2.如图,边长为a,b的矩形的周长为10,面积为6,则$a^{2}b+ab^{2}$的值为()。


A.60
B.16
C.30
D.11

2.C

【分析】
首先观察所求代数式$a^{2}b+ab^{2}$的结构，可通过提公因式法将其因式分解为$ab(a+b)$的形式。题目中给出矩形的周长和面积，根据矩形周长公式$C=2(a+b)$、面积公式$S=ab$，可以求出$a+b$和$ab$的值，最后将这两个值整体代入分解后的式子，即可计算出结果。
【解析】
1. 根据矩形周长公式，已知周长为10，可得：
$2(a + b)=10$，
两边同时除以2，解得$a + b=5$；
2. 根据矩形面积公式，已知面积为6，可得：
$ab=6$；
3. 对所求代数式进行因式分解：
$a^{2}b + ab^{2}=ab(a + b)$；
4. 将$ab=6$，$a + b=5$代入上式：
$ab(a + b)=6×5=30$，
因此$a^{2}b+ab^{2}$的值为30，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；矩形周长与面积公式；代数式整体求值
【点评】
本题考查了因式分解的应用与矩形的基本性质，解题的关键是运用整体思想，将所求代数式转化为含已知条件的形式，通过代入已知值快速求解，注重对基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.9

3.把多项式$m^{2}(a-2)+m(2-a)$因式分解正确的是()。

A.$(a-2)(m^{2}+m)$
B.$m(a-2)(m+1)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$(2-a)(m^{2}+m)$

3.C

【分析】
首先观察多项式，发现式子中$(a-2)$和$(2-a)$是互为相反数的关系，我们可以先将$(2-a)$转化为$-(a-2)$，这样就能让两项都含有相同的因式$(a-2)$。接下来，找出两项的公因式，两项分别是$m^{2}(a-2)$和$-m(a-2)$，公因式为$m(a-2)$，提取公因式后，剩下的部分分别是$m$和$-1$，组合起来就是$(m-1)$，最终得到因式分解的结果，再对应选项找到正确答案。
【解析】
解：对多项式$m^{2}(a-2)+m(2-a)$进行因式分解：
第一步，将$(2-a)$转化为$-(a-2)$，则原式变形为：
$m^{2}(a-2)-m(a-2)$
第二步，提取公因式$m(a-2)$：
$=m(a-2)(m-1)$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法因式分解、代数式符号转化
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是掌握提取公因式法的步骤，重点在于灵活处理互为相反数的代数式，通过符号转化构造出相同的公因式，解题时需注意符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8

4.因式分解:
$3x(x-2)-(2-x)=$
$x(x-3)-x+3=$
$m^{2}-2m+(m-2)=$

4.(x-2)(3x+1) (x-1)(x-3) (m+1)(m-2)

【分析】
这三道题均考查因式分解，解题核心是通过变形构造公因式，再利用提取公因式法完成分解：
1. 第一题：观察到$(2-x)$与$(x-2)$互为相反数，可将$-(2-x)$转化为$+(x-2)$，此时式子出现公因式$(x-2)$，提取即可；
2. 第二题：把$-x+3$变形为$-(x-3)$，使式子前后都含有公因式$(x-3)$，提取后化简剩余部分；
3. 第三题：先对前两项提取公因式$m$得到$m(m-2)$，此时式子与后面的$(m-2)$有公因式，再次提取公因式完成分解。
【解析】
1. 分解$3x(x-2)-(2-x)$：
$\begin{aligned}&3x(x-2)-(2-x)\\=&3x(x-2)+(x-2)\\=&(x-2)(3x+1)\end{aligned}$
2. 分解$x(x-3)-x+3$：
$\begin{aligned}&x(x-3)-x+3\\=&x(x-3)-(x-3)\\=&(x-3)(x-1)\end{aligned}$
3. 分解$m^{2}-2m+(m-2)$：
$\begin{aligned}&m^{2}-2m+(m-2)\\=&m(m-2)+(m-2)\\=&(m-2)(m+1)\end{aligned}$
【答案】
$(x-2)(3x+1)$；$(x-3)(x-1)$；$(m+1)(m-2)$
【知识点】
提取公因式法因式分解
【点评】
这三道题属于因式分解基础题型，重点考查学生对相反数形式式子的转化能力，以及提取公因式法的灵活运用。只要掌握公因式的寻找方法和式子变形技巧，就能顺利完成分解。
【难度系数】
0.7

