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1.把下列各多项式的公因式填写在横线上。
(1)$x^{2}-5xy$
(2)$-3m^{2}+12mn$
(3)$12b^{3}-8b^{2}+4b$
(4)$-4a^{3}b^{2}-12ab^{3}$
(1)$x^{2}-5xy$
x
;(2)$-3m^{2}+12mn$
-3m
;(3)$12b^{3}-8b^{2}+4b$
4b
;(4)$-4a^{3}b^{2}-12ab^{3}$
$-4ab^{2}$
。答案
$1.(1)x (2)-3m (3)4b (4)-4ab^{2}$
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循以下步骤：
1. 先找各项系数的最大公约数；
2. 再找出各项中共同含有的字母；
3. 确定共同字母的最低次幂；
4. 若多项式首项为负数，公因式通常取负号，使括号内首项为正。
针对每个小题：
(1) $x^{2}-5xy$中，系数1和-5的最大公约数是1，共同字母为x，x的最低次幂是1次，故公因式为x；
(2) $-3m^{2}+12mn$首项为负，系数-3和12的最大公约数是3，共同字母为m，m的最低次幂是1次，故公因式取$-3m$；
(3) $12b^{3}-8b^{2}+4b$中，系数12、-8、4的最大公约数是4，共同字母为b，b的最低次幂是1次，故公因式为4b；
(4) $-4a^{3}b^{2}-12ab^{3}$首项为负，系数-4和-12的最大公约数是4，共同字母为a、b，a的最低次幂是1次，b的最低次幂是2次，故公因式为$-4ab^{2}$。
【解析】
(1) 对于多项式$x^{2}-5xy$：
系数的最大公约数为$\gcd(1,5)=1$，两项均含字母$x$，$x$的最低次数为1，因此公因式为$x$；
(2) 对于多项式$-3m^{2}+12mn$：
首项为负，先考虑符号，系数的最大公约数为$\gcd(3,12)=3$，两项均含字母$m$，$m$的最低次数为1，因此公因式为$-3m$；
(3) 对于多项式$12b^{3}-8b^{2}+4b$：
系数的最大公约数为$\gcd(12,8,4)=4$，三项均含字母$b$，$b$的最低次数为1，因此公因式为$4b$；
(4) 对于多项式$-4a^{3}b^{2}-12ab^{3}$：
首项为负，系数的最大公约数为$\gcd(4,12)=4$，两项均含字母$a$、$b$，$a$的最低次数为1，$b$的最低次数为2，因此公因式为$-4ab^{2}$。
【答案】
(1)$x$；(2)$-3m$；(3)$4b$；(4)$-4ab^{2}$
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，需要学生熟练掌握系数最大公约数、相同字母最低次幂的判断，以及首项为负时的符号处理，为后续提取公因式法分解多项式奠定基础。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需遵循以下步骤：
1. 先找各项系数的最大公约数；
2. 再找出各项中共同含有的字母；
3. 确定共同字母的最低次幂；
4. 若多项式首项为负数，公因式通常取负号，使括号内首项为正。
针对每个小题：
(1) $x^{2}-5xy$中，系数1和-5的最大公约数是1，共同字母为x，x的最低次幂是1次，故公因式为x；
(2) $-3m^{2}+12mn$首项为负，系数-3和12的最大公约数是3，共同字母为m，m的最低次幂是1次，故公因式取$-3m$；
(3) $12b^{3}-8b^{2}+4b$中，系数12、-8、4的最大公约数是4，共同字母为b，b的最低次幂是1次，故公因式为4b；
(4) $-4a^{3}b^{2}-12ab^{3}$首项为负，系数-4和-12的最大公约数是4，共同字母为a、b，a的最低次幂是1次，b的最低次幂是2次，故公因式为$-4ab^{2}$。
【解析】
(1) 对于多项式$x^{2}-5xy$：
系数的最大公约数为$\gcd(1,5)=1$，两项均含字母$x$，$x$的最低次数为1，因此公因式为$x$；
(2) 对于多项式$-3m^{2}+12mn$：
首项为负，先考虑符号，系数的最大公约数为$\gcd(3,12)=3$，两项均含字母$m$，$m$的最低次数为1，因此公因式为$-3m$；
