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5. 下列多项式因式分解的结果是$-(a+3)(a-3)$的为(
A.$a^{2}-9$
B.$a^{2}+9$
C.$-a^{2}-9$
D.$-a^{2}+9$
D
)。A.$a^{2}-9$
B.$a^{2}+9$
C.$-a^{2}-9$
D.$-a^{2}+9$
答案
5. D
解析
【分析】
要找出因式分解结果为$-(a+3)(a-3)$的多项式，可通过两种思路解决：一是将给定的因式分解结果展开，得到对应的多项式；二是对每个选项分别进行因式分解，再与题目结果对比。解题时需回忆平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，利用公式展开或分解来验证。
【解析】
方法一：展开给定的因式分解结果
$\begin{aligned}-(a+3)(a-3)&=-(a^2 - 3^2)\\&=-(a^2 - 9)\\&=-a^2 + 9\end{aligned}$
该结果对应选项D。
方法二：逐个分析选项
选项A：$a^2 - 9=(a+3)(a-3)$，与题目结果不符；
选项B：$a^2 + 9$不符合平方差公式的结构（平方差为两数平方相减），无法分解为$-(a+3)(a-3)$；
选项C：$-a^2 - 9=-(a^2 + 9)$，同样无法分解为题目中的形式；
选项D：$-a^2 + 9=9 - a^2=3^2 - a^2=(3+a)(3-a)=-(a+3)(a-3)$，与题目结果一致。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，同时要注意多项式中符号的处理，区分可分解与不可分解的多项式形式。
【难度系数】
0.8
要找出因式分解结果为$-(a+3)(a-3)$的多项式，可通过两种思路解决：一是将给定的因式分解结果展开，得到对应的多项式；二是对每个选项分别进行因式分解，再与题目结果对比。解题时需回忆平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，利用公式展开或分解来验证。
【解析】
方法一：展开给定的因式分解结果
$\begin{aligned}-(a+3)(a-3)&=-(a^2 - 3^2)\\&=-(a^2 - 9)\\&=-a^2 + 9\end{aligned}$
该结果对应选项D。
方法二：逐个分析选项
选项A：$a^2 - 9=(a+3)(a-3)$，与题目结果不符；
选项B：$a^2 + 9$不符合平方差公式的结构（平方差为两数平方相减），无法分解为$-(a+3)(a-3)$；
选项C：$-a^2 - 9=-(a^2 + 9)$，同样无法分解为题目中的形式；
选项D：$-a^2 + 9=9 - a^2=3^2 - a^2=(3+a)(3-a)=-(a+3)(a-3)$，与题目结果一致。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，同时要注意多项式中符号的处理，区分可分解与不可分解的多项式形式。
【难度系数】
0.8
6. 因式分解 $(x-1)^{2}-9$ 的结果是(
A.$(x-2)(x+4)$
B.$(x+2)(x-4)$
C.$(x-10)(x+8)$
D.$(x+8)(x+1)$
B
)。A.$(x-2)(x+4)$
B.$(x+2)(x-4)$
C.$(x-10)(x+8)$
D.$(x+8)(x+1)$
答案
6. B
解析
【分析】
这道题考查因式分解，观察式子可知，$(x-1)^2$是一个平方项，9可以写成$3^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式。解题思路是：先将原式转化为平方差的标准形式，把$(x-1)$当作公式中的$a$，3当作公式中的$b$，代入平方差公式展开，再化简括号内的整式，最后对比选项得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x-1)^2 - 9\\=&(x-1)^2 - 3^2\\=&[(x-1)+3][(x-1)-3]\\=&(x-1+3)(x-1-3)\\=&(x+2)(x-4)\end{aligned}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点在于识别平方差公式的结构特征，需学会将多项式中的整体看作平方项，运用公式后要注意化简括号内的整式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查因式分解，观察式子可知，$(x-1)^2$是一个平方项，9可以写成$3^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式。解题思路是：先将原式转化为平方差的标准形式，把$(x-1)$当作公式中的$a$，3当作公式中的$b$，代入平方差公式展开，再化简括号内的整式，最后对比选项得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x-1)^2 - 9\\=&(x-1)^2 - 3^2\\=&[(x-1)+3][(x-1)-3]\\=&(x-1+3)(x-1-3)\\=&(x+2)(x-4)\end{aligned}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点在于识别平方差公式的结构特征，需学会将多项式中的整体看作平方项，运用公式后要注意化简括号内的整式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 因式分解:
