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14. （10 分）先化简，再求值：
（1）$ y(x + y) + (x + y)(x - y) - x^{2} $，其中 $ x = -2 $，$ y = \frac{1}{2} $；
（2）$ (x + y)^{2} - 2x(x + y) $，其中 $ x = 3 $，$ y = 2 $。
（1）$ y(x + y) + (x + y)(x - y) - x^{2} $，其中 $ x = -2 $，$ y = \frac{1}{2} $；
（2）$ (x + y)^{2} - 2x(x + y) $，其中 $ x = 3 $，$ y = 2 $。
答案
14. 解：(1)原式 $ = xy + y^{2} + x^{2} - y^{2} - x^{2} = xy $。
当 $ x = -2 $，$ y = \frac{1}{2} $ 时，
原式 $ = (-2) × \frac{1}{2} = -1 $。
(2)原式 $ = x^{2} + 2xy + y^{2} - 2x^{2} - 2xy = -x^{2} + y^{2} $。
当 $ x = 3 $，$ y = 2 $ 时，
原式 $ = -3^{2} + 2^{2} = -9 + 4 = -5 $。
当 $ x = -2 $，$ y = \frac{1}{2} $ 时，
原式 $ = (-2) × \frac{1}{2} = -1 $。
(2)原式 $ = x^{2} + 2xy + y^{2} - 2x^{2} - 2xy = -x^{2} + y^{2} $。
当 $ x = 3 $，$ y = 2 $ 时，
原式 $ = -3^{2} + 2^{2} = -9 + 4 = -5 $。
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先根据整式的运算法则（单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式）对原式去括号，再合并同类项完成化简，最后将给定的x、y的值代入化简后的式子计算结果。需注意公式的正确运用和同类项的准确合并，分两小问依次处理即可。
【解析】
(1) 对原式去括号、展开：
$y(x + y) + (x + y)(x - y) - x^2 = xy + y^2 + x^2 - y^2 - x^2$
合并同类项：
$xy + (y^2 - y^2) + (x^2 - x^2) = xy$
当$x = -2$，$y = \frac{1}{2}$时，代入得：
原式$= (-2) × \frac{1}{2} = -1$
(2) 对原式去括号、展开：
$(x + y)^2 - 2x(x + y) = x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy$
合并同类项：
$(x^2 - 2x^2) + (2xy - 2xy) + y^2 = -x^2 + y^2$
当$x = 3$，$y = 2$时，代入得：
原式$= -3^2 + 2^2 = -9 + 4 = -5$
【答案】
(1) $-1$；(2) $-5$
【知识点】
整式化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题为初中数学整式部分的基础题型，主要考查整式的运算法则及相关公式的应用，步骤明确，难度较低，只要掌握基本的去括号、合并同类项方法，就能顺利完成解答，是巩固整式运算的典型练习题。
【难度系数】
0.7
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先根据整式的运算法则（单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式）对原式去括号，再合并同类项完成化简，最后将给定的x、y的值代入化简后的式子计算结果。需注意公式的正确运用和同类项的准确合并，分两小问依次处理即可。
【解析】
(1) 对原式去括号、展开：
$y(x + y) + (x + y)(x - y) - x^2 = xy + y^2 + x^2 - y^2 - x^2$
合并同类项：
$xy + (y^2 - y^2) + (x^2 - x^2) = xy$
当$x = -2$，$y = \frac{1}{2}$时，代入得：
原式$= (-2) × \frac{1}{2} = -1$
(2) 对原式去括号、展开：
$(x + y)^2 - 2x(x + y) = x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy$
合并同类项：
$(x^2 - 2x^2) + (2xy - 2xy) + y^2 = -x^2 + y^2$
当$x = 3$，$y = 2$时，代入得：
原式$= -3^2 + 2^2 = -9 + 4 = -5$
【答案】
(1) $-1$；(2) $-5$
【知识点】
整式化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题为初中数学整式部分的基础题型，主要考查整式的运算法则及相关公式的应用，步骤明确，难度较低，只要掌握基本的去括号、合并同类项方法，就能顺利完成解答，是巩固整式运算的典型练习题。
【难度系数】
0.7
15. （10 分）已知 $ (a + b)^{2} = 60 $，$ (a - b)^{2} = 80 $，求 $ a^{2} + b^{2} $ 及 $ ab $ 的值。
答案
15. 解：由 $ (a + b)^{2} = 60 $，$ (a - b)^{2} = 80 $，得
$ a^{2} + 2ab + b^{2} = 60 $， ①
$ a^{2} - 2ab + b^{2} = 80 $。 ②
① + ②，得 $ 2(a^{2} + b^{2}) = 140 $，
所以 $ a^{2} + b^{2} = 70 $。
① - ②，得 $ 4ab = -20 $，
所以 $ ab = -5 $。
$ a^{2} + 2ab + b^{2} = 60 $， ①
$ a^{2} - 2ab + b^{2} = 80 $。 ②
① + ②，得 $ 2(a^{2} + b^{2}) = 140 $，
所以 $ a^{2} + b^{2} = 70 $。
① - ②，得 $ 4ab = -20 $，
所以 $ ab = -5 $。
解析
【分析】
要计算$a^2 + b^2$和$ab$的值，已知$(a+b)^2$与$(a-b)^2$，首先利用完全平方公式将这两个式子展开，得到包含$a^2$、$b^2$、$ab$的两个等式；观察两个等式的结构，将它们相加可抵消$ab$项，从而求出$a^2 + b^2$；将两个等式相减可抵消$a^2$、$b^2$项，从而求出$ab$，即可得到结果。
【解析】
解：由完全平方公式展开已知条件：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 60$ ①
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 80$ ②
① + ②，得：
$2(a^2 + b^2) = 60 + 80 = 140$
两边同时除以2，得：
$a^2 + b^2 = 70$
① - ②，得：
$4ab = 60 - 80 = -20$
两边同时除以4，得：
$ab = -5$
【答案】
$a^2 + b^2 = 70$，$ab = -5$
