登录
9. 一块长方形铁板的长是 $0.2 × 10^3 \, \mathrm{cm}$，宽是 $1.5 × 10^2 \, \mathrm{cm}$。求这块长方形铁板的面积。
答案
9. 解：这块长方形铁板的面积为
$ (0.2 × 10^3) × (1.5 × 10^2) = 0.3 × 10^5 = 30000(cm^2) $。
$ (0.2 × 10^3) × (1.5 × 10^2) = 0.3 × 10^5 = 30000(cm^2) $。
解析
【分析】
要计算长方形铁板的面积，需先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。题目中长和宽以科学计数法呈现，计算时需遵循科学计数法的乘法规则：系数相乘，10的指数相加，最后化简结果。
【解析】
解：根据长方形面积公式 $ S = 长 × 宽 $，代入已知数据：
$ S = (0.2 × 10^3) × (1.5 × 10^2) $
按科学计数法乘法法则计算：
$ = (0.2 × 1.5) × 10^{3+2} = 0.3 × 10^5 $
将结果化为普通数值：$ 0.3 × 10^5 = 30000 \, \mathrm{cm^2} $
【答案】
$ 30000 \, \mathrm{cm^2} $
【知识点】
长方形面积计算、科学计数法乘法
【点评】
本题考查长方形面积公式的应用及科学计数法的基本运算，属于基础题型，计算时注意指数运算规则即可。
【难度系数】
0.7
要计算长方形铁板的面积，需先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。题目中长和宽以科学计数法呈现，计算时需遵循科学计数法的乘法规则：系数相乘，10的指数相加，最后化简结果。
【解析】
解：根据长方形面积公式 $ S = 长 × 宽 $，代入已知数据：
$ S = (0.2 × 10^3) × (1.5 × 10^2) $
按科学计数法乘法法则计算：
$ = (0.2 × 1.5) × 10^{3+2} = 0.3 × 10^5 $
将结果化为普通数值：$ 0.3 × 10^5 = 30000 \, \mathrm{cm^2} $
【答案】
$ 30000 \, \mathrm{cm^2} $
【知识点】
长方形面积计算、科学计数法乘法
【点评】
本题考查长方形面积公式的应用及科学计数法的基本运算，属于基础题型，计算时注意指数运算规则即可。
【难度系数】
0.7
10. 已知$x^{a}=10$，$x^{b}=8$，求$x^{a + b}$的值。
答案
10. 解：$ x^{a + b} = x^a · x^b = 10 × 8 = 80 $。
解析
【分析】
要计算$x^{a + b}$的值，需运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x^{m+n}=x^m·x^n$。将$x^{a + b}$转化为$x^a·x^b$后，代入已知的$x^a=10$和$x^b=8$计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$x^{a + b}=x^a·x^b$，将$x^a=10$，$x^b=8$代入得：$10×8=80$。
【答案】
80
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的基础应用，属于幂运算的基础题型，只要牢记法则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要计算$x^{a + b}$的值，需运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x^{m+n}=x^m·x^n$。将$x^{a + b}$转化为$x^a·x^b$后，代入已知的$x^a=10$和$x^b=8$计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$x^{a + b}=x^a·x^b$，将$x^a=10$，$x^b=8$代入得：$10×8=80$。
【答案】
80
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的基础应用，属于幂运算的基础题型，只要牢记法则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
幂的乘方是指几个
相同
的幂相乘，即$(a^{m})^{n}$是$n$个$a^{m}$相乘，读作a 的 m 次幂的 n 次方
。答案
相同 a 的 m 次幂的 n 次方
解析
【分析】本题考查幂的乘方的基础定义，解题时需回忆幂的乘方的定义内容：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，$(a^{m})^{n}$表示n个$a^{m}$相乘，其读法为a的m次幂的n次方，据此即可完成填空。
【解析】根据幂的乘方的定义，幂的乘方是几个相同的幂相乘；$(a^{m})^{n}$读作a的m次幂的n次方，因此依次填入对应内容。
【答案】相同；a的m次幂的n次方
【知识点】幂的乘方的定义
【点评】本题属于概念识记类基础题，直接考查幂的乘方的核心定义，只要熟记相关概念即可轻松作答，是初中数学整式乘除部分的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】根据幂的乘方的定义，幂的乘方是几个相同的幂相乘；$(a^{m})^{n}$读作a的m次幂的n次方，因此依次填入对应内容。
【答案】相同；a的m次幂的n次方
【知识点】幂的乘方的定义
【点评】本题属于概念识记类基础题，直接考查幂的乘方的核心定义，只要熟记相关概念即可轻松作答，是初中数学整式乘除部分的基础知识点。
【难度系数】0.8
$(a^{m})^{n}=$
幂的乘方，底数
$ a^{mn} $
（$m$，$n$都是正整数
）。幂的乘方，底数
不变
，指数相乘
。答案
$ a^{mn} $ 正整数 不变 相乘
解析
【分析】
本题考查幂的乘方的基本公式与运算法则，解题时需回忆幂的乘方的定义：当幂的乘方运算中，底数为a，指数分别为m、n时，仅当m、n为正整数时运算规则成立，运算时底数保持不变，指数进行相乘，由此可推导得出对应的公式与法则表述。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$，其中m、n都是正整数。
【答案】
$ a^{mn} $ 正整数 不变 相乘
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础知识点考查，属于代数运算的入门内容，需准确记忆公式与法则。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的乘方的基本公式与运算法则，解题时需回忆幂的乘方的定义：当幂的乘方运算中，底数为a，指数分别为m、n时，仅当m、n为正整数时运算规则成立，运算时底数保持不变，指数进行相乘，由此可推导得出对应的公式与法则表述。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$，其中m、n都是正整数。
【答案】
$ a^{mn} $ 正整数 不变 相乘
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础知识点考查，属于代数运算的入门内容，需准确记忆公式与法则。
【难度系数】
0.8
