登录
1. 九年级体育素质测试,某小组5名同学的成绩数据如下表(有两个数据被遮盖):
被遮盖的两个数据依次是 ()
A.35、2
B.36、4
C.35、3
D.36、3
被遮盖的两个数据依次是 ()
A.35、2
B.36、4
C.35、3
D.36、3
答案
B
解析
已知数据为38, 34, ■, 37, 40，平均数为37。
设被遮盖的数据为$x$，根据平均数公式得：
$\frac{38 + 34 + x + 37 + 40}{5} = 37$，
$149 + x = 185$，
$x = 36$，
根据方差公式：
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，
其中，$\bar{x} = 37$，数据为38, 34, 36, 37, 40。
$s^2 = \frac{1}{5} \left[ (38-37)^2 + (34-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 + (40-37)^2 \right]$
$ = \frac{1}{5} \left[ 1 + 9 + 1 + 0 + 9 \right]$
$ = \frac{1}{5} × 20$
$ = 4$
所以，被遮盖的两个数据依次是36和4。
设被遮盖的数据为$x$，根据平均数公式得：
$\frac{38 + 34 + x + 37 + 40}{5} = 37$，
$149 + x = 185$，
$x = 36$，
根据方差公式：
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，
其中，$\bar{x} = 37$，数据为38, 34, 36, 37, 40。
$s^2 = \frac{1}{5} \left[ (38-37)^2 + (34-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 + (40-37)^2 \right]$
$ = \frac{1}{5} \left[ 1 + 9 + 1 + 0 + 9 \right]$
$ = \frac{1}{5} × 20$
$ = 4$
所以，被遮盖的两个数据依次是36和4。
2. (新情境·现实生活)在一次爱心捐款活动中,某班50名学生积极捐款,其中5人每人捐款5元,8人每人捐款15元,12人每人捐款25元,18人每人捐款35元,7人每人捐款45元,则该班50名学生捐款金额的方差为元².
答案
140.16
解析
首先计算平均数，总金额=5×5+15×8+25×12+35×18+45×7=1390元，平均数=1390÷50=27.8元。再计算方差，$S^2=\frac{5×(5-27.8)^2 + 8×(15-27.8)^2 + 12×(25-27.8)^2 + 18×(35-27.8)^2 + 7×(45-27.8)^2}{50}=\frac{7008}{50}=140.16$
3. (2024·德州)甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练,成绩(单位:环)如下表所示:
则三名运动员中成绩最稳定的是(填“甲”“乙”或“丙”).
则三名运动员中成绩最稳定的是(填“甲”“乙”或“丙”).
答案
甲
解析
首先，计算甲、乙、丙三名运动员的平均成绩：
甲的平均成绩：
$\bar{x}_{甲} = \frac{9.7 + 9.7 + 9.6 + 9.7 + 9.7}{5} = 9.68$，
甲的方差：
$S_{甲}^{2} = \frac{1}{5}[(9.7 - 9.68)^{2} × 3 + (9.6 - 9.68)^{2} + (9.8（缺省无，原计算表无其他数值） - 9.68)^{2}（同理，无）] = 0.004$；
乙的平均成绩：
$\bar{x}_{乙} = \frac{9.9 + 9.8 + 10 + 9.4 + 9.3}{5} = 9.68$，
乙的方差：
$S_{乙}^{2} = \frac{1}{5}[(9.9 - 9.68)^{2} + (9.8 - 9.68)^{2} + (10 - 9.68)^{2} + (9.4 - 9.68)^{2} + (9.3 - 9.68)^{2}] = 0.068$；
丙的平均成绩：
$\bar{x}_{丙} = \frac{10 + 9.8 + 9.6 + 9.5 + 9.5}{5} = 9.68$，
丙的方差：
$S_{丙}^{2} = \frac{1}{5}[(10 - 9.68)^{2} + (9.8 - 9.68)^{2} + (9.6 - 9.68)^{2} + (9.5 - 9.68)^{2} × 2] = 0.036$；
比较三者的方差：
$S_{甲}^{2} ＜ S_{丙}^{2} ＜ S_{乙}^{2}$，
因此，甲的成绩最稳定。
甲的平均成绩：
$\bar{x}_{甲} = \frac{9.7 + 9.7 + 9.6 + 9.7 + 9.7}{5} = 9.68$，
甲的方差：
$S_{甲}^{2} = \frac{1}{5}[(9.7 - 9.68)^{2} × 3 + (9.6 - 9.68)^{2} + (9.8（缺省无，原计算表无其他数值） - 9.68)^{2}（同理，无）] = 0.004$；
乙的平均成绩：
$\bar{x}_{乙} = \frac{9.9 + 9.8 + 10 + 9.4 + 9.3}{5} = 9.68$，
乙的方差：
$S_{乙}^{2} = \frac{1}{5}[(9.9 - 9.68)^{2} + (9.8 - 9.68)^{2} + (10 - 9.68)^{2} + (9.4 - 9.68)^{2} + (9.3 - 9.68)^{2}] = 0.068$；
丙的平均成绩：
$\bar{x}_{丙} = \frac{10 + 9.8 + 9.6 + 9.5 + 9.5}{5} = 9.68$，
丙的方差：
$S_{丙}^{2} = \frac{1}{5}[(10 - 9.68)^{2} + (9.8 - 9.68)^{2} + (9.6 - 9.68)^{2} + (9.5 - 9.68)^{2} × 2] = 0.036$；
比较三者的方差：
$S_{甲}^{2} ＜ S_{丙}^{2} ＜ S_{乙}^{2}$，
因此，甲的成绩最稳定。
4. 利用计算器计算下面各组数据的方差:
(1) 100、200、300、400、500;
(2) 15.3%、12.7%、15.3%、14.5%、17.1%.
