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1. 下列计算正确的是(
A.$ a^{2n} ÷ a^{n} = a^{2} $
B.$ a^{2n} ÷ a^{2} = a^{n} $
C.$ (xy)^{5} ÷ (xy^{3}) = (xy)^{2} $
D.$ x^{10} ÷ (x^{4} ÷ x^{2}) = x^{8} $
D
)A.$ a^{2n} ÷ a^{n} = a^{2} $
B.$ a^{2n} ÷ a^{2} = a^{n} $
C.$ (xy)^{5} ÷ (xy^{3}) = (xy)^{2} $
D.$ x^{10} ÷ (x^{4} ÷ x^{2}) = x^{8} $
答案
1. D
解析
【分析】本题考查同底数幂的除法法则及整式混合运算，解题思路是根据幂的运算法则，逐个计算每个选项的结果，判断是否与选项给出的结果一致，从而选出正确答案。
【解析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，$a≠0$，$m、n$为正整数且$m＞n$），结合运算顺序逐个分析选项：
选项A：$a^{2n} ÷ a^n = a^{2n - n} = a^n ≠ a^2$，计算错误；
选项B：$a^{2n} ÷ a^2 = a^{2n - 2} ≠ a^n$，计算错误；
选项C：$(xy)^5 ÷ (xy^3) = x^5 y^5 ÷ (x y^3) = x^{5-1} y^{5-3} = x^4 y^2 ≠ (xy)^2 = x^2 y^2$，计算错误；
选项D：先算括号内：$x^4 ÷ x^2 = x^{4-2} = x^2$，再算除法：$x^{10} ÷ x^2 = x^{10-2} = x^8$，计算正确。
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法、整式的混合运算
【点评】本题属于基础幂运算题目，核心是掌握同底数幂的除法法则，运算时需注意指数变化与运算顺序，避免指数计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，$a≠0$，$m、n$为正整数且$m＞n$），结合运算顺序逐个分析选项：
选项A：$a^{2n} ÷ a^n = a^{2n - n} = a^n ≠ a^2$，计算错误；
选项B：$a^{2n} ÷ a^2 = a^{2n - 2} ≠ a^n$，计算错误；
选项C：$(xy)^5 ÷ (xy^3) = x^5 y^5 ÷ (x y^3) = x^{5-1} y^{5-3} = x^4 y^2 ≠ (xy)^2 = x^2 y^2$，计算错误；
选项D：先算括号内：$x^4 ÷ x^2 = x^{4-2} = x^2$，再算除法：$x^{10} ÷ x^2 = x^{10-2} = x^8$，计算正确。
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法、整式的混合运算
【点评】本题属于基础幂运算题目，核心是掌握同底数幂的除法法则，运算时需注意指数变化与运算顺序，避免指数计算错误。
【难度系数】0.7
2. 某种球状细胞的直径为 $ 0.000\ 001\ 56\ \mathrm{m} $。这个数用科学记数法表示是(
A.$ 156 × 10^{-8} $
B.$ 15.6 × 10^{-7} $
C.$ 1.56 × 10^{-5} $
D.$ 1.56 × 10^{-6} $
D
)A.$ 156 × 10^{-8} $
B.$ 15.6 × 10^{-7} $
C.$ 1.56 × 10^{-5} $
D.$ 1.56 × 10^{-6} $
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为负整数，$n$的绝对值等于原数中左边第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。我们先确定原数$0.00000156$中左边第一个非零数字是1，它前面有6个零，据此确定$a$和$n$的值，再对应选项即可得出答案。
【解析】
绝对值小于1的数用科学记数法表示时，需满足$1≤|a|＜10$，$n$为负整数，$n$的绝对值是原数左边第一个非零数字前零的个数。对于$0.00000156$，左边第一个非零数字是1，其前面共有6个零，因此$a=1.56$，$n=-6$，该数的科学记数法表示为$1.56×10^{-6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法（表示较小的数）
【点评】
本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，属于基础题型，只要牢记科学记数法的规则即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为负整数，$n$的绝对值等于原数中左边第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。我们先确定原数$0.00000156$中左边第一个非零数字是1，它前面有6个零，据此确定$a$和$n$的值，再对应选项即可得出答案。
【解析】
绝对值小于1的数用科学记数法表示时，需满足$1≤|a|＜10$，$n$为负整数，$n$的绝对值是原数左边第一个非零数字前零的个数。对于$0.00000156$，左边第一个非零数字是1，其前面共有6个零，因此$a=1.56$，$n=-6$，该数的科学记数法表示为$1.56×10^{-6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法（表示较小的数）
【点评】
本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，属于基础题型，只要牢记科学记数法的规则即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 计算 $ (-3)^{2024} + (-3)^{2025} $ 的结果是(