(3) 对于多项式$12b^{3}-8b^{2}+4b$：
系数的最大公约数为$\gcd(12,8,4)=4$，三项均含字母$b$，$b$的最低次数为1，因此公因式为$4b$；
(4) 对于多项式$-4a^{3}b^{2}-12ab^{3}$：
首项为负，系数的最大公约数为$\gcd(4,12)=4$，两项均含字母$a$、$b$，$a$的最低次数为1，$b$的最低次数为2，因此公因式为$-4ab^{2}$。
【答案】
(1)$x$；(2)$-3m$；(3)$4b$；(4)$-4ab^{2}$
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，需要学生熟练掌握系数最大公约数、相同字母最低次幂的判断，以及首项为负时的符号处理，为后续提取公因式法分解多项式奠定基础。
【难度系数】
0.8
2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。
(1)$-xy^{2}(x+y)^{3}+x(x+y)^{2}$的公因式是
(2)$3(x-y)-6y(y-x)$的公因式是
(3)$4x(m-n)+8y(n-m)^{2}$的公因式是
知识点2 提公因式法
(1)$-xy^{2}(x+y)^{3}+x(x+y)^{2}$的公因式是
$-x(x+y)^{2}$
;(2)$3(x-y)-6y(y-x)$的公因式是
3(x-y)
;(3)$4x(m-n)+8y(n-m)^{2}$的公因式是
4(m-n)
。知识点2 提公因式法
答案
$2.(1)-x(x+y)^{2} (2)3(x-y) (3)4(m-n)$
解析
【分析】
要找出多项式的公因式，需遵循“一看系数、二看字母（或因式）、三看符号”的思路：
1. 对于(1)，先看系数：-1和1的最大公约数是1；再看相同的因式：两项都含有$x$，且都含有$(x+y)$的幂次，其中$(x+y)$的最低次幂是2次；最后看符号，第一项为负，提取带负号的公因式更便于后续运算，因此可确定公因式。
2. 对于(2)，先将互为相反数的因式变形：$(y-x)=-(x-y)$，把原式转化为含相同因式的形式；再看系数：3和6的最大公约数是3；相同的因式是$(x-y)$，由此确定公因式。
3. 对于(3)，先利用平方的性质将$(n-m)^2$转化为$(m-n)^2$，使原式出现相同因式；再看系数：4和8的最大公约数是4；相同的因式是$(m-n)$的最低次幂1次，进而确定公因式。
【解析】
(1) 观察多项式$-xy^{2}(x+y)^{3}+x(x+y)^{2}$：
系数部分，-1和1的最大公约数为1；两项都含有的字母因式是$x$，都含有的多项式因式是$(x+y)$，其中$(x+y)$的最低次幂是2次，结合第一项的负号，公因式为$-x(x+y)^{2}$。
(2) 先对多项式变形：$3(x-y)-6y(y-x)=3(x-y)+6y(x-y)$，
系数3和6的最大公约数是3，两项都含有的多项式因式是$(x-y)$，因此公因式为$3(x-y)$。
(3) 先对多项式变形：$4x(m-n)+8y(n-m)^{2}=4x(m-n)+8y(m-n)^{2}$，
系数4和8的最大公约数是4，两项都含有的多项式因式是$(m-n)$，其最低次幂是1次，因此公因式为$4(m-n)$。
【答案】
(1)$-x(x+y)^{2}$；(2)$3(x-y)$；(3)$4(m-n)$
【知识点】
公因式的确定；因式符号转化
【点评】
本题重点考查公因式的确定方法，解题核心是掌握“系数取最大公约数，字母（或多项式因式）取公共且最低次幂”的原则，同时要熟练掌握互为相反数的因式的符号转化技巧，这是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
要找出多项式的公因式，需遵循“一看系数、二看字母（或因式）、三看符号”的思路：
1. 对于(1)，先看系数：-1和1的最大公约数是1；再看相同的因式：两项都含有$x$，且都含有$(x+y)$的幂次，其中$(x+y)$的最低次幂是2次；最后看符号，第一项为负，提取带负号的公因式更便于后续运算，因此可确定公因式。
2. 对于(2)，先将互为相反数的因式变形：$(y-x)=-(x-y)$，把原式转化为含相同因式的形式；再看系数：3和6的最大公约数是3；相同的因式是$(x-y)$，由此确定公因式。
