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15. 一辆装货的小货车高2.9 m,宽为2.4 m.要开进下部为长方形,上部为半圆形的某仓库大门(如图),这辆货车能否通过大门?请说明理由.
答案
15. 解：这辆货车不能通过大门，理由如下：
设半圆的圆心为$O，$货车宽度为2.4 m，取货车边缘对应的点$E，$使$OE = \frac{2.4}{2} = 1.2$ m，$OE$垂直于长方形的边，交半圆于$D，$连接$OD，$
由题意知，$OD = \frac{2.6}{2} = 1.3$ m，长方形的高为2.3 m，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，根据勾股定理：
$DE = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{1.3^2 - 1.2^2} = \sqrt{0.25} = 0.5$ m，
则该位置大门的总高度为$2.3 + 0.5 = 2.8$ m，
因为$2.8 ＜ 2.9，$
所以这辆货车不能通过大门。
16. 如图,$∠ AOB=90°$,$OA=9\ \mathrm{m}$,$OB=3\ \mathrm{m}$,小球从点$A$出发沿着$AO$方向匀速滚向点$O$,与此同时,机器人从点$B$出发,沿直线匀速前进去拦截小球,恰好在点$C$处截住了小球,若小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,为2.5 m/min,则机器人与小球相遇时运动了多长时间?
答案
16. 解：设机器人与小球相遇时运动了$t$分钟，
由题意得：$AC = BC = 2.5t$ m，$OC = OA - AC = (9 - 2.5t)$ m，
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$∠ AOB = 90°，$根据勾股定理：
$OC^2 + OB^2 = BC^2，$
代入得：$(9 - 2.5t)^2 + 3^2 = (2.5t)^2，$
展开并化简：
$81 - 45t + 6.25t^2 + 9 = 6.25t^2，$
$90 - 45t = 0，$
解得$t = 2。$
答：机器人与小球相遇时运动了2分钟。
17. (2023·随州)
如图,在Rt$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$D$为$AC$上一点,若$BD$是$∠ ABC$的角平分线,则$AD=$
如图,在Rt$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$D$为$AC$上一点,若$BD$是$∠ ABC$的角平分线,则$AD=$
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.答案
17. 5