5.已知$(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$,其中a,b均为整数,则$a+3b=$。

5.-31

【分析】
首先观察原式，发现两项都含有公因式$(3x-7)$，因此第一步先提取公因式简化式子；接着对提取公因式后括号内的整式进行加减运算，将原式整理成与目标形式$(3x+a)(x+b)$一致的形式；最后通过对比对应项的系数，确定整数$a$、$b$的值，代入计算$a+3b$即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)\\=&(3x-7)[(2x-21)-(x-13)]\\=&(3x-7)(2x-21-x+13)\\=&(3x-7)(x-8)\end{aligned}$
因为原式可分解为$(3x+a)(x+b)$，对比可得$a=-7$，$b=-8$。
则$a+3b=-7+3×(-8)=-7-24=-31$。
【答案】
-31
【知识点】
提取公因式法因式分解、整式加减运算、系数对比法求参数
【点评】
本题主要考查因式分解的基本方法及整式运算，核心是提取公因式简化多项式，再通过对比因式分解后的形式确定参数值，解题过程中需注意符号的运算，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6

6.因式分解:(1)$3x^{2}-6xy+x$;
(2)$18(a-b)^{2}-12(b-a)^{3}$。

6.解$:(1)3x^{2}-6xy+x=x(3x-6y+1);$
$(2)18(a-b)^{2}-12(b-a)^{3}=6(a-b)^{2}(3+2a-2b)$。

【分析】
第(1)题：观察多项式$3x^{2}-6xy+x$的各项，先确定公因式为$x$，将每一项除以公因式$x$，把所得结果放在括号内，注意最后一项$x$除以$x$得$1$，不能遗漏。
第(2)题：首先利用$(b-a)^3=-(a-b)^3$，将原式中的$(b-a)^3$转化为$(a-b)$的形式，得到$18(a-b)^2 +12(a-b)^3$；再确定公因式，系数18和12的最大公约数是6，含字母部分$(a-b)$的最低次幂是2，因此公因式为$6(a-b)^2$；最后提取公因式并化简括号内的式子即可。
【解析】
(1) 对$3x^{2}-6xy+x$提取公因式$x$：
$\begin{aligned}3x^{2}-6xy+x &= x·3x - x·6y + x·1 \\&= x(3x - 6y + 1)\end{aligned}$
(2) 先转化$(b-a)^3$，再提取公因式：
$\begin{aligned}18(a-b)^{2}-12(b-a)^{3}&=18(a-b)^{2}+12(a-b)^{3} \\&=6(a-b)^2·3 + 6(a-b)^2·2(a-b) \\&=6(a-b)^2[3 + 2(a-b)] \\&=6(a-b)^{2}(3+2a-2b)\end{aligned}$
【答案】
(1)$x(3x-6y+1)$；(2)$6(a-b)^{2}(3+2a-2b)$
【知识点】
提取公因式法，因式分解，互为相反数的整式变形
【点评】
本题核心考查提取公因式法因式分解，解题需注意两点：一是准确确定公因式，包括系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；二是正确处理互为相反数的整式的幂的符号转化，同时提取公因式后不能遗漏常数项，避免符号或漏项错误。
【难度系数】
0.6

7.简便计算:(1)$1.99^{2}+1.99×0.01$;
(2)$2024^{2}+2024-2025^{2}$。

7.解$:(1)1.99^{2}+1.99×0.01$
=1.99×(1.99+0.01)
=1.99×2
=3.98。
$(2)2024^{2}+2024-2025^{2}$
=(2024+2025)×(2024-2025)+2024
=-4049+2024
=-2025。

