单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

知识点 系数 相同字母的幂

【分析】本题考查单项式与单项式相乘的运算法则，解题时需准确回忆该法则的具体内容，明确单项式相乘时各组成部分的处理规则，从而确定填空内容。
【解析】单项式与单项式相乘的运算法则为：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
【答案】系数；相同字母的幂
【知识点】单项式乘单项式法则
【点评】本题属于基础概念类题目，直接考查单项式乘法法则的核心内容，侧重对基础知识的记忆与掌握，难度较低。
【难度系数】0.7

例 1 计算：$4ab^{2}· (-\frac{3}{8}a^{2}bc^{3})$。

$4ab^{2}· (-\frac{3}{8}a^{2}bc^{3})$
$=4×(-\frac{3}{8})·(a·a^{2})·(b^{2}·b)·c^{3}$
$=-\frac{3}{2}a^{3}b^{3}c^{3}$

【分析】本题是单项式乘单项式的运算，解题思路：根据单项式与单项式相乘的运算法则，先计算系数的乘积，再分别计算同底数幂的乘积，只在一个单项式中出现的字母连同其指数作为积的一个因式，最后整理得到结果。
【解析】$4ab^{2}· (-\frac{3}{8}a^{2}bc^{3})$
$=4×(-\frac{3}{8})·(a·a^{2})·(b^{2}·b)·c^{3}$
$=-\frac{3}{2}a^{3}b^{3}c^{3}$
【答案】$-\frac{3}{2}a^{3}b^{3}c^{3}$
【知识点】单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】本题考查单项式乘单项式的基础运算，核心是掌握运算法则，计算时需注意系数的符号和同底数幂相乘的指数相加规则，属于整式运算的基础题型。
【难度系数】0.8

例 2 已知单项式$-3x^{a}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{3}y^{b}$是同类项，求这两个单项式的积。

由同类项定义，得$a = 3$，$b = 2$。
$(-3x^{3}y^{2})·(\frac{1}{3}x^{3}y^{2})$
$=(-3×\frac{1}{3})·(x^{3}·x^{3})·(y^{2}·y^{2})$
$=-1·x^{3 + 3}·y^{2 + 2}$
$=-x^{6}y^{4}$
答案：$-x^{6}y^{4}$

【分析】
要解决这个问题，首先利用同类项的定义确定字母的指数，再根据单项式乘单项式的运算法则计算两个单项式的乘积。同类项的核心是“相同字母的指数相同”，据此可求出a、b的值，再按“系数相乘、同底数幂分别相乘（指数相加）”的规则计算乘积。
【解析】
1. 根据同类项定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得$a = 3$，$b = 2$。
2. 计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}(-3x^{3}y^{2})·(\frac{1}{3}x^{3}y^{2})&=(-3×\frac{1}{3})·(x^{3}·x^{3})·(y^{2}·y^{2})\\&=-1·x^{3+3}·y^{2+2}\\&=-x^{6}y^{4}\end{aligned}$
【答案】
$-x^{6}y^{4}$
【知识点】
同类项、单项式乘单项式
【点评】
本题是基础题型，主要考查同类项的定义和单项式乘法运算，解题关键是先利用同类项定义确定字母指数，再正确运用单项式乘法法则计算，难度较低。
【难度系数】
0.7

【变式训练 2】 已知等式$(a^{m + 1}b^{n + 2})· (a^{2m}b^{2n - 1}) = a^{4}b^{7}$，则$m + n=$。

变式训练2 3

$(a^{m + 1}b^{n + 2})· (a^{2m}b^{2n - 1}) = a^{(m+1)+2m}b^{(n+2)+(2n-1)} = a^{3m+1}b^{3n+1}$，
因为等式右边为$a^{4}b^{7}$，所以可得方程组：
$\begin{cases}3m + 1 = 4 \\ 3n + 1 = 7\end{cases}$
解第一个方程：$3m = 4 - 1 = 3$，$m = 1$
解第二个方程：$3n = 7 - 1 = 6$，$n = 2$
所以$m + n = 1 + 2 = 3$
3

1. 下列计算正确的是 ()

A.$4a^{4}· 2a^{2} = 8a^{8}$
B.$y^{4}· 3y^{3} = 3y^{7}$
C.$3x^{3}· 4x^{3} = 12x^{3}$
D.$3y^{3}· 5y^{4} = 15y^{12}$

1. B

【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，核心是同底数幂的乘法法则。解题时需先回忆法则：单项式相乘，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；再逐个计算各选项的结果，对比后选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的法则逐一分析选项：
选项A：系数计算为$4×2=8$，同底数幂部分$a^4·a^2=a^{4+2}=a^6$，结果应为$8a^6$，而非$8a^8$，错误；
选项B：系数计算为$1×3=3$，同底数幂部分$y^4·y^3=y^{4+3}=y^7$，结果为$3y^7$，正确；
选项C：系数计算为$3×4=12$，同底数幂部分$x^3·x^3=x^{3+3}=x^6$，结果应为$12x^6$，而非$12x^3$，错误；
选项D：系数计算为$3×5=15$，同底数幂部分$y^3·y^4=y^{3+4}=y^7$，结果应为$15y^7$，而非$15y^{12}$，错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考查单项式乘法法则的应用，需注意同底数幂相乘时指数相加，避免指数相乘的常见错误，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.7

