^{3}y^{3}) = (-3 × \frac{1}{6})x^{3 + 3}y^{3 + 3} = -\frac{1}{2}x^{6}y^{6}$
$-\frac{1}{2}x^{6}y^{6}$
6. 计算：$(2a^{-3})^{-2}· (bc^{-1})^{3}=$
$\frac {1}{4}a^{6}b^{3}c^{-3}$
。答案
6. $\frac {1}{4}a^{6}b^{3}c^{-3}$
解析
$(2a^{-3})^{-2}· (bc^{-1})^{3}$
$=2^{-2}a^{(-3)×(-2)}·b^{3}c^{(-1)×3}$
$=\frac{1}{4}a^{6}b^{3}c^{-3}$
$=2^{-2}a^{(-3)×(-2)}·b^{3}c^{(-1)×3}$
$=\frac{1}{4}a^{6}b^{3}c^{-3}$
7. 一个长方体的长为$8× 10^{7}$cm，宽为$6× 10^{5}$cm，高为$5× 10^{9}$cm。求这个长方体的体积。
能力提高
能力提高
答案
7. 解:这个长方体的体积为$(8×10^{7})×(6×10^{5})×(5×10^{9})=2.4×10^{23}(cm^{3})$。
解析
解:这个长方体的体积为$(8× 10^{7})×(6× 10^{5})×(5× 10^{9})$
$=(8×6×5)×(10^{7}×10^{5}×10^{9})$
$=240×10^{21}$
$=2.4×10^{23}(cm^{3})$
$=(8×6×5)×(10^{7}×10^{5}×10^{9})$
$=240×10^{21}$
$=2.4×10^{23}(cm^{3})$
8. 计算：
(1) $-6a^{2}b· (\frac{1}{2}abc)$；
(2) $2x· 9x^{2}y^{2}· (-x^{2}y)$；
(3) $15x^{2}y· 2xy^{2}· (-x^{2}y^{3})$；
(4) $\frac{1}{3}a^{2}b^{2}c· (-9a^{2}b^{2})· (-2ab^{4})$；
(5) $\frac{1}{2}x· (-x^{2})· (-2x^{2})^{3}$；
(6) $(-\frac{1}{2}axy^{2})^{3}· (-4ay^{3})^{2}$。
(1) $-6a^{2}b· (\frac{1}{2}abc)$；
(2) $2x· 9x^{2}y^{2}· (-x^{2}y)$；
(3) $15x^{2}y· 2xy^{2}· (-x^{2}y^{3})$；
(4) $\frac{1}{3}a^{2}b^{2}c· (-9a^{2}b^{2})· (-2ab^{4})$；
(5) $\frac{1}{2}x· (-x^{2})· (-2x^{2})^{3}$；
(6) $(-\frac{1}{2}axy^{2})^{3}· (-4ay^{3})^{2}$。
答案
8. (1)$-3a^{3}b^{2}c$ (2)$-18x^{5}y^{3}$ (3)$-30x^{5}y^{6}$
(4)$6a^{5}b^{8}c$ (5)$4x^{9}$ (6)$-2a^{5}x^{3}y^{12}$
(4)$6a^{5}b^{8}c$ (5)$4x^{9}$ (6)$-2a^{5}x^{3}y^{12}$
解析
【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路：①单项式相乘时，先将系数相乘确定积的系数，再把同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式；②若算式中有乘方运算，需先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方，再进行单项式的乘法运算；③计算时要注意符号的处理，避免指数计算错误。
【解析】
(1) 原式 = (-6 × 1/2) · a^(2+1) · b^(1+1) · c = -3a³b²c；
(2) 原式 = (2 × 9 × (-1)) · x^(1+2+2) · y^(2+1) = -18x⁵y³；
(3) 原式 = (15 × 2 × (-1)) · x^(2+1+2) · y^(1+2+3) = -30x⁵y⁶；
(4) 原式 = (1/3 × (-9) × (-2)) · a^(2+2+1) · b^(2+2+4) · c = 6a⁵b⁸c；
(5) 先算乘方：(-2x²)³ = (-2)³ · (x²)³ = -8x⁶，
原式 = (1/2 × (-1) × (-8)) · x^(1+2+6) = 4x⁹；
(6) 先算乘方：(-1/2 axy²)³ = (-1/2)³ · a³ · x³ · (y²)³ = -1/8 a³x³y⁶，
(-4ay³)² = (-4)² · a² · (y³)² = 16a²y⁶，