$m^{2}-9=$
$2m^{2}-8=$
$a^{4}-16=$
$m^{2}-9=$
$(m+3)(m-3)$
;$2m^{2}-8=$
$2(m+2)(m-2)$
;$a^{4}-16=$
$(a^{2}+4)(a+2)(a-2)$
。答案
7. $(m+3)(m-3)$ $2(m+2)(m-2)$
$(a^{2}+4)(a+2)(a-2)$
$(a^{2}+4)(a+2)(a-2)$
解析
【分析】
这三道题均为因式分解题，解题思路是先观察式子特征，优先提取公因式，再利用平方差公式分解，需保证分解彻底：
1. 对于$m^2 - 9$，式子直接符合平方差公式$a^2-b^2$的形式，其中$a=m$，$b=3$，直接套用公式分解即可。
2. 对于$2m^2 - 8$，先观察到两项有公因式2，提取公因式后得到$2(m^2 - 4)$，括号内的式子仍符合平方差公式，需继续分解。
3. 对于$a^4 - 16$，先将其变形为$(a^2)^2 - 4^2$，套用平方差公式分解为$(a^2 + 4)(a^2 - 4)$，其中$a^2 - 4$还能继续用平方差公式分解，而$a^2 + 4$无法再分解，需分解到不能再分解为止。
【解析】
1. $m^2 - 9 = m^2 - 3^2 = (m + 3)(m - 3)$；
2. $2m^2 - 8 = 2(m^2 - 4) = 2(m^2 - 2^2) = 2(m + 2)(m - 2)$；
3. $a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 + 4)(a^2 - 4) = (a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$。
【答案】
$(m+3)(m-3)$；$2(m+2)(m-2)$；$(a^{2}+4)(a+2)(a-2)$
【知识点】
平方差公式因式分解；提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，核心是遵循“先提公因式，再用公式”的原则，且要保证因式分解彻底，不能遗漏可继续分解的部分。
【难度系数】
0.7
这三道题均为因式分解题，解题思路是先观察式子特征，优先提取公因式，再利用平方差公式分解，需保证分解彻底：
1. 对于$m^2 - 9$，式子直接符合平方差公式$a^2-b^2$的形式，其中$a=m$，$b=3$，直接套用公式分解即可。
2. 对于$2m^2 - 8$，先观察到两项有公因式2，提取公因式后得到$2(m^2 - 4)$，括号内的式子仍符合平方差公式，需继续分解。
3. 对于$a^4 - 16$，先将其变形为$(a^2)^2 - 4^2$，套用平方差公式分解为$(a^2 + 4)(a^2 - 4)$，其中$a^2 - 4$还能继续用平方差公式分解，而$a^2 + 4$无法再分解，需分解到不能再分解为止。
【解析】
1. $m^2 - 9 = m^2 - 3^2 = (m + 3)(m - 3)$；
2. $2m^2 - 8 = 2(m^2 - 4) = 2(m^2 - 2^2) = 2(m + 2)(m - 2)$；
3. $a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 + 4)(a^2 - 4) = (a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$。
【答案】
$(m+3)(m-3)$；$2(m+2)(m-2)$；$(a^{2}+4)(a+2)(a-2)$
【知识点】
平方差公式因式分解；提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，核心是遵循“先提公因式，再用公式”的原则，且要保证因式分解彻底，不能遗漏可继续分解的部分。
【难度系数】
0.7
8. 已知 $x+y=5,x-y=7$,则 $x^{2}-y^{2}$
$=$
$=$
35
。答案
8. 35
解析
【分析】
首先观察所求式子$x^2 - y^2$，可联想到平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=y$，因此$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$。题目已给出$x+y=5$，$x-y=7$，只需将这两个已知值代入公式计算就能得到结果。
【解析】
根据平方差公式：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
已知$x+y=5$，$x-y=7$，代入得：
原式$=5×7=35$
【答案】
35
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式，将已知条件代入公式即可快速求解，能帮助学生巩固对平方差公式的记忆与应用。
【难度系数】
0.9