3. 对于(3)，先利用平方的性质将$(n-m)^2$转化为$(m-n)^2$，使原式出现相同因式；再看系数：4和8的最大公约数是4；相同的因式是$(m-n)$的最低次幂1次，进而确定公因式。
【解析】
(1) 观察多项式$-xy^{2}(x+y)^{3}+x(x+y)^{2}$：
系数部分，-1和1的最大公约数为1；两项都含有的字母因式是$x$，都含有的多项式因式是$(x+y)$，其中$(x+y)$的最低次幂是2次，结合第一项的负号，公因式为$-x(x+y)^{2}$。
(2) 先对多项式变形：$3(x-y)-6y(y-x)=3(x-y)+6y(x-y)$，
系数3和6的最大公约数是3，两项都含有的多项式因式是$(x-y)$，因此公因式为$3(x-y)$。
(3) 先对多项式变形：$4x(m-n)+8y(n-m)^{2}=4x(m-n)+8y(m-n)^{2}$，
系数4和8的最大公约数是4，两项都含有的多项式因式是$(m-n)$，其最低次幂是1次，因此公因式为$4(m-n)$。
【答案】
(1)$-x(x+y)^{2}$；(2)$3(x-y)$；(3)$4(m-n)$
【知识点】
公因式的确定；因式符号转化
【点评】
本题重点考查公因式的确定方法，解题核心是掌握“系数取最大公约数，字母（或多项式因式）取公共且最低次幂”的原则，同时要熟练掌握互为相反数的因式的符号转化技巧，这是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
3.将$2x(a-2)-y(2-a)$因式分解,结果是(
A.$(a-2)(2x+y)$
B.$(2-a)(2x+y)$
C.$(a-2)(2x-y)$
D.$(2-a)(2x-y)$
A
)。A.$(a-2)(2x+y)$
B.$(2-a)(2x+y)$
C.$(a-2)(2x-y)$
D.$(2-a)(2x-y)$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这个因式分解问题，首先观察式子中的两项：$2x(a-2)$和$-y(2-a)$。发现$(a-2)$与$(2-a)$是互为相反数的关系，我们可以通过符号变换将它们转化为相同的形式，这样就能找到公因式。具体来说，$(2-a)=-(a-2)$，把这个代入原式后，式子就会变成含有相同公因式$(a-2)$的两项，再利用提取公因式法进行因式分解，最后对比选项得出答案。
【解析】
$\begin{aligned}2x(a-2)-y(2-a)&=2x(a-2)-y×[-(a-2)]\\&=2x(a-2)+y(a-2)\\&=(a-2)(2x+y)\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法、整式符号变换
【点评】
本题主要考查因式分解的基本方法，核心是通过符号变换将互为相反数的整式转化为相同形式，从而提取公因式。解题时需注意符号变化的准确性，避免因符号错误导致结果出错，属于基础题型，有助于巩固因式分解的核心思路。
【难度系数】
0.8
要解决这个因式分解问题，首先观察式子中的两项：$2x(a-2)$和$-y(2-a)$。发现$(a-2)$与$(2-a)$是互为相反数的关系，我们可以通过符号变换将它们转化为相同的形式，这样就能找到公因式。具体来说，$(2-a)=-(a-2)$，把这个代入原式后，式子就会变成含有相同公因式$(a-2)$的两项，再利用提取公因式法进行因式分解，最后对比选项得出答案。
【解析】
$\begin{aligned}2x(a-2)-y(2-a)&=2x(a-2)-y×[-(a-2)]\\&=2x(a-2)+y(a-2)\\&=(a-2)(2x+y)\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法、整式符号变换
【点评】
本题主要考查因式分解的基本方法，核心是通过符号变换将互为相反数的整式转化为相同形式，从而提取公因式。解题时需注意符号变化的准确性，避免因符号错误导致结果出错，属于基础题型，有助于巩固因式分解的核心思路。
【难度系数】
0.8
4.如果$a-b=3,ab=7$,那么$a^{2}b-ab^{2}$=
21
。答案
4.21
解析
【分析】