原式 = (-1/8 × 16) · a^(3+2) · x³ · y^(6+6) = -2a⁵x³y¹²；
【答案】
(1) -3a³b²c；(2) -18x⁵y³；(3) -30x⁵y⁶；(4) 6a⁵b⁸c；(5) 4x⁹；(6) -2a⁵x³y¹²
【知识点】
单项式乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题为单项式乘法的基础运算题，核心是掌握单项式相乘的法则（系数相乘、同底数幂指数相加），以及幂的乘方、积的乘方的运算规则，易错点在于符号的判断和指数的计算，整体难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
【解析】
(1) 原式 = (-6 × 1/2) · a^(2+1) · b^(1+1) · c = -3a³b²c；
(2) 原式 = (2 × 9 × (-1)) · x^(1+2+2) · y^(2+1) = -18x⁵y³；
(3) 原式 = (15 × 2 × (-1)) · x^(2+1+2) · y^(1+2+3) = -30x⁵y⁶；
(4) 原式 = (1/3 × (-9) × (-2)) · a^(2+2+1) · b^(2+2+4) · c = 6a⁵b⁸c；
(5) 先算乘方：(-2x²)³ = (-2)³ · (x²)³ = -8x⁶，
原式 = (1/2 × (-1) × (-8)) · x^(1+2+6) = 4x⁹；
(6) 先算乘方：(-1/2 axy²)³ = (-1/2)³ · a³ · x³ · (y²)³ = -1/8 a³x³y⁶，
(-4ay³)² = (-4)² · a² · (y³)² = 16a²y⁶，
原式 = (-1/8 × 16) · a^(3+2) · x³ · y^(6+6) = -2a⁵x³y¹²；
【答案】
(1) -3a³b²c；(2) -18x⁵y³；(3) -30x⁵y⁶；(4) 6a⁵b⁸c；(5) 4x⁹；(6) -2a⁵x³y¹²
【知识点】
单项式乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题为单项式乘法的基础运算题，核心是掌握单项式相乘的法则（系数相乘、同底数幂指数相加），以及幂的乘方、积的乘方的运算规则，易错点在于符号的判断和指数的计算，整体难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
9. 已知$x = 4$，$y = -\frac{1}{8}$，求$\frac{1}{7}xy^{2}· 14(xy)^{2}· \frac{1}{4}x^{5}$的值。
答案
9. 解:原式$=\frac {1}{2}x^{8}y^{4}=\frac {1}{2}×4^{8}×(-\frac {1}{8})^{4}$
$=\frac {1}{2}×16^{4}×(-\frac {1}{8})^{4}=\frac {1}{2}×(-\frac {1}{8}×16)^{4}$
$=\frac {1}{2}×(-2)^{4}=\frac {1}{2}×2^{4}=2^{3}=8$。
$=\frac {1}{2}×16^{4}×(-\frac {1}{8})^{4}=\frac {1}{2}×(-\frac {1}{8}×16)^{4}$
$=\frac {1}{2}×(-2)^{4}=\frac {1}{2}×2^{4}=2^{3}=8$。
解析
【分析】本题是整式的乘法运算，解题思路为：先根据单项式乘单项式的法则，结合同底数幂的乘法、积的乘方的运算性质化简原式，得到最简形式后，再代入给定的x、y的值进行计算，即可得出结果。
【解析】解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{7}xy^{2}·14·x^{2}y^{2}·\frac{1}{4}x^{5}\\&=(\frac{1}{7}×14×\frac{1}{4})·(x·x^{2}·x^{5})·(y^{2}·y^{2})\\&=\frac{1}{2}x^{8}y^{4}\end{aligned}$
将$x=4$，$y=-\frac{1}{8}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×4^{8}×(-\frac{1}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×(4^{2})^{4}×(\frac{1}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×16^{4}×(\frac{1}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{16}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×2^{4}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