幂的乘方法则可以逆用，即
$ a^{mn} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} $
($m$，$n$都是正整数
)。答案
$ a^{mn} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} $ 正整数
解析
【分析】
要解决这个问题，需回忆幂的乘方法则的正向内容，推导其逆用形式，同时明确法则中指数的取值范围。幂的乘方正向法则为底数不变、指数相乘，逆用时可将指数拆分为两个数的乘积，转化为幂的乘方形式，且需遵循原法则对指数的取值要求。
【解析】
幂的乘方法则的正向公式为：$(a^m)^n = a^{mn}$（m、n为正整数），逆用该法则时，可将$a^{mn}$改写为两个幂的乘方形式，即$a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m$，其中m、n的取值范围是正整数。
【答案】
$ a^{mn} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} $ 正整数
【知识点】
幂的乘方法则，逆用幂的乘方法则
【点评】
本题考查幂的乘方法则的逆用，属于基础概念类题目，核心是准确记忆法则的正向与逆向变形，明确指数的取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.2
要解决这个问题，需回忆幂的乘方法则的正向内容，推导其逆用形式，同时明确法则中指数的取值范围。幂的乘方正向法则为底数不变、指数相乘，逆用时可将指数拆分为两个数的乘积，转化为幂的乘方形式，且需遵循原法则对指数的取值要求。
【解析】
幂的乘方法则的正向公式为：$(a^m)^n = a^{mn}$（m、n为正整数），逆用该法则时，可将$a^{mn}$改写为两个幂的乘方形式，即$a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m$，其中m、n的取值范围是正整数。
【答案】
$ a^{mn} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} $ 正整数
【知识点】
幂的乘方法则，逆用幂的乘方法则
【点评】
本题考查幂的乘方法则的逆用，属于基础概念类题目，核心是准确记忆法则的正向与逆向变形，明确指数的取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.2
例 计算：$a^{3}· a^{4}· a^{5}-(a^{3})^{4}-(a^{4})^{3}$。
答案
解：
原式$=a^{3 + 4 + 5}-a^{3×4}-a^{4×3}$
$=a^{12}-a^{12}-a^{12}$
$=-a^{12}$。
原式$=a^{3 + 4 + 5}-a^{3×4}-a^{4×3}$
$=a^{12}-a^{12}-a^{12}$
$=-a^{12}$。
解析
【分析】
本题是整式的幂运算题，解题思路为：先分别计算原式中的每一项，第一项利用同底数幂的乘法法则计算，后两项利用幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
原式$=a^{3 + 4 + 5}-a^{3×4}-a^{4×3}$
$=a^{12}-a^{12}-a^{12}$
$=-a^{12}$
【答案】
$-a^{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质与合并同类项，需准确区分同底数幂乘法（指数相加）和幂的乘方（指数相乘）的运算法则，计算时注意指数变化，属于基础运算题。
【难度系数】
0.7
本题是整式的幂运算题，解题思路为：先分别计算原式中的每一项，第一项利用同底数幂的乘法法则计算，后两项利用幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
原式$=a^{3 + 4 + 5}-a^{3×4}-a^{4×3}$
$=a^{12}-a^{12}-a^{12}$
$=-a^{12}$
【答案】
$-a^{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质与合并同类项，需准确区分同底数幂乘法（指数相加）和幂的乘方（指数相乘）的运算法则，计算时注意指数变化，属于基础运算题。
【难度系数】
0.7
【变式训练】 计算：$x^{2}· x^{4}· x^{6}+(x^{3})^{2}+[(-x)^{4}]^{3}$。
答案
解：原式 $ = x^{12} + x^{6} + x^{12} = 2x^{12} + x^{6} $。
解析
解：原式$=x^{2+4+6}+x^{3×2}+(-x)^{4×3}=x^{12}+x^{6}+x^{12}=2x^{12}+x^{6}$
1. 下列计算正确的是(
A.$a^{3}+a^{3}=a^{6}$
B.$3a - a = 3$
C.$(a^{3})^{2}=a^{5}$
D.$a· a^{2}=a^{3}$
D
)A.$a^{3}+a^{3}=a^{6}$
B.$3a - a = 3$
C.$(a^{3})^{2}=a^{5}$
D.$a· a^{2}=a^{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题是判断整式运算的正确性，需回忆整式运算的相关法则，逐个分析选项：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加。据此逐一验证选项即可。
【解析】
选项A：根据合并同类项法则，$a^3+a^3=(1+1)a^3=2a^3≠a^6$，故A错误；
选项B：合并同类项得$3a - a=(3-1)a=2a≠3$，故B错误；
选项C：根据幂的乘方法则，$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6≠a^5$，故C错误；
选项D：根据同底数幂的乘法法则，$a·a^2=a^{1+2}=a^3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式的基础运算，核心是掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，属于易混淆的基础知识点，需准确区分指数运算与系数运算的规则。
【难度系数】
0.8
本题是判断整式运算的正确性，需回忆整式运算的相关法则，逐个分析选项：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加。据此逐一验证选项即可。
【解析】
选项A：根据合并同类项法则，$a^3+a^3=(1+1)a^3=2a^3≠a^6$，故A错误；
选项B：合并同类项得$3a - a=(3-1)a=2a≠3$，故B错误；
选项C：根据幂的乘方法则，$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6≠a^5$，故C错误；
选项D：根据同底数幂的乘法法则，$a·a^2=a^{1+2}=a^3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式的基础运算，核心是掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，属于易混淆的基础知识点，需准确区分指数运算与系数运算的规则。
【难度系数】
0.8
