8. (2023·凉山)如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$∠A=40^{\circ }$，根据尺规作图的痕迹作直线$MN$与$AC$交于点$D$，连接$BD$，则$∠DBC$的度数为(
A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$50^{\circ }$
B
)A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$50^{\circ }$
答案
8.B
解析
解：
∵在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=40°$，
∴$\angle ABC=\angle C=\frac{180° - 40°}{2}=70°$。
由尺规作图痕迹可知，$MN$为$AB$的垂直平分线，
∴$AD=BD$，$\angle ABD=\angle A=40°$。
∴$\angle DBC=\angle ABC - \angle ABD=70° - 40°=30°$。
答案：B
∵在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=40°$，
∴$\angle ABC=\angle C=\frac{180° - 40°}{2}=70°$。
由尺规作图痕迹可知，$MN$为$AB$的垂直平分线，
∴$AD=BD$，$\angle ABD=\angle A=40°$。
∴$\angle DBC=\angle ABC - \angle ABD=70° - 40°=30°$。
答案：B
9. (2024·云南)已知$AF$是等腰三角形$ABC$底边$BC$上的高，若点$F$到直线$AB$的距离为$3$，则点$F$到直线$AC$的距离为(
A.$\frac {3}{2}$
B.$2$
C.$3$
D.$\frac {7}{2}$
C
)A.$\frac {3}{2}$
B.$2$
C.$3$
D.$\frac {7}{2}$
答案
9.C
解析
∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，
∴AB=AC，∠BAF=∠CAF，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3。
C
10. (2024·内江)如图，在$\triangle ABC$中，$∠DCE=40^{\circ }$，$AE=AC$，$BC=BD$，则$∠ACB$的度数为
100°
.答案
10.100°
解析
解：设$\angle ACB = x$，$\angle ACD = \alpha$，$\angle BCE = \beta$，则$\alpha + \beta = x - 40°$。
因为$AE = AC$，所以$\angle AEC = \angle ACE = \alpha + 40°$，$\angle A = 180° - 2(\alpha + 40°) = 100° - 2\alpha$。
因为$BC = BD$，所以$\angle BDC = \angle BCD = \beta + 40°$，$\angle B = 180° - 2(\beta + 40°) = 100° - 2\beta$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180°$，即：
$(100° - 2\alpha) + (100° - 2\beta) + x = 180°$
将$\alpha + \beta = x - 40°$代入上式：
$200° - 2(x - 40°) + x = 180°$
$200° - 2x + 80° + x = 180°$
$280° - x = 180°$
解得$x = 100°$，即$\angle ACB = 100°$。
100°
因为$AE = AC$，所以$\angle AEC = \angle ACE = \alpha + 40°$，$\angle A = 180° - 2(\alpha + 40°) = 100° - 2\alpha$。
因为$BC = BD$，所以$\angle BDC = \angle BCD = \beta + 40°$，$\angle B = 180° - 2(\beta + 40°) = 100° - 2\beta$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180°$，即：
$(100° - 2\alpha) + (100° - 2\beta) + x = 180°$
将$\alpha + \beta = x - 40°$代入上式：
$200° - 2(x - 40°) + x = 180°$
$200° - 2x + 80° + x = 180°$
$280° - x = 180°$
解得$x = 100°$，即$\angle ACB = 100°$。
100°
11. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB=BC=BD$.若$∠ABC=\alpha $，则$∠ADC=$
180°-$\frac{\alpha}{2}$
(用含$\alpha $的代数式表示).答案
11.180°-$\frac{\alpha}{2}$
解析
证明：
∵ $AB = BD$，
∴ $\angle BAD = \angle ADB = \frac{180° - \angle ABD}{2}$。
∵ $BC = BD$，
∴ $\angle BCD = \angle CDB = \frac{180° - \angle CBD}{2}$。
∵ $\angle ABC = \alpha$，即 $\angle ABD + \angle CBD = \alpha$，
∴ $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$
$= \frac{180° - \angle ABD}{2} + \frac{180° - \angle CBD}{2}$
$= \frac{360° - (\angle ABD + \angle CBD)}{2}$
$= \frac{360° - \alpha}{2}$
$= 180° - \frac{\alpha}{2}$。
$180° - \frac{\alpha}{2}$
∵ $AB = BD$，
∴ $\angle BAD = \angle ADB = \frac{180° - \angle ABD}{2}$。
∵ $BC = BD$，
∴ $\angle BCD = \angle CDB = \frac{180° - \angle CBD}{2}$。
∵ $\angle ABC = \alpha$，即 $\angle ABD + \angle CBD = \alpha$，
∴ $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$
$= \frac{180° - \angle ABD}{2} + \frac{180° - \angle CBD}{2}$
$= \frac{360° - (\angle ABD + \angle CBD)}{2}$
$= \frac{360° - \alpha}{2}$
$= 180° - \frac{\alpha}{2}$。
$180° - \frac{\alpha}{2}$
12. (2023·烟台)如图，$C$为线段$AB$上一点，分别以$AC$，$BC$为等腰三角形的底边，在$AB$的同侧作等腰三角形$ACD$和等腰三角形$BCE$，且$∠A=∠CBE$.在线段$EC$上取一点$F$，使$EF=AD$，连接$BF$，$DE$.求证：$DE=BF$.
]
]答案
12.
∵△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD,CE=EB，
∴∠A=∠DCA.
∵∠A=∠CBE，
∴∠CBE=∠DCA，
∴CD//BE，
∴∠DCE=∠FEB.
∵EF=
AD，
∴CD=EF.在△DCE和△FEB中，$\begin{cases} CD=EF,\\ \angle DCE=\angle FEB,\\ CE=EB,\end{cases}$
∴△DCE≌△FEB(SAS)，
∴DE=BF
∵△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD,CE=EB，
∴∠A=∠DCA.
∵∠A=∠CBE，
∴∠CBE=∠DCA，
∴CD//BE，
∴∠DCE=∠FEB.
∵EF=
AD，
∴CD=EF.在△DCE和△FEB中，$\begin{cases} CD=EF,\\ \angle DCE=\angle FEB,\\ CE=EB,\end{cases}$
∴△DCE≌△FEB(SAS)，
∴DE=BF
13. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠BAC=90^{\circ }$，$E$为边$BC$上的点，且$AB=AE$，$D$为线段$BE$的中点，过点$E$作$EF⊥AE$，过点$A$作$AF// BC$，且$AF$，$EF$相交于点$F$.求证：
（1）$∠C=∠BAD$；
（2）$AC=EF$.
（1）$∠C=∠BAD$；
（2）$AC=EF$.
答案
13.(1)
∵AB=AE,D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，
∴在
△ADC中，∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+
∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD (2)
∵AF//BC，
∴∠FAE=
∠AEB.
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE.
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠BAC.在△ABC
和△EAF中，$\begin{cases} \angle BAC=\angle AEF,\\ AB=EA,\\ \angle B=\angle FAE,\end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA)，
∴AC=EF
∵AB=AE,D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，
∴在
△ADC中，∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+
∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD (2)
∵AF//BC，
∴∠FAE=
∠AEB.
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE.
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠BAC.在△ABC
和△EAF中，$\begin{cases} \angle BAC=\angle AEF,\\ AB=EA,\\ \angle B=\angle FAE,\end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA)，
∴AC=EF
