1. 把多项式 $4m^{2}-25$ 因式分解正确的是()。

A.$(4m+5)(4m-5)$
B.$(2m+5)(2m-5)$
C.$(m-5)(m+5)$
D.$m(m-5)(m+5)$

1. B

【分析】
要解决这道因式分解题，首先回忆因式分解的平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。先观察多项式$4m^2 - 25$的结构，判断它是否符合平方差的形式：其中$4m^2$可以转化为$(2m)^2$，$25$是$5^2$，满足“两个数的平方差”的特征。接下来套用平方差公式，将$a=2m$、$b=5$代入公式，就能得到正确的分解结果，再对比选项即可选出答案。同时要注意区分错误选项：A选项错误地将$4m^2$当作$(4m)^2$；C选项是$m^2 -25$的分解结果；D选项的形式是三次式，与原式二次多项式不符。
【解析】
步骤1：识别平方项
$4m^2 = (2m)^2$，$25 = 5^2$，因此多项式$4m^2 -25$可写成$(2m)^2 - 5^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2$的形式。
步骤2：套用平方差公式
根据$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将$a=2m$，$b=5$代入，可得：
$(2m)^2 - 5^2 = (2m+5)(2m-5)$
步骤3：对比选项，可知正确答案为B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式在因式分解中的应用，属于基础题型。解题关键是准确识别多项式中的平方项，避免误将$4m^2$错误转化为$(4m)^2$，同时要明确因式分解的结果需与原式次数一致，确保分解正确且彻底。
【难度系数】
0.8

2. 下列各多项式中,能用平方差公式因式分解的是()。

A.$-x^{2}+16$
B.$x^{2}+9$
C.$-x^{2}-4$
D.$x^{2}-2y$

2. A

【分析】
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，需明确平方差公式的特征：多项式需能表示为两个整式的平方的差，即形式为$a^2 - b^2$（其中$a$、$b$为整式）。接下来我们逐个分析选项，看哪个符合该特征。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，需满足“两个平方项的差”这一条件：
选项A：$-x^2 + 16 = 16 - x^2 = 4^2 - x^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式因式分解；
选项B：$x^2 + 9$是两个平方项的和，不符合平方差公式的“差”的要求，不能用平方差公式因式分解；
选项C：$-x^2 - 4 = -(x^2 + 4)$，本质是两个平方项和的相反数，不存在平方差的形式，不能用平方差公式因式分解；
选项D：$x^2 - 2y$中，$2y$不是整式的平方项，不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式因式分解。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式因式分解的特征，解题关键是准确识别多项式是否为“两个平方项的差”，需注意区分平方和与平方差的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8

3. 因式分解:
(1) $-9a^{2}b^{2}+\frac{1}{9}=$;
(2) $(a+b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}$
$=$;
(3) $9(m+n)^{2}-(m-n)^{2}=$。

3.(1)$(\frac{1}{3}+3ab)(\frac{1}{3}-3ab)$ (2)$4a(b+c)$
(3)$4(m+2n)(2m+n)$

【分析】
这三道题均考查平方差公式的应用，解题思路是先将原式转化为“平方项 - 平方项”的形式，再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，最后对分解后的式子化简整理：
1. 第(1)题：原式是负的平方项加正的平方项，先调整顺序为正平方项减负平方项，即$\frac{1}{9}-9a^2b^2$，再分别写成$(\frac{1}{3})^2$和$(3ab)^2$，符合平方差公式的结构，进而分解；
2. 第(2)题：直接是两个整体的平方差，把$(a+b+c)$和$(a-b-c)$分别看作平方差公式中的$a$和$b$，代入公式展开后，合并同类项化简即可；
3. 第(3)题：先把$9(m+n)^2$转化为$[3(m+n)]^2$，这样就变成了两个平方项的差，再套用平方差公式，展开括号后合并同类项，最后提取公因数得到最简结果。
【解析】
(1) $-9a^{2}b^{2}+\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{9}-9a^2b^2$
$=(\frac{1}{3})^2-(3ab)^2$
$=(\frac{1}{3}+3ab)(\frac{1}{3}-3ab)$
(2) $(a+b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}$
$=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]$
$=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)$
$=2a·2(b+c)$
$=4a(b+c)$
(3) $9(m+n)^{2}-(m-n)^{2}$
$=[3(m+n)]^2-(m-n)^2$
$=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]$
$=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)$
$=(4m+2n)(2m+4n)$
$=2(2m+n)·2(m+2n)$
$=4(m+2n)(2m+n)$
【答案】
(1)$(\frac{1}{3}+3ab)(\frac{1}{3}-3ab)$；(2)$4a(b+c)$；(3)$4(m+2n)(2m+n)$
【知识点】
平方差公式因式分解，整式化简
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别平方差的结构形式，对于复杂的整体项要能将其看作一个整体代入公式，同时注意分解后要化简到最简形式，避免遗漏公因数。
【难度系数】
0.6