首先观察所求式子$x^2 - y^2$，可联想到平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=y$，因此$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$。题目已给出$x+y=5$，$x-y=7$，只需将这两个已知值代入公式计算就能得到结果。
【解析】
根据平方差公式：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
已知$x+y=5$，$x-y=7$，代入得：
原式$=5×7=35$
【答案】
35
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式，将已知条件代入公式即可快速求解，能帮助学生巩固对平方差公式的记忆与应用。
【难度系数】
0.9
9. 若 $m^{2}-n^{2}=-8,m-n=-2$,则代数式$m+n$的值是
4
。答案
9.4
解析
【分析】
首先观察到代数式$m^2 - n^2$可通过平方差公式分解为$(m-n)(m+n)$。题目已给出$m^2 - n^2$与$m-n$的具体数值，我们只需将已知值代入分解后的式子，通过简单的除法运算就能求出$m+n$的值。解题核心是熟练运用平方差公式，借助整体代入的思想简化计算。
【解析】
根据平方差公式：$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$
已知$m^2 - n^2=-8$，$m-n=-2$，将其代入公式得：
$-8 = (-2)(m+n)$
两边同时除以$-2$：
$m+n = \frac{-8}{-2}=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方差公式的逆用。解题时需准确把握平方差公式的结构，通过整体代入已知条件快速求解，有助于强化整体代换的数学思维。
【难度系数】
0.8
首先观察到代数式$m^2 - n^2$可通过平方差公式分解为$(m-n)(m+n)$。题目已给出$m^2 - n^2$与$m-n$的具体数值，我们只需将已知值代入分解后的式子，通过简单的除法运算就能求出$m+n$的值。解题核心是熟练运用平方差公式，借助整体代入的思想简化计算。
【解析】
根据平方差公式：$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$
已知$m^2 - n^2=-8$，$m-n=-2$，将其代入公式得：
$-8 = (-2)(m+n)$
两边同时除以$-2$：
$m+n = \frac{-8}{-2}=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方差公式的逆用。解题时需准确把握平方差公式的结构，通过整体代入已知条件快速求解，有助于强化整体代换的数学思维。
【难度系数】
0.8
10. 将下列各式因式分解:
(1)$1-9y^{2}$; (2)$9b^{2}-a^{2}$;
(3)$9a^{2}-36b^{2}$; (4)$-x^{2}+4y^{2}$;
(5)$4x^{2}y-y^{3}$; (6)$3m^{2}n-12n$;
(7)$4a^{2}-16$; (8)$(2x+y)^{2}-(x+2y)^{2}$。
(1)$1-9y^{2}$; (2)$9b^{2}-a^{2}$;
(3)$9a^{2}-36b^{2}$; (4)$-x^{2}+4y^{2}$;
(5)$4x^{2}y-y^{3}$; (6)$3m^{2}n-12n$;
(7)$4a^{2}-16$; (8)$(2x+y)^{2}-(x+2y)^{2}$。
答案
10.(1)$(1+3y)(1-3y)$ (2)$(3b+a)(3b-a)$
(3)$9(a+2b)(a-2b)$ (4)$(2y+x)(2y-x)$
(5)$y(2x+y)(2x-y)$ (6)$3n(m+2)(m-2)$
(7)$4(a+2)(a-2)$ (8)$3(x+y)(x-y)$
(3)$9(a+2b)(a-2b)$ (4)$(2y+x)(2y-x)$
(5)$y(2x+y)(2x-y)$ (6)$3n(m+2)(m-2)$
(7)$4(a+2)(a-2)$ (8)$3(x+y)(x-y)$
解析
【分析】
本题考查因式分解，解题思路是：先观察每个式子是否有公因式，若有则先提取公因式；再看剩余部分是否符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，若符合则利用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
具体来看：
(1)式可直接看作$1^2-(3y)^2$，符合平方差公式；
(2)式是$(3b)^2-a^2$，直接用平方差公式；
(3)式先提取公因式9，剩余部分$a^2-4b^2$符合平方差公式；
(4)式先变形为$4y^2-x^2$，即$(2y)^2-x^2$，再用平方差公式；
(5)式先提取公因式y，剩余部分$4x^2-y^2$符合平方差公式；
(6)式先提取公因式3n，剩余部分$m^2-4$符合平方差公式；
(7)式先提取公因式4，剩余部分$a^2-4$符合平方差公式；
(8)式把$(2x+y)$和$(x+2y)$看作整体，利用平方差公式展开后，再提取公因式3化简。
【解析】
(1) $1-9y^2=1^2-(3y)^2=(1+3y)(1-3y)$；
(2) $9b^2-a^2=(3b)^2-a^2=(3b+a)(3b-a)$；