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，通过对两个展开式进行加减整体消元，快速求出目标值，是整式运算中的基础题型，需熟练掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.6
要计算$a^2 + b^2$和$ab$的值，已知$(a+b)^2$与$(a-b)^2$，首先利用完全平方公式将这两个式子展开，得到包含$a^2$、$b^2$、$ab$的两个等式；观察两个等式的结构，将它们相加可抵消$ab$项，从而求出$a^2 + b^2$；将两个等式相减可抵消$a^2$、$b^2$项，从而求出$ab$，即可得到结果。
【解析】
解：由完全平方公式展开已知条件：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 60$ ①
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 80$ ②
① + ②，得：
$2(a^2 + b^2) = 60 + 80 = 140$
两边同时除以2，得：
$a^2 + b^2 = 70$
① - ②，得：
$4ab = 60 - 80 = -20$
两边同时除以4，得：
$ab = -5$
【答案】
$a^2 + b^2 = 70$，$ab = -5$
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，通过对两个展开式进行加减整体消元，快速求出目标值，是整式运算中的基础题型，需熟练掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.6
16. （12 分）有一个边长为 $ a $ 的正方形，现需要将这个正方形的边长增加 $ b $。小江设计了如图所示的三种方案。
小明发现这三种方案都能验证公式：$ a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
对于方案一，小明是这样验证的：$ a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
请你根据方案二、方案三写出公式的验证过程。
小明发现这三种方案都能验证公式：$ a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
对于方案一，小明是这样验证的：$ a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
请你根据方案二、方案三写出公式的验证过程。
答案
16. 解：方案二：$ a^{2} + ab + b(a + b) = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
方案三：$ a^{2} + \frac{1}{2}b(a + a + b) × 2 = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
方案三：$ a^{2} + \frac{1}{2}b(a + a + b) × 2 = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
解析
【分析】要验证公式$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，需计算每个方案中阴影部分的面积之和，而整个大正方形的面积为$(a+b)^2$，因此只需将阴影部分面积化简后得到$a^2 + 2ab + b^2$即可完成验证。对于方案二，将阴影部分拆分为边长为$a$的正方形、长为$a$宽为$b$的长方形和长为$(a+b)$宽为$b$的部分；对于方案三，将阴影部分拆分为边长为$a$的正方形和两个相同的直角梯形，分别计算各部分面积后求和化简即可。
【解析】
方案二：
阴影部分面积由三部分组成：边长为$a$的正方形面积$a^2$，长为$a$宽为$b$的长方形面积$ab$，长为$(a+b)$宽为$b$的长方形面积$b(a+b)$。
则阴影总面积为：
$a^2 + ab + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
而大正方形面积为$(a + b)^2$，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，公式得证。
方案三：
阴影部分面积由边长为$a$的正方形和两个相同的直角梯形组成，每个直角梯形的上底为$a$，下底为$a + b$，高为$\frac{b}{2}$，两个梯形的总面积为$2×\frac{1}{2}×(a + a + b)× b = b(2a + b)$。
则阴影总面积为：
$a^2 + b(2a + b) = a^2 + 2ab + b^2$，
而大正方形面积为$(a + b)^2$，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，公式得证。
【答案】方案二：$a^{2} + ab + b(a + b) = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$；方案三：$a^{2} + \frac{1}{2}b(a + a + b) × 2 = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
【知识点】完全平方公式，整式面积计算，数形结合
【点评】本题通过几何图形的面积分割与求和，直观验证完全平方公式，体现了数形结合的数学思想，是代数与几何结合的基础题型，帮助理解公式的几何意义。
【难度系数】0.5
【解析】
方案二：
阴影部分面积由三部分组成：边长为$a$的正方形面积$a^2$，长为$a$宽为$b$的长方形面积$ab$，长为$(a+b)$宽为$b$的长方形面积$b(a+b)$。
则阴影总面积为：
$a^2 + ab + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
而大正方形面积为$(a + b)^2$，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，公式得证。
方案三：
阴影部分面积由边长为$a$的正方形和两个相同的直角梯形组成，每个直角梯形的上底为$a$，下底为$a + b$，高为$\frac{b}{2}$，两个梯形的总面积为$2×\frac{1}{2}×(a + a + b)× b = b(2a + b)$。
则阴影总面积为：
$a^2 + b(2a + b) = a^2 + 2ab + b^2$，
而大正方形面积为$(a + b)^2$，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，公式得证。
【答案】方案二：$a^{2} + ab + b(a + b) = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$；方案三：$a^{2} + \frac{1}{2}b(a + a + b) × 2 = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
【知识点】完全平方公式，整式面积计算，数形结合
【点评】本题通过几何图形的面积分割与求和，直观验证完全平方公式，体现了数形结合的数学思想，是代数与几何结合的基础题型，帮助理解公式的几何意义。
【难度系数】0.5