1. 下列多项式中,可以运用平方差公式进行因式分解的是()。

A.$2x^{2}+y^{2}$
B.$2x^{2}-y$
C.$x^{2}-9y^{2}$
D.$x^{2}+9y^{2}$

1. C

【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式因式分解，首先需明确平方差公式的结构特征：只有形如$a^2 - b^2$（即两个平方项的差）的多项式，才能运用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解。接下来我们按以下步骤逐一分析选项：
1. 判断是否为两项式；
2. 判断两项是否均为平方项；
3. 判断两项是否为一正一负的差的形式。
【解析】
平方差公式因式分解的核心条件是多项式为“两个平方项的差”，即形式为$a^2 - b^2$。
选项A：$2x^2 + y^2$是两个平方项的和，不符合“差”的形式，无法用平方差公式因式分解；
选项B：$2x^2 - y$中$y$不是平方项，不满足平方差公式的结构要求，无法用平方差公式因式分解；
选项C：$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2$，完全符合$a^2 - b^2$的形式，可运用平方差公式分解为$(x+3y)(x-3y)$；
选项D：$x^2 + 9y^2$是两个平方项的和，不符合“差”的形式，无法用平方差公式因式分解。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征，解题关键是准确识别“两个平方项的差”这一核心形式，属于基础题型，侧重对公式概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8

2. 已知 $a+b=12,a-b=10$,则 $a^{2}-b^{2}$ 的值是()。

A.22
B.30
C.60
D.120

2. D

【分析】
首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，题目中已经直接给出$a+b=12$和$a-b=10$这两个条件，不需要单独求解$a$和$b$的值，直接将这两个数值代入平方差公式进行计算即可得到结果，这样能简化解题步骤，提高效率。
【解析】
根据平方差公式：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=12$，$a-b=10$，代入得：
$a^2 - b^2=12×10=120$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，通过已知条件直接代入公式即可快速得出答案，无需求解单个字母的值，体现了公式法在代数运算中的简便性，有助于学生巩固对平方差公式的理解与运用。
【难度系数】
0.9

3. 将多项式 $-m^{2}+n^{2}$ 用公式法进行因式分解,正确的是()。

A.$(m+n)(m-n)$
B.$(n-m)^{2}$
C.$(-m-n)(m+n)$
D.$(n+m)(n-m)$

3. D

【分析】
首先观察多项式$-m^{2}+n^{2}$的结构，可先将其变形为$n^{2}-m^{2}$，该形式符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。接下来确定公式中的$a$和$b$，这里$a=n$，$b=m$，代入平方差公式即可完成因式分解，最后对比选项选出正确结果。
【解析】
1. 整理多项式：
$-m^{2}+n^{2}=n^{2}-m^{2}$
2. 应用平方差公式因式分解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=n$，$b=m$，可得：
$n^{2}-m^{2}=(n+m)(n-m)$
对比选项，正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题关键是先将多项式调整为符合平方差公式的形式，注意区分平方差公式与完全平方公式的结构，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

4. 已知 $a^{2}-b^{2}=15,a-b=3$,则$a,b$的值分别为()。

A.4,1
B.4,-1
C.-4,1
D.-4,-1

4. A

【分析】
首先，观察题目给出的两个等式，其中$a^2 - b^2$可利用平方差公式分解为$(a - b)(a + b)$。已知$a - b=3$和$a^2 - b^2=15$，我们可以先通过平方差公式求出$a + b$的值，再联立$a - b=3$组成二元一次方程组，用加减消元法求解$a$和$b$的值，最后对应选项得出答案。
【解析】
1. 根据平方差公式，$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$；
2. 将$a^2 - b^2=15$，$a - b=3$代入上式，可得：
$3(a + b)=15$，解得$a + b=5$；
3. 联立方程组：
$\begin{cases}a - b=3 \\ a + b=5\end{cases}$
4. 将两个方程相加：$(a - b)+(a + b)=3+5$，即$2a=8$，解得$a=4$；
5. 将$a=4$代入$a - b=3$，得$4 - b=3$，解得$b=1$；
因此$a=4$，$b=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，二元一次方程组解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方差公式的应用与二元一次方程组的求解。解题关键是熟练掌握平方差公式的变形，通过联立方程组，利用加减消元法快速求出未知数的值，需要学生牢记公式并掌握基本的方程组解法。
【难度系数】
0.8