(3) $9a^2-36b^2=9(a^2-4b^2)=9[a^2-(2b)^2]=9(a+2b)(a-2b)$；
(4) $-x^2+4y^2=4y^2-x^2=(2y)^2-x^2=(2y+x)(2y-x)$；
(5) $4x^2y-y^3=y(4x^2-y^2)=y[(2x)^2-y^2]=y(2x+y)(2x-y)$；
(6) $3m^2n-12n=3n(m^2-4)=3n(m^2-2^2)=3n(m+2)(m-2)$；
(7) $4a^2-16=4(a^2-4)=4(a^2-2^2)=4(a+2)(a-2)$；
(8) $(2x+y)^2-(x+2y)^2=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)$。
【答案】
(1)$(1+3y)(1-3y)$；(2)$(3b+a)(3b-a)$；
(3)$9(a+2b)(a-2b)$；(4)$(2y+x)(2y-x)$；
(5)$y(2x+y)(2x-y)$；(6)$3n(m+2)(m-2)$；
(7)$4(a+2)(a-2)$；(8)$3(x+y)(x-y)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，涵盖了提取公因式法和平方差公式的综合运用，解题时需注意：一是先看是否有公因式，优先提取公因式；二是运用平方差公式时要准确识别平方项，对于形如第(8)题的式子，要学会用整体思想将多项式看作平方项；三是要保证因式分解彻底，每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.6
本题考查因式分解，解题思路是：先观察每个式子是否有公因式，若有则先提取公因式；再看剩余部分是否符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，若符合则利用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
具体来看：
(1)式可直接看作$1^2-(3y)^2$，符合平方差公式；
(2)式是$(3b)^2-a^2$，直接用平方差公式；
(3)式先提取公因式9，剩余部分$a^2-4b^2$符合平方差公式；
(4)式先变形为$4y^2-x^2$，即$(2y)^2-x^2$，再用平方差公式；
(5)式先提取公因式y，剩余部分$4x^2-y^2$符合平方差公式；
(6)式先提取公因式3n，剩余部分$m^2-4$符合平方差公式；
(7)式先提取公因式4，剩余部分$a^2-4$符合平方差公式；
(8)式把$(2x+y)$和$(x+2y)$看作整体，利用平方差公式展开后，再提取公因式3化简。
【解析】
(1) $1-9y^2=1^2-(3y)^2=(1+3y)(1-3y)$；
(2) $9b^2-a^2=(3b)^2-a^2=(3b+a)(3b-a)$；
(3) $9a^2-36b^2=9(a^2-4b^2)=9[a^2-(2b)^2]=9(a+2b)(a-2b)$；
(4) $-x^2+4y^2=4y^2-x^2=(2y)^2-x^2=(2y+x)(2y-x)$；
(5) $4x^2y-y^3=y(4x^2-y^2)=y[(2x)^2-y^2]=y(2x+y)(2x-y)$；
(6) $3m^2n-12n=3n(m^2-4)=3n(m^2-2^2)=3n(m+2)(m-2)$；
(7) $4a^2-16=4(a^2-4)=4(a^2-2^2)=4(a+2)(a-2)$；
(8) $(2x+y)^2-(x+2y)^2=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)$。
【答案】
(1)$(1+3y)(1-3y)$；(2)$(3b+a)(3b-a)$；
(3)$9(a+2b)(a-2b)$；(4)$(2y+x)(2y-x)$；
(5)$y(2x+y)(2x-y)$；(6)$3n(m+2)(m-2)$；
(7)$4(a+2)(a-2)$；(8)$3(x+y)(x-y)$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，涵盖了提取公因式法和平方差公式的综合运用，解题时需注意：一是先看是否有公因式，优先提取公因式；二是运用平方差公式时要准确识别平方项，对于形如第(8)题的式子，要学会用整体思想将多项式看作平方项；三是要保证因式分解彻底，每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.6
11. 对于多项式 $x^{a}-y^{2}$(其中 $1≤ a≤ 6$,且$a$为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则$a$的值可能是
2或4或6
。答案
11.2或4或6
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确平方差公式的结构特征：平方差公式为$A^2 - B^2=(A-B)(A+B)$，即能利用该公式因式分解的多项式必须是两个整式平方项的差。题目中的多项式是$x^{a}-y^{2}$，其中$y^2$已经是平方项，因此$x^a$必须能写成某个整式的平方形式，这就要求指数$a$为偶数（因为当$a$为偶数时，$x^a=(x^{\frac{a}{2}})^2$，是整式的平方）。再结合题目给定的$1≤ a≤ 6$且$a$为整数的范围，找出该范围内的偶数即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式的应用条件，多项式需为两个整式平方项的差。