A.$ -3 $
B.$ -2 × 3^{2024} $
C.$ -1 $
D.$ -3^{2024} $
B
)A.$ -3 $
B.$ -2 × 3^{2024} $
C.$ -1 $
D.$ -3^{2024} $
答案
3. B
解析
$(-3)^{2024} + (-3)^{2025}$
$=(-3)^{2024} + (-3)^{2024}×(-3)$
$=(-3)^{2024}×[1 + (-3)]$
$=3^{2024}×(-2)$
$=-2×3^{2024}$
结果是 B。
$=(-3)^{2024} + (-3)^{2024}×(-3)$
$=(-3)^{2024}×[1 + (-3)]$
$=3^{2024}×(-2)$
$=-2×3^{2024}$
结果是 B。
4. 若“$ x + m $”与“$ x + 3 $”的积中不含 $ x $ 的一次项，则 $ m $ 的值为(
A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 0 $
D.$ 1 $
A
)A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 0 $
D.$ 1 $
答案
4. A
解析
$(x + m)(x + 3) = x^2 + (m + 3)x + 3m$，因为积中不含$x$的一次项，所以$m + 3 = 0$，解得$m = -3$。A
5. 下列计算正确的是(
A.$ (\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^{2} = \frac{1}{4}a^{2} - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^{2} $
B.$ (x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = x^{3} - 8 $
C.$ (a - b)^{2} = a^{2} - b^{2} $
D.$ (4ab + 1)(4ab + 1) = 16a^{2}b^{2} - 1 $
B
)A.$ (\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^{2} = \frac{1}{4}a^{2} - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^{2} $
B.$ (x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = x^{3} - 8 $
C.$ (a - b)^{2} = a^{2} - b^{2} $
D.$ (4ab + 1)(4ab + 1) = 16a^{2}b^{2} - 1 $
答案
5. B
解析
【分析】本题考查整式的乘法运算，需运用完全平方公式、立方差公式及多项式乘法法则，逐一计算每个选项的式子，判断结果是否正确，从而选出正确答案。
【解析】逐个分析选项：
A选项：根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，计算$(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^2$得：$(\frac{1}{2}a)^2 - 2×\frac{1}{2}a×\frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}b^2$，选项A中间项计算错误；
B选项：根据立方差公式$(m-n)(m^2+mn+n^2)=m^3-n^3$，代入$m=x$、$n=2$，得$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3 - 8$，选项B正确；
C选项：由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，选项C漏掉了中间项$-2ab$，错误；
D选项：$(4ab+1)(4ab+1)=(4ab+1)^2=16a^2b^2 + 8ab +1$，选项D结果错误。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、立方差公式、多项式乘法
【点评】本题考查整式运算的基础公式应用，需熟练掌握完全平方公式、立方差公式等，避免公式混淆或计算失误，属于常规基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】逐个分析选项：
A选项：根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，计算$(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^2$得：$(\frac{1}{2}a)^2 - 2×\frac{1}{2}a×\frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}b^2$，选项A中间项计算错误；
B选项：根据立方差公式$(m-n)(m^2+mn+n^2)=m^3-n^3$，代入$m=x$、$n=2$，得$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3 - 8$，选项B正确；
C选项：由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，选项C漏掉了中间项$-2ab$，错误；
D选项：$(4ab+1)(4ab+1)=(4ab+1)^2=16a^2b^2 + 8ab +1$，选项D结果错误。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、立方差公式、多项式乘法
【点评】本题考查整式运算的基础公式应用，需熟练掌握完全平方公式、立方差公式等，避免公式混淆或计算失误，属于常规基础题型。
【难度系数】0.6