观察所求代数式$a^{2}b-ab^{2}$，发现它含有公因式$ab$，因此先通过提取公因式进行因式分解，将其转化为$ab(a-b)$的形式。这样就可以利用题目给出的$a-b=3$和$ab=7$这两个已知条件，采用整体代入的方法直接计算结果，避免了求解$a$、$b$具体值的复杂过程。
【解析】
1. 对代数式进行因式分解：
$a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)$
2. 将已知条件$a-b=3$，$ab=7$代入上式：
原式$=7×3=21$
【答案】
21
【知识点】
提取公因式法因式分解、整体代入思想
【点评】
本题考查了因式分解和整体代入的数学思想，属于基础题。解题关键是准确识别代数式的公因式，通过因式分解将所求式子转化为与已知条件相关的形式，进而利用整体代入快速计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察所求代数式$a^{2}b-ab^{2}$，发现它含有公因式$ab$，因此先通过提取公因式进行因式分解，将其转化为$ab(a-b)$的形式。这样就可以利用题目给出的$a-b=3$和$ab=7$这两个已知条件，采用整体代入的方法直接计算结果，避免了求解$a$、$b$具体值的复杂过程。
【解析】
1. 对代数式进行因式分解：
$a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)$
2. 将已知条件$a-b=3$，$ab=7$代入上式：
原式$=7×3=21$
【答案】
21
【知识点】
提取公因式法因式分解、整体代入思想
【点评】
本题考查了因式分解和整体代入的数学思想，属于基础题。解题关键是准确识别代数式的公因式，通过因式分解将所求式子转化为与已知条件相关的形式，进而利用整体代入快速计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
1.将$3x(a-b)-9y(b-a)$因式分解,应提的公因式是(
A.$3x-9y$
B.$3x+9y$
C.$a-b$
D.$3(a-b)$
D
)。A.$3x-9y$
B.$3x+9y$
C.$a-b$
D.$3(a-b)$
答案
1.D
解析
【分析】
要确定因式分解应提的公因式，需从系数和相同因式两方面分析。首先观察原式，发现$(b-a)$与$(a-b)$互为相反数，可将其变形为$-(a-b)$，把原式转化为$3x(a-b)+9y(a-b)$；接着找系数的最大公约数，3和9的最大公约数是3；再看两项共有的因式是$(a-b)$，因此公因式是系数最大公约数与共有因式的乘积，即$3(a-b)$。
【解析】
1. 符号变形：
因为$b-a=-(a-b)$，所以原式可改写为：
$3x(a-b)-9y(b-a)=3x(a-b)-9y×[-(a-b)]=3x(a-b)+9y(a-b)$
2. 确定公因式：
系数3和9的最大公约数是3，两项都含有的相同因式是$(a-b)$，因此公因式为$3(a-b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法、符号变形
【点评】
本题考查提公因式法中对公因式的确定，关键在于识别互为相反数的因式并进行符号转换，部分学生易忽略系数的最大公约数或符号变形，导致选错答案，需熟练掌握公因式的确定方法。
【难度系数】
0.7
要确定因式分解应提的公因式，需从系数和相同因式两方面分析。首先观察原式，发现$(b-a)$与$(a-b)$互为相反数，可将其变形为$-(a-b)$，把原式转化为$3x(a-b)+9y(a-b)$；接着找系数的最大公约数，3和9的最大公约数是3；再看两项共有的因式是$(a-b)$，因此公因式是系数最大公约数与共有因式的乘积，即$3(a-b)$。
【解析】
1. 符号变形：
因为$b-a=-(a-b)$，所以原式可改写为：
$3x(a-b)-9y(b-a)=3x(a-b)-9y×[-(a-b)]=3x(a-b)+9y(a-b)$
2. 确定公因式：
系数3和9的最大公约数是3，两项都含有的相同因式是$(a-b)$，因此公因式为$3(a-b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法、符号变形
【点评】
本题考查提公因式法中对公因式的确定，关键在于识别互为相反数的因式并进行符号转换，部分学生易忽略系数的最大公约数或符号变形，导致选错答案，需熟练掌握公因式的确定方法。
【难度系数】
0.7