【分析】
(1)观察式子可知，两项中均含有公因式1.99，优先考虑提取公因式法简化计算。先提取公因式1.99，将原式转化为1.99与(1.99+0.01)的乘积，括号内的和为整数2，再计算乘法即可快速得出结果。
(2)式子中出现2024²和2025²，符合平方差公式的特征，先对2024²-2025²运用平方差公式展开，得到(2024+2025)×(2024-2025)，计算该部分后再加上2024，避免直接计算大数的平方，简化运算步骤。
【解析】
(1) $1.99^{2}+1.99×0.01$
$=1.99×(1.99+0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$
(2) $2024^{2}+2024-2025^{2}$
$=(2024^{2}-2025^{2})+2024$
$=(2024+2025)×(2024-2025)+2024$
$=4049×(-1)+2024$
$=-4049+2024$
$=-2025$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.98}$；(2) $\boldsymbol{-2025}$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在简便计算中的应用，第一题通过提取公因式将复杂的乘方与乘法运算转化为简单乘法，第二题结合平方差公式将大数平方运算转化为加减运算，有效降低计算难度，需要熟练掌握因式分解的基本方法并灵活运用。
【难度系数】
0.6

8.利用提取公因式法说明:对于任意正整数n,多项式$2^{n+4}-2^{n}$必有一个因数3。

8.解:因为$2^{n+4}-2^{n}=2^{n}×(2^{4}-1)=15×2^{n},$
所以对于任意正整数n,多项式$2^{n+4}-2^{n}$必有一个因数3。

【分析】
要说明多项式$2^{n+4}-2^{n}$必有一个因数3，我们可以利用提取公因式法对多项式变形。首先观察到多项式两项都是以2为底的幂，其中$2^n$是两项的公因式（因为$n+4＞n$，同底数幂中指数较小的幂为公因式）。提取公因式后计算括号内的部分，若结果是3的倍数，就能证明多项式含有因数3。具体思路为：先提取公因式$2^n$，再计算$2^4-1$的值，最后判断所得结果是否能被3整除。
【解析】
解：对多项式$2^{n+4}-2^{n}$提取公因式$2^n$，可得：
$2^{n+4}-2^{n}=2^{n}×(2^{4}-1)$
计算括号内的式子：$2^4-1=16-1=15$，因此：
$2^{n+4}-2^{n}=15×2^{n}$
因为$15=3×5$，即15是3的倍数，且$2^n$是正整数（n为正整数），所以$15×2^n$一定能被3整除，即对于任意正整数n，多项式$2^{n+4}-2^{n}$必有一个因数3。
【答案】
对于任意正整数n，多项式$2^{n+4}-2^{n}$必有一个因数3。
【知识点】
提取公因式法，同底数幂运算
【点评】
本题主要考查提取公因式法的应用与数的整除性判断，需要熟练掌握同底数幂的运算性质，通过提取公因式将多项式变形为含有因数3的形式来证明结论，注重基础运算能力与逻辑推理能力的考查，有助于加深对因式分解和幂运算的理解。
【难度系数】
0.8

9.先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:

解：(1)提公因式法，2；
(2)$(1+x)^{n+1}$；
(3)原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+x(x+1)^3+x(x+1)^4]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+x(x+1)^3]$
$=(1+x)^3[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2]$
$=(1+x)^4[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^5(1+x)$
$=(1+x)^6$

【分析】
首先观察给定的因式分解过程，第一步是提取公因式$(1+x)$，之后每一步都重复提取该公因式，由此可解决第一问：识别出所用方法为提公因式法，数清楚提取公因式的次数；
对于第二问，观察每次提取公因式后$(1+x)$的次数变化，初始式子是$1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}$，第一次提取后变为$(1+x)^2[1+x+\dots+x(x+1)^{n-2}]$，以此类推，每次提取后次数加1，最终结果的次数为$n+1$，即$(1+x)^{n+1}$；
第三问则应用上述规律，反复提取公因式$(1+x)$，每提取一次就将$(1+x)$的次数提升1，逐步化简，直到无法再提取，最终得到结果。
【解析】
(1) 观察因式分解过程，每一步均提取公因式$(1+x)$，因此所用方法是提公因式法，一共提取了2次公因式；
(2) 归纳规律：当式子为$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-1}$时，经过$n$次提取公因式$(1+x)$后，结果为$(1+x)^{n+1}$；
(3) 对原式进行因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+x(x+1)^3+x(x+1)^4]\\&=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+x(x+1)^3]\\&=(1+x)^3[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2]\\&=(1+x)^4[1+x+x(x+1)]\\&=(1+x)^5(1+x)\\&=(1+x)^6\end{aligned}$
【答案】
(1) 提公因式法，2；
(2) $(1+x)^{n+1}$；
(3) $(1+x)^6$
【知识点】
提公因式法，因式分解规律探究
【点评】
本题通过给出部分因式分解过程，引导学生先识别方法、总结规律，再应用规律解决复杂的因式分解问题，重点考查提公因式法的反复运用，同时培养学生的观察、归纳和推理能力，解题关键是准确把握每次提取公因式后式子的变化规律。
【难度系数】
0.5