6. 若 $ (2a - 3b)^{2} = (2a + 3b)^{2} + N $，则 $ N = $(
A.$ -24ab $
B.$ 12ab $
C.$ 24ab $
D.$ -12ab $
A
)A.$ -24ab $
B.$ 12ab $
C.$ 24ab $
D.$ -12ab $
答案
6. A
解析
解：$\because (2a - 3b)^{2} = (2a + 3b)^{2} + N$
$\therefore N=(2a - 3b)^{2}-(2a + 3b)^{2}$
$=(4a^{2}-12ab + 9b^{2})-(4a^{2}+12ab + 9b^{2})$
$=4a^{2}-12ab + 9b^{2}-4a^{2}-12ab - 9b^{2}$
$=-24ab$
A
$\therefore N=(2a - 3b)^{2}-(2a + 3b)^{2}$
$=(4a^{2}-12ab + 9b^{2})-(4a^{2}+12ab + 9b^{2})$
$=4a^{2}-12ab + 9b^{2}-4a^{2}-12ab - 9b^{2}$
$=-24ab$
A
7. 若 $ 2^{x} = 4^{x - 1} $，$ 27^{y} = 3^{2y + 1} $，则 $ x - y = $(
A.$ 0 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $
C
)A.$ 0 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $
答案
7. C
解析
因为$2^{x}=4^{x-1}$，而$4=2^{2}$，所以$2^{x}=(2^{2})^{x-1}=2^{2(x-1)}$，则$x=2(x-1)$，解得$x=2$。
因为$27^{y}=3^{2y+1}$，而$27=3^{3}$，所以$3^{3y}=3^{2y+1}$，则$3y=2y+1$，解得$y=1$。
所以$x - y=2 - 1=1$。
C
因为$27^{y}=3^{2y+1}$，而$27=3^{3}$，所以$3^{3y}=3^{2y+1}$，则$3y=2y+1$，解得$y=1$。
所以$x - y=2 - 1=1$。
C
8. 已知 $ (x + 1)(x - 3) = x^{2} + ax + b $，则 $ a + b $ 的值是(
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $
D
)A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $
答案
8. D
解析
展开左边得：$(x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$
对比$x^2 + ax + b$，得$a = -2$，$b = -3$
$a + b = -2 + (-3) = -5$
D
对比$x^2 + ax + b$，得$a = -2$，$b = -3$
$a + b = -2 + (-3) = -5$
D
9. $ (-a^{2})^{5} ÷ (-a)^{3} = $
$ a^{7} $
。答案
9. $ a^{7} $
解析
$(-a^{2})^{5} ÷ (-a)^{3} = -a^{10} ÷ (-a^{3}) = a^{7}$
10. 已知 $ 8 · 2^{2m - 1} · 2^{3m} = 2^{17} $，则 $ m = $
3
。答案
10. 3
解析
解：$8·2^{2m - 1}·2^{3m}$
$=2^{3}·2^{2m - 1}·2^{3m}$
$=2^{3 + 2m - 1 + 3m}$
$=2^{5m + 2}$
因为$8·2^{2m - 1}·2^{3m}=2^{17}$，所以$2^{5m + 2}=2^{17}$，则$5m + 2 = 17$，解得$m = 3$。
3
$=2^{3}·2^{2m - 1}·2^{3m}$
$=2^{3 + 2m - 1 + 3m}$
$=2^{5m + 2}$
因为$8·2^{2m - 1}·2^{3m}=2^{17}$，所以$2^{5m + 2}=2^{17}$，则$5m + 2 = 17$，解得$m = 3$。
3
11. 已知 $ (x + y)^{2} = 49 $，$ xy = 12 $，则 $ x^{2} + y^{2} = $
25
。答案
11. 25
解析
$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=49-2×12=49-24=25$
12. 如果 $ x^{2} + (2m - 3)x + 9 $ 是利用完全平方公式计算得到的，则 $ m = $
$ \frac{9}{2} $ 或 $ -\frac{3}{2} $
。答案
12. $ \frac{9}{2} $ 或 $ -\frac{3}{2} $
解析
解：因为$x^{2} + (2m - 3)x + 9$是完全平方式，所以$x^{2} + (2m - 3)x + 9=(x\pm3)^{2}$。
当$x^{2} + (2m - 3)x + 9=(x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9$时，$2m - 3=6$，解得$m=\frac{9}{2}$；
当$x^{2} + (2m - 3)x + 9=(x - 3)^{2}=x^{2}-6x + 9$时，$2m - 3=-6$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
综上，$m=\frac{9}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$。
当$x^{2} + (2m - 3)x + 9=(x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9$时，$2m - 3=6$，解得$m=\frac{9}{2}$；
