1. (2023·贵州)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$BC = 5$,$CD = 3$.按照图中的尺规作图痕迹作射线DP交BC于点G,则BG的长为 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

1.A

证明：由尺规作图痕迹可知，DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
∵AD//BC，
∴∠ADP=∠DGC，
∴∠CDP=∠DGC，
∴CG=CD=3，
∵BC=5，
∴BG=BC-CG=5-3=2.
结论：BG的长为2，选A.

2. 如图,AC,BD相交于点O,$∠A = ∠D$,若再补充一个条件,使得$\triangle BOC$为等腰三角形,则该条件不能是 ()

A.$OA = OD$
B.$AB = CD$
C.$∠ABO = ∠DCO$
D.$∠ABC = ∠DCB$

2.C

证明：
选项A：若$OA = OD$，
在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，
$\angle A = \angle D$，$OA = OD$，$\angle AOB = \angle DOC$（对顶角相等），
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle DOC$（ASA），
$\therefore OB = OC$，$\triangle BOC$为等腰三角形。
选项B：若$AB = CD$，
在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，
$\angle A = \angle D$，$\angle AOB = \angle DOC$，$AB = CD$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle DOC$（AAS），
$\therefore OB = OC$，$\triangle BOC$为等腰三角形。
选项C：若$\angle ABO = \angle DCO$，
在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，
$\angle A = \angle D$，$\angle ABO = \angle DCO$，$\angle AOB = \angle DOC$，
仅能判定两三角形相似，无法得出$OB = OC$或$BC = OB$或$BC = OC$，
$\triangle BOC$不一定为等腰三角形。
选项D：若$\angle ABC = \angle DCB$，
$\because \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$，$\angle DCB = \angle DCO + \angle OCB$，
由$\angle A = \angle D$，$\angle AOB = \angle DOC$，得$\angle ABO = \angle DCO$（三角形内角和定理），
$\therefore \angle OBC = \angle OCB$，
$\therefore OB = OC$，$\triangle BOC$为等腰三角形。
综上，该条件不能是选项C。
答案：C

3. (新情境·现实生活)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东$60^{\circ}$方向上,轮船沿正东方向前进30海里后到达B处,测得灯塔P位于其北偏东$30^{\circ}$方向上,此时轮船与灯塔P的距离为海里.
]

3.30

解：由题意得，∠PAB=30°，∠PBA=120°，AB=30海里。
在△PAB中，∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=30°。
∴∠PAB=∠APB，
∴PB=AB=30海里。
答：此时轮船与灯塔P的距离为30海里。

4. (2024·重庆B卷)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠A = 36^{\circ}$,BD平分$∠ABC$交AC于点D.若$BC = 2$,则AD的长为.
]

4.2

解：在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36°$，
$\therefore \angle ABC = \angle C = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle DBC = \frac{72°}{2} = 36°$。
$\therefore \angle BDC = 180° - \angle DBC - \angle C = 180° - 36° - 72° = 72°$。
$\therefore \angle BDC = \angle C$，$\angle A = \angle ABD$，
$\therefore AD = BD$，$BD = BC$。
$\because BC = 2$，
$\therefore AD = BD = BC = 2$。
2

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,过点A作BC的平行线交$∠ABC$的平分线于点D,连接CD.求证:$\triangle ACD$为等腰三角形.

5.
∵AD//BC,
∴∠ADB = ∠DBC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD = ∠DBC,
∴∠ABD = ∠ADB,
∴AB = AD.
∵AB = AC,
∴AD = AC,
∴△ACD是等腰三角形

6. (教材P45练习第1题变式)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A = 36^{\circ}$,$AB = AC$,BD是$\triangle ABC$的角平分线.若在边AB上截取$BE = BC$,连接DE,则图中的等腰三角形共有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

6.D 解析：
∵AB = AC,∠A = 36°,
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - 36°) = 72°.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD = ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 36°,
∴∠A = ∠ABD,
∴AD = BD,
∴△ABD是等腰三角形.
∵在△BCD中,∠BDC = 180° - ∠CBD - ∠C = 180° - 36° - 72° = 72°,
∴∠BDC = ∠C,
∴BD = BC,
∴△BCD是等腰三角形.又
∵BE = BC,
∴BD = BE,
∴△BDE是等腰三角形,
∴∠BDE = ∠BED = $\frac{1}{2}$×(180° - 36°) = 72°.
∵∠BED是△AED的外角,∠A = 36°,
∴∠ADE = ∠BED - ∠A = 72° - 36° = 36°,
∴∠A = ∠ADE,
∴AE = DE,
∴△ADE是等腰三角形.综上所述,等腰三角形共有5个.