已知$y^2$是平方项，因此$x^a$需满足是整式的平方，即$a$为偶数。
又因为$1≤a≤6$且$a$为整数，所以符合条件的$a$的值为2、4、6。
【答案】
2或4或6
【知识点】
平方差公式因式分解；指数奇偶性
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是将问题转化为判断$x^a$是否为平方项，进而确定$a$的奇偶性，需要准确掌握平方差公式的适用条件，并结合给定范围筛选数值，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确平方差公式的结构特征：平方差公式为$A^2 - B^2=(A-B)(A+B)$，即能利用该公式因式分解的多项式必须是两个整式平方项的差。题目中的多项式是$x^{a}-y^{2}$，其中$y^2$已经是平方项，因此$x^a$必须能写成某个整式的平方形式，这就要求指数$a$为偶数（因为当$a$为偶数时，$x^a=(x^{\frac{a}{2}})^2$，是整式的平方）。再结合题目给定的$1≤ a≤ 6$且$a$为整数的范围，找出该范围内的偶数即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式的应用条件，多项式需为两个整式平方项的差。
已知$y^2$是平方项，因此$x^a$需满足是整式的平方，即$a$为偶数。
又因为$1≤a≤6$且$a$为整数，所以符合条件的$a$的值为2、4、6。
【答案】
2或4或6
【知识点】
平方差公式因式分解；指数奇偶性
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是将问题转化为判断$x^a$是否为平方项，进而确定$a$的奇偶性，需要准确掌握平方差公式的适用条件，并结合给定范围筛选数值，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.7
12. 若$k$为任意整数,则 $(2k+3)^{2}-4k^{2}$ 的值总能被
3
整除。答案
12.3
解析
【分析】
要确定原式的值总能被哪个数整除，我们可以先对原式进行化简。首先利用完全平方公式展开式子中的平方项，再通过合并同类项简化表达式，最后提取公因式，观察化简后的结果，其公因数即为所求的数。因为k是任意整数，化简后的式子是该公因数与整数的乘积，所以原式总能被这个公因数整除。
【解析】
$\begin{aligned}&(2k+3)^2 - 4k^2\\=&4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{展开）}\\=&12k + 9 \quad \mathrm{（合并同类项，消去}4k^2\mathrm{）}\\=&3(4k + 3) \quad \mathrm{（提取公因式3）}\end{aligned}$
因为k为任意整数，所以$4k+3$是整数，即原式可表示为3与一个整数的乘积，因此原式的值总能被3整除。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式、整式化简、提取公因式
【点评】
本题主要考查整式的运算与因式分解的应用，解题核心是通过完全平方公式展开和合并同类项将原式化简，再提取公因式找到公因数，从而确定整除的数，题目难度较低，侧重对基础公式和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定原式的值总能被哪个数整除，我们可以先对原式进行化简。首先利用完全平方公式展开式子中的平方项，再通过合并同类项简化表达式，最后提取公因式，观察化简后的结果，其公因数即为所求的数。因为k是任意整数，化简后的式子是该公因数与整数的乘积，所以原式总能被这个公因数整除。
【解析】
$\begin{aligned}&(2k+3)^2 - 4k^2\\=&4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{展开）}\\=&12k + 9 \quad \mathrm{（合并同类项，消去}4k^2\mathrm{）}\\=&3(4k + 3) \quad \mathrm{（提取公因式3）}\end{aligned}$
因为k为任意整数，所以$4k+3$是整数，即原式可表示为3与一个整数的乘积，因此原式的值总能被3整除。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式、整式化简、提取公因式
【点评】
本题主要考查整式的运算与因式分解的应用，解题核心是通过完全平方公式展开和合并同类项将原式化简，再提取公因式找到公因数，从而确定整除的数，题目难度较低，侧重对基础公式和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
13. 如图,把边长为$a$的一块正方形纸板的四角,各剪去一个边长为 $b(b＜\frac{a}{2})$ 的小正方形。
(1)求该纸板剩余部分(阴影部分)的面积(用含$a,b$的代数式表示);
(2)先因式分解,再计算出当 $a=35\ \mathrm{cm}$,