当$x^{2} + (2m - 3)x + 9=(x - 3)^{2}=x^{2}-6x + 9$时，$2m - 3=-6$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
综上，$m=\frac{9}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$。
三、解答题（共 40 分）
13. （8 分）计算：
（1）$ (2x + 3y)(3x - 2y) $；
（2）$ x^{3}y · (-4y)^{2} + (-7xy)^{2} · (-xy) - 5xy^{3} · (-3x)^{2} $；
（3）$ 2(3 - 5a)^{2} - 5(3a - 7)(3a + 7) $。
13. （8 分）计算：
（1）$ (2x + 3y)(3x - 2y) $；
（2）$ x^{3}y · (-4y)^{2} + (-7xy)^{2} · (-xy) - 5xy^{3} · (-3x)^{2} $；
（3）$ 2(3 - 5a)^{2} - 5(3a - 7)(3a + 7) $。
答案
13. 解：(1)原式 $ = 6x^{2} - 4xy + 9xy - 6y^{2} $
$ = 6x^{2} + 5xy - 6y^{2} $。
(2)原式 $ = x^{3}y · 16y^{2} + 49x^{2}y^{2} · (-xy) - 5xy^{3} · 9x^{2} $
$ = 16x^{3}y^{3} - 49x^{3}y^{3} - 45x^{3}y^{3} $
$ = -78x^{3}y^{3} $。
(3)原式 $ = 2(9 - 30a + 25a^{2}) - 5(9a^{2} - 49) $
$ = 18 - 60a + 50a^{2} - 45a^{2} + 245 $
$ = 5a^{2} - 60a + 263 $。
$ = 6x^{2} + 5xy - 6y^{2} $。
(2)原式 $ = x^{3}y · 16y^{2} + 49x^{2}y^{2} · (-xy) - 5xy^{3} · 9x^{2} $
$ = 16x^{3}y^{3} - 49x^{3}y^{3} - 45x^{3}y^{3} $
$ = -78x^{3}y^{3} $。
(3)原式 $ = 2(9 - 30a + 25a^{2}) - 5(9a^{2} - 49) $
$ = 18 - 60a + 50a^{2} - 45a^{2} + 245 $
$ = 5a^{2} - 60a + 263 $。
解析
【分析】
本题考查整式的运算，需根据不同小题的类型选择对应法则或公式：第(1)小题利用多项式乘多项式法则，将一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项后合并同类项；第(2)小题按“先算乘方，再算乘法，最后合并同类项”的顺序运算；第(3)小题运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，注意公式的结构和符号。
【解析】
(1) 原式 $=2x·3x + 2x·(-2y) + 3y·3x + 3y·(-2y)$
$=6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2$
$=6x^2 + 5xy - 6y^2$；
(2) 原式 $=x^3y·16y^2 + 49x^2y^2·(-xy) - 5xy^3·9x^2$
$=16x^3y^3 - 49x^3y^3 - 45x^3y^3$
$=-78x^3y^3$；
(3) 原式 $=2(9 - 30a + 25a^2) - 5(9a^2 - 49)$
$=18 - 60a + 50a^2 - 45a^2 + 245$
$=5a^2 - 60a + 263$；
【答案】
(1) $6x^2 + 5xy - 6y^2$；(2) $-78x^3y^3$；(3) $5a^2 - 60a + 263$
【知识点】
整式的乘法运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题为初中代数基础运算题，考察整式运算法则、乘法公式的应用，需注意运算顺序、符号处理及同类项合并，是巩固代数基础的典型题型，需细心计算避免失误。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的运算，需根据不同小题的类型选择对应法则或公式：第(1)小题利用多项式乘多项式法则，将一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项后合并同类项；第(2)小题按“先算乘方，再算乘法，最后合并同类项”的顺序运算；第(3)小题运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，注意公式的结构和符号。
【解析】
(1) 原式 $=2x·3x + 2x·(-2y) + 3y·3x + 3y·(-2y)$
$=6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2$
$=6x^2 + 5xy - 6y^2$；
(2) 原式 $=x^3y·16y^2 + 49x^2y^2·(-xy) - 5xy^3·9x^2$
$=16x^3y^3 - 49x^3y^3 - 45x^3y^3$
$=-78x^3y^3$；
(3) 原式 $=2(9 - 30a + 25a^2) - 5(9a^2 - 49)$
$=18 - 60a + 50a^2 - 45a^2 + 245$
$=5a^2 - 60a + 263$；
【答案】
(1) $6x^2 + 5xy - 6y^2$；(2) $-78x^3y^3$；(3) $5a^2 - 60a + 263$
【知识点】
整式的乘法运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题为初中代数基础运算题，考察整式运算法则、乘法公式的应用，需注意运算顺序、符号处理及同类项合并，是巩固代数基础的典型题型，需细心计算避免失误。
【难度系数】
0.7