2. 下列各式中，化简结果为$2a^{6}$的是 ()

A.$2a^{2}· a^{4}$
B.$(a^{3})^{2}$
C.$2a^{2}· a^{3}$
D.$a^{3}· a^{3}$

2. A

【分析】
要解决这道题，需运用幂的运算性质分别计算每个选项的结果，再筛选出化简结果为$2a^6$的选项。核心是牢记两个幂的运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加（$a^m·a^n=a^{m+n}$）；②幂的乘方，底数不变，指数相乘（$(a^m)^n=a^{mn}$），同时注意系数的处理。
【解析】
根据幂的运算性质，逐一计算各选项：
选项A：$2a^2·a^4 = 2×a^{2+4} = 2a^6$，符合要求；
选项B：$(a^3)^2 = a^{3×2} = a^6$，无系数2，不符合；
选项C：$2a^2·a^3 = 2×a^{2+3} = 2a^5$，指数和为5，不符合；
选项D：$a^3·a^3 = a^{3+3} = a^6$，无系数2，不符合；
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的基本运算，属于整式运算的基础题型，需熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则，注意区分系数与指数的运算规则，避免因混淆法则出错。
【难度系数】
0.7

3. 下列计算正确的是 ()

A.$2a^{2} + 3a^{2} = 5a^{4}$
B.$2a^{3}· (-3a^{2}) = -6a^{6}$
C.$(-m)^{2}· (-n^{6}) = -m^{2}n^{6}$
D.$4a^{2}b^{6}· (-3a) = 12a^{2}b^{6}$

3. C

【分析】本题需根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则逐一分析各选项，判断计算结果是否正确，从而选出正确答案。
【解析】
选项A：根据合并同类项法则，同类项相加时系数相加，字母及指数不变，$2a^2 + 3a^2 = (2+3)a^2 = 5a^2 ≠ 5a^4$，故A错误；
选项B：根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘底数不变指数相加，$2a^3·(-3a^2) = [2×(-3)]·a^{3+2} = -6a^5 ≠ -6a^6$，故B错误；
选项C：先计算幂的乘方，$(-m)^2 = m^2$，再计算单项式乘法，$m^2·(-n^6) = -m^2n^6$，计算正确，故C正确；
选项D：根据单项式乘单项式法则，$4a^2b^6·(-3a) = [4×(-3)]·a^{2+1}b^6 = -12a^3b^6 ≠ 12a^2b^6$，故D错误。
【答案】C
【知识点】合并同类项、单项式乘单项式
【点评】本题考查整式的基础运算，需熟练掌握合并同类项法则和单项式乘单项式法则，注意同底数幂的指数运算规则及符号处理，避免出现指数相加错误或符号错误。
【难度系数】0.6

4. 填空：
(1) $(-3x^{2}y)· (\frac{1}{3}xy^{2})=$；
(2) $4a^{2}x^{4}· (-3ay)=$；
(3) $(-a^{2})· (-a^{3}) + a^{5}=$；
(4) $\frac{1}{4}x^{2}· (2x)^{3}=$。

4. (1)$-x^{3}y^{3}$ (2)$-12a^{3}x^{4}y$
(3)$2a^{5}$ (4)$2x^{5}$

【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路为：①单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），单独字母连同指数作为积的因式；②有乘方运算时，先按积的乘方法则计算乘方，再进行乘法运算；③有同类项时需合并同类项。计算时需注意符号处理和指数运算规则。
【解析】
(1) 根据单项式乘单项式法则：
$(-3x^{2}y)· (\frac{1}{3}xy^{2}) = (-3×\frac{1}{3})·(x^2·x)·(y·y^2) = -1·x^{2+1}·y^{1+2} = -x^3y^3$；
(2) 同理：
$4a^{2}x^{4}· (-3ay) = (4×-3)·(a^2·a)·x^4·y = -12·a^{2+1}·x^4·y = -12a^3x^4y$；
(3) 先算同底数幂相乘，再合并同类项：
$(-a^{2})· (-a^{3}) + a^{5} = (-1×-1)·(a^2·a^3) + a^5 = a^{5} + a^5 = 2a^5$；
(4) 先算积的乘方，再算单项式乘单项式：
$(2x)^3 = 2^3·x^3 = 8x^3$，
则$\frac{1}{4}x^{2}· (2x)^{3} = \frac{1}{4}x^2·8x^3 = (\frac{1}{4}×8)·x^{2+3} = 2x^5$；
【答案】
(1)$-x^{3}y^{3}$；(2)$-12a^{3}x^{4}y$；(3)$2a^{5}$；(4)$2x^{5}$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，主要考察单项式乘单项式、同底数幂相乘及合并同类项的运算法则，难度较低，是掌握整式运算的关键基础，需注意符号和指数的正确运算。
【难度系数】
0.8