例1 $1+x+x(1+x)=(1+x)(1+x)=(1+x)^{2}$

解：
$1+x+x(1+x)$
$=(1+x)(1+x)$
$=(1+x)^{2}$

【分析】
这道题是因式分解的基础题型，解题时先观察式子结构，发现式子中两项都含有公因式$(1+x)$，其中第一项$1+x$可看作$(1+x)×1$。接下来通过提取公因式$(1+x)$，将原式简化为两个$(1+x)$相乘的形式，最后合并得到平方形式即可完成因式分解。
【解析】
$1+x+x(1+x)$
$=(1+x)(1+x)$
$=(1+x)^{2}$
【答案】
$(1+x)^{2}$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题考查提公因式法因式分解的基础应用，核心是引导学生学会将多项式中的某一整体视为公因式进行提取，帮助学生理解公因式的灵活识别，是因式分解入门阶段的典型训练题。
【难度系数】
0.8

例2 $1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}$
$=(1+x)(1+x)+x(1+x)^{2}$
$=(1+x)^{2}+x(1+x)^{2}$
$=(1+x)^{2}(1+x)$
$=(1+x)^{3}$
(1)因式分解:$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}=$;
$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}+x(1+x)^{4}=$;
$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+\dots +x(1+x)^{n}=$;
(2)因式分解(要求写出关键步骤):
$x-1-x(x-1)+x(x-1)^{2}-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:

9.解$:(1)(1+x)^{4};(1+x)^{5};(1+x)^{n+1};$
(2)原式$=-(x-1)(x-1)+x(x-1)^{2}-x(x-1)^{2}+$
$x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{2}(x-1)-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{3}(1-x)+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{4}(x-1)$
$=(x-1)^{5}$。

【分析】
(1)观察已知的因式分解例子，发现每一步都是提取公因式$(1+x)$，每提取一次式子的次数就增加1。从例子中$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$最终分解为$(1+x)^3$，以此类推，添加$x(1+x)^3$时继续提取公因式可得到$(1+x)^4$，添加$x(1+x)^4$时得到$(1+x)^5$；对于n项的情况，经过n次提取公因式后，最终结果为$(1+x)^{n+1}$。
(2)参照(1)的方法，逐步提取公因式$(x-1)$，注意每一步的符号变化，将相邻两项或已提取后的式子作为整体，反复提取公因式，直到化为最简形式。
【解析】
(1)
①$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}$
$=(1+x)(1+x)+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}$
$=(1+x)^{2}+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}$
$=(1+x)^{2}(1+x)+x(1+x)^{3}$
$=(1+x)^{3}+x(1+x)^{3}$
$=(1+x)^{3}(1+x)$
$=(1+x)^{4}$
②$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+x(1+x)^{3}+x(1+x)^{4}$
$=(1+x)^{4}+x(1+x)^{4}$
$=(1+x)^{4}(1+x)$
$=(1+x)^{5}$
③$1+x+x(1+x)+x(1+x)^{2}+\dots +x(1+x)^{n}$
经过n次提取公因式$(1+x)$，最终可得$(1+x)^{n+1}$
(2)
原式$=(x-1)-x(x-1)+x(x-1)^{2}-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)(1-x)+x(x-1)^{2}-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$
$=-(x-1)^{2}+x(x-1)^{2}-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{2}(x-1)-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{3}-x(x-1)^{3}+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{3}(1-x)+x(x-1)^{4}$
$=-(x-1)^{4}+x(x-1)^{4}$
$=(x-1)^{4}(x-1)$
$=(x-1)^{5}$
【答案】
(1)$(1+x)^{4}$；$(1+x)^{5}$；$(1+x)^{n+1}$
(2)$(x-1)^{5}$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解规律探究
【点评】
本题通过逐步提取公因式进行因式分解，既考查了提公因式法的应用，又培养了归纳推理能力。解题时需注意观察式子结构，准确找到公因式，同时留意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.6