【答案】8
【知识点】单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方
【点评】本题考查整式乘法的基本运算，需熟练掌握单项式乘单项式法则及幂的运算性质，化简后代入数值计算即可，属于基础题型，计算时注意符号和幂的运算细节。
【难度系数】0.6
【解析】解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{7}xy^{2}·14·x^{2}y^{2}·\frac{1}{4}x^{5}\\&=(\frac{1}{7}×14×\frac{1}{4})·(x·x^{2}·x^{5})·(y^{2}·y^{2})\\&=\frac{1}{2}x^{8}y^{4}\end{aligned}$
将$x=4$，$y=-\frac{1}{8}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×4^{8}×(-\frac{1}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×(4^{2})^{4}×(\frac{1}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×16^{4}×(\frac{1}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×(\frac{16}{8})^{4}\\&=\frac{1}{2}×2^{4}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
【答案】8
【知识点】单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方
【点评】本题考查整式乘法的基本运算，需熟练掌握单项式乘单项式法则及幂的运算性质，化简后代入数值计算即可，属于基础题型，计算时注意符号和幂的运算细节。
【难度系数】0.6
10. 求图中阴影部分的面积。
答案
10. 解:阴影部分的面积为$2×a×a+2×2.5a×a+3×3a×a+2.5a×3a=23.5a^{2}$。
解析
【分析】
计算阴影部分面积时，可将不规则的阴影图形分割为多个规则的长方形，分别确定每个长方形的长和宽，利用长方形面积公式（面积=长×宽）计算各部分面积，再将它们相加，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
将阴影部分拆分为4类规则长方形，分别计算面积后求和：
1. 上下两个小长方形：每个长为$a$，宽为$a$，总面积为$2 × a × a = 2a^2$；
2. 左右两个竖长方形：每个长为$2.5a$，宽为$a$，总面积为$2 × 2.5a × a = 5a^2$；
3. 底部三个小长方形：每个长为$3a$，宽为$a$，总面积为$3 × 3a × a = 9a^2$；
4. 中间的竖长方形：长为$2.5a$，宽为$3a$，面积为$2.5a × 3a = 7.5a^2$；
将各部分面积相加：$2a^2 + 5a^2 + 9a^2 + 7.5a^2 = 23.5a^2$。
【答案】
$23.5a^2$
【知识点】
长方形面积计算、整式乘法
【点评】
本题通过分割法将不规则图形转化为规则图形求解，考查了长方形面积公式的应用，是基础的几何面积计算问题，需要学生具备图形拆分的能力。
【难度系数】
0.6
计算阴影部分面积时，可将不规则的阴影图形分割为多个规则的长方形，分别确定每个长方形的长和宽，利用长方形面积公式（面积=长×宽）计算各部分面积，再将它们相加，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
将阴影部分拆分为4类规则长方形，分别计算面积后求和：
1. 上下两个小长方形：每个长为$a$，宽为$a$，总面积为$2 × a × a = 2a^2$；
2. 左右两个竖长方形：每个长为$2.5a$，宽为$a$，总面积为$2 × 2.5a × a = 5a^2$；
3. 底部三个小长方形：每个长为$3a$，宽为$a$，总面积为$3 × 3a × a = 9a^2$；
4. 中间的竖长方形：长为$2.5a$，宽为$3a$，面积为$2.5a × 3a = 7.5a^2$；
将各部分面积相加：$2a^2 + 5a^2 + 9a^2 + 7.5a^2 = 23.5a^2$。
【答案】
$23.5a^2$
【知识点】
长方形面积计算、整式乘法
【点评】
本题通过分割法将不规则图形转化为规则图形求解，考查了长方形面积公式的应用，是基础的几何面积计算问题，需要学生具备图形拆分的能力。
【难度系数】
0.6
