例 2 已知 $x^m = 6$，$x^n = 8$，求 $x^{m + n}$的值。

【分析】要计算$x^{m+n}$，需利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，其逆用为$a^{m+n}=a^m · a^n$，因此可将所求式转化为已知的$x^m$与$x^n$的乘积，代入数值计算即可。
【解析】根据同底数幂乘法法则的逆运算：
$x^{m+n} = x^m · x^n$
将$x^m = 6$，$x^n = 8$代入上式，得：
$x^{m+n} = 6 × 8 = 48$
【答案】48
【知识点】同底数幂的乘法
【点评】本题考查同底数幂乘法法则的逆用，属于幂运算的基础应用，只要掌握法则的正逆转换，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.3

【变式训练 2】已知 $2^a = 5$，$2^b = 1$，求 $2^{a + b + 3}$的值。
同步训练
基础巩固
1. 下列计算正确的是()
A.$b^3 · b^2 = b^6$
B.$x^3 + x^3 = x^6$
C.$a^4 + a^2 = a^6$
D.$m · m^5 = m^6$

D

【分析】
本题考查同底数幂的乘法法则与合并同类项的规则，解题时需逐一分析每个选项，结合对应运算法则判断计算是否正确：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项仅将系数相加，字母和指数保持不变，非同类项不能合并。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：根据同底数幂乘法法则，$b^3 · b^2 = b^{3+2}=b^5≠b^6$，计算错误；
选项B：$x^3 + x^3$是合并同类项，结果应为$(1+1)x^3=2x^3≠x^6$，计算错误；
选项C：$a^4$与$a^2$指数不同，不是同类项，无法合并，计算错误；
选项D：根据同底数幂乘法法则，$m · m^5 = m^{1+5}=m^6$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题为基础运算题，核心考查幂的运算与合并同类项的基本规则，只要牢记运算法则即可轻松判断，属于易得分题目。
【难度系数】
0.9

2. $81 × 27$可记为()
A.$9^3$
B.$3^7$
C.$3^6$
D.$3^{12}$

B

【分析】
要解决这个问题，需先将81和27转化为以3为底数的幂，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得出答案。
【解析】
解：先把81和27改写为以3为底的幂：
因为 $81 = 3^4$，$27 = 3^3$，
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$81×27 = 3^4 × 3^3 = 3^{4+3} = 3^7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、有理数的乘方
【点评】
本题考查同底数幂的乘法运算，关键是将不同底数的数转化为同底数幂，再运用运算法则计算，属于基础题型，需熟练掌握幂的相关运算规则。
【难度系数】
0.7

3. 若 $x ≠ y$，则下列各式不成立的是()
A.$(y - x)^2 = (x - y)^2$
B.$(-x)^3 = -x^3$
C.$(-y)^2 = y^2$
D.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$

D

【分析】
本题考查整式乘方的性质及完全平方公式的应用，解题思路是逐一分析每个选项，根据乘方的符号规律、完全平方公式的展开式判断等式是否成立，找出不成立的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：因为平方是偶次幂，$y - x$与$x - y$互为相反数，互为相反数的两个数的偶次幂相等，所以$(y - x)^2 = (x - y)^2$，该式成立。
选项B：负数的奇次幂为负数，$(-x)^3 = -x^3$，该式成立。
选项C：$(-y)^2$是偶次幂，结果为正，即$(-y)^2 = y^2$，该式成立。
选项D：根据完全平方公式，$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，显然不等于$x^2 + y^2$，该式不成立。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
整式的乘方运算、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查学生对整式乘方的符号规律、完全平方公式的掌握情况，需要准确记忆公式和乘方性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7

4. $(-a)^3 · (-a)^5 =$；$(-x) · x^2 · x^3 =$。

 4. $ a^8 $ $ - x^6 $

【分析】
这两道题考查同底数幂的乘法运算，解题思路为：①同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的法则；②注意处理幂的符号，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，或通过系数符号判断结果符号。
【解析】
1. 计算$(-a)^3 · (-a)^5$：
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，可得：
$(-a)^3 · (-a)^5 = (-a)^{3+5} = (-a)^8$
因指数8为偶数，负数的偶次幂是正数，故$(-a)^8 = a^8$。
2. 计算$(-x) · x^2 · x^3$：
将$(-x)$转化为$(-1)·x$，再根据同底数幂的乘法法则：
$(-x) · x^2 · x^3 = (-1)·x^1 · x^2 · x^3 = (-1)·x^{1+2+3} = -x^6$。
【答案】
$a^8$；$-x^6$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号运算
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础题型，核心是掌握同底数幂的乘法法则，解题时需注意符号的处理，避免因符号判断错误失分，属于整式幂运算的基础应用。
【难度系数】
0.8