$b=2.5\ \mathrm{cm}$时,剩余部分的面积。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)求该纸板剩余部分(阴影部分)的面积(用含$a,b$的代数式表示);
(2)先因式分解,再计算出当 $a=35\ \mathrm{cm}$,
$b=2.5\ \mathrm{cm}$时,剩余部分的面积。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
13.解:(1)根据题意,得阴影部分的面积为$a^{2}-4b^{2}$;
(2)$a^{2}-4b^{2}$
$=(a+2b)(a-2b)$。
当$a=35\ \mathrm{cm},b=2.5\ \mathrm{cm}$时,
原式$=(35+5)(35-5)=40×30=1200\ (\mathrm{cm}^{2})$。
(2)$a^{2}-4b^{2}$
$=(a+2b)(a-2b)$。
当$a=35\ \mathrm{cm},b=2.5\ \mathrm{cm}$时,
原式$=(35+5)(35-5)=40×30=1200\ (\mathrm{cm}^{2})$。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，采用“整体减部分”的思路求解：剩余部分面积 = 大正方形面积 - 四个小正方形的总面积。先根据正方形面积公式分别求出大正方形和单个小正方形的面积，再计算四个小正方形的总面积，最后作差得到剩余面积的代数式。
2. 对于第(2)问，先观察代数式$a^2-4b^2$的形式，它符合平方差公式的特征，先利用平方差公式因式分解，再代入给定的数值计算，能简化运算过程。
【解析】
(1) 大正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式，大正方形的面积为$a^2$；
每个小正方形的边长为$b$，则单个小正方形的面积为$b^2$，四个小正方形的总面积为$4b^2$；
因此剩余部分（阴影部分）的面积为：$\boldsymbol{a^2 - 4b^2}$。
(2) 对$a^2 - 4b^2$进行因式分解，根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=a$，$n=2b$，可得：
$a^2 - 4b^2=(a+2b)(a-2b)$
将$a=35\ \mathrm{cm}$，$b=2.5\ \mathrm{cm}$代入上式：
原式$=(35+2×2.5)(35-2×2.5)=(35+5)(35-5)=40×30=1200\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - 4b^2}$；
(2) $\boldsymbol{1200\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
正方形面积公式、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查整式运算与因式分解的实际应用，通过“整体减部分”的思路解决面积问题，再利用因式分解简化计算，体现了数学知识在实际问题中的实用性，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 对于第(1)问，采用“整体减部分”的思路求解：剩余部分面积 = 大正方形面积 - 四个小正方形的总面积。先根据正方形面积公式分别求出大正方形和单个小正方形的面积，再计算四个小正方形的总面积，最后作差得到剩余面积的代数式。
2. 对于第(2)问，先观察代数式$a^2-4b^2$的形式，它符合平方差公式的特征，先利用平方差公式因式分解，再代入给定的数值计算，能简化运算过程。
【解析】
(1) 大正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式，大正方形的面积为$a^2$；
每个小正方形的边长为$b$，则单个小正方形的面积为$b^2$，四个小正方形的总面积为$4b^2$；
因此剩余部分（阴影部分）的面积为：$\boldsymbol{a^2 - 4b^2}$。
(2) 对$a^2 - 4b^2$进行因式分解，根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=a$，$n=2b$，可得：
$a^2 - 4b^2=(a+2b)(a-2b)$
将$a=35\ \mathrm{cm}$，$b=2.5\ \mathrm{cm}$代入上式：
原式$=(35+2×2.5)(35-2×2.5)=(35+5)(35-5)=40×30=1200\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - 4b^2}$；
(2) $\boldsymbol{1200\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
正方形面积公式、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查整式运算与因式分解的实际应用，通过“整体减部分”的思路解决面积问题，再利用因式分解简化计算，体现了数学知识在实际问题中的实用性，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