5. 已知 $10^2 · 10^m = 10^{2026}$，则 $m =$。

2024

【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题时需利用同底数幂相乘的法则化简等式左边，再根据指数相等的性质建立方程求解m。具体思路为：先运用同底数幂的乘法法则化简左边式子，再结合等式两边底数相同则指数相等的特点，列出关于m的一元一次方程，最终解方程得到结果。
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^p · a^q = a^{p+q}$，对等式左边化简得：$10^2 · 10^m = 10^{2+m}$。已知$10^{2+m} = 10^{2026}$，由于等式两边底数相同，因此指数相等，可得方程：$2 + m = 2026$，解得$m = 2026 - 2 = 2024$。
【答案】2024
【知识点】同底数幂的乘法，指数相等的性质
【点评】本题属于幂运算的基础题型，核心考查同底数幂的乘法法则的应用，解题思路清晰、步骤简单，只要熟练掌握幂的基本运算规则即可快速解答，适合巩固初中数学幂运算的基础知识。
【难度系数】0.9

6. 已知 $x + y - 4 = 0$，则 $2^x · 2^y =$。

16

【分析】首先回忆同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为含$x+y$的形式；再根据已知条件求出$x+y$的值，最后代入计算即可。
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$2^x·2^y = 2^{x+y}$
已知$x + y - 4 = 0$，移项得$x + y = 4$，将其代入上式：
$2^{x+y}=2^4=16$
【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】本题考查同底数幂乘法法则的应用，运用整体代入思想简化计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

7. 计算：
(1) $-x^5 · x^2 · x^{10}$；
(2) $(-a)^2 · (-a)^3 · a^6$；
(3) $(m - n) · (n - m)^3 · (n - m)^4$。

7. 解：(1)原式 $ = - x^{17} $。(2)原式 $ = - a^{11} $。
(3)原式 $ = - (n - m) · (n - m)^3 · (n - m)^4 = - (n - m)^8 $。

【分析】
这三道题均为同底数幂的乘法运算，解题思路是：①运用同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）计算；②处理符号，当底数互为相反数时，先转化为相同底数（如将$(m-n)$转化为$-(n-m)$），再结合法则运算，同时保留原式符号。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
原式 $= - x^{5+2+10} = - x^{17}$；
(2) 先计算前两个同底数幂的乘积，再处理符号：
原式 $= (-a)^{2+3} · a^6 = (-a)^5 · a^6 = -a^5 · a^6 = -a^{5+6} = -a^{11}$；
(3) 先将$(m-n)$转化为$-(n-m)$统一底数，再按法则计算：
原式 $= - (n-m) · (n-m)^3 · (n-m)^4 = - (n-m)^{1+3+4} = - (n - m)^8$；
【答案】
(1) $-x^{17}$；(2) $-a^{11}$；(3) $-(n - m)^8$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号运算，底数的转化
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，核心是掌握法则及符号处理、底数转化的技巧，属于整式乘除的基础题型，需注意运算细节避免符号错误。
【难度系数】
0.7

能力提高
8. 计算：
(1) $(-x)^2 · x^3 + 2x^3 · (-x)^2 - x · x^4$；
(2) $x · x^{m - 1} + x^2 · x^{m - 2} - 3 · x^3 · x^{m - 3}$。

【分析】
本题是整式的混合运算题，解题思路如下：①先根据幂的符号法则化简含$(-x)$的项，将其转化为同底数幂形式；②运用同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）计算每一项；③合并同类项，将同类项的系数相加减，字母及指数保持不变，即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简符号并计算同底数幂：
因为$(-x)^2 = x^2$，所以原式$= x^2 · x^3 + 2x^3 · x^2 - x · x^4$。
根据同底数幂乘法法则：
$x^2 · x^3 = x^{2+3} = x^5$，$2x^3 · x^2 = 2x^{3+2} = 2x^5$，$x · x^4 = x^{1+4} = x^5$。
合并同类项：$x^5 + 2x^5 - x^5 = (1+2-1)x^5 = 2x^5$。
(2) 直接运用同底数幂乘法法则计算：
$x · x^{m-1} = x^{1 + m -1} = x^m$，$x^2 · x^{m-2} = x^{2 + m -2} = x^m$，$3 · x^3 · x^{m-3} = 3x^{3 + m -3} = 3x^m$。
合并同类项：$x^m + x^m - 3x^m = (1+1-3)x^m = -x^m$。
【答案】
(1)$2x^5$；(2)$-x^m$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题考查同底数幂的乘法法则与合并同类项的运算，是整式运算的基础题型，需注意符号处理及指数运算的准确性，合并同类项时仅对系数进行加减，难度适中，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.6