(1) 100、200、300、400、500;
(2) 15.3%、12.7%、15.3%、14.5%、17.1%.
答案
(1) 首先计算平均数：$\bar{x} = \frac{100 + 200 + 300 + 400 + 500}{5} = 300$
方差计算：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(100 - 300)^2 + (200 - 300)^2 + (300 - 300)^2 + (400 - 300)^2 + (500 - 300)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-200)^2 + (-100)^2 + 0^2 + 100^2 + 200^2]\\&=\frac{1}{5}[40000 + 10000 + 0 + 10000 + 40000]\\&=\frac{1}{5} × 100000 = 20000\end{aligned}$
(2) 首先计算平均数：$\bar{x} = \frac{15.3\% + 12.7\% + 15.3\% + 14.5\% + 17.1\%}{5} = 14.98\%$
方差计算：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(15.3\% - 14.98\%)^2 + (12.7\% - 14.98\%)^2 + (15.3\% - 14.98\%)^2 + (14.5\% - 14.98\%)^2 + (17.1\% - 14.98\%)^2]\\&=\frac{1}{5}[(0.32\%)^2 + (-2.28\%)^2 + (0.32\%)^2 + (-0.48\%)^2 + (2.12\%)^2]\\&=\frac{1}{5}[0.001024\%^2 + 0.051984\%^2 + 0.001024\%^2 + 0.002304\%^2 + 0.044944\%^2]\\&=\frac{1}{5} × 0.10128\%^2 \approx 0.020256\%^2\end{aligned}$
(1) 20000；(2) 0.020256%²
方差计算：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(100 - 300)^2 + (200 - 300)^2 + (300 - 300)^2 + (400 - 300)^2 + (500 - 300)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-200)^2 + (-100)^2 + 0^2 + 100^2 + 200^2]\\&=\frac{1}{5}[40000 + 10000 + 0 + 10000 + 40000]\\&=\frac{1}{5} × 100000 = 20000\end{aligned}$
(2) 首先计算平均数：$\bar{x} = \frac{15.3\% + 12.7\% + 15.3\% + 14.5\% + 17.1\%}{5} = 14.98\%$
方差计算：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(15.3\% - 14.98\%)^2 + (12.7\% - 14.98\%)^2 + (15.3\% - 14.98\%)^2 + (14.5\% - 14.98\%)^2 + (17.1\% - 14.98\%)^2]\\&=\frac{1}{5}[(0.32\%)^2 + (-2.28\%)^2 + (0.32\%)^2 + (-0.48\%)^2 + (2.12\%)^2]\\&=\frac{1}{5}[0.001024\%^2 + 0.051984\%^2 + 0.001024\%^2 + 0.002304\%^2 + 0.044944\%^2]\\&=\frac{1}{5} × 0.10128\%^2 \approx 0.020256\%^2\end{aligned}$
(1) 20000；(2) 0.020256%²
5. 某学校九年级(1)班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩(单位:分)如下表:
(1) 利用计算器分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数.
(2) 利用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
(3) 根据(1)(2)中的数据,你认为选谁参加全国数学竞赛较合适? 请说明理由.
(1) 利用计算器分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数.
(2) 利用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
(3) 根据(1)(2)中的数据,你认为选谁参加全国数学竞赛较合适? 请说明理由.
答案
(1) 慧慧：$\bar{x}_1 = \frac{116+124+130+126+121+127+126+122+125+123}{10} = 124$；聪聪：$\bar{x}_2 = \frac{122+124+125+128+119+120+121+128+114+119}{10} = 122$。
(2) 慧慧：$s_1^2 = \frac{(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2}{10} = 13.2$；聪聪：$s_2^2 = \frac{(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2}{10} = 17.2$。
(3) 选慧慧参加竞赛，因为其平均成绩更高且方差更小，成绩更稳定。
(2) 慧慧：$s_1^2 = \frac{(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2}{10} = 13.2$；聪聪：$s_2^2 = \frac{(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2}{10} = 17.2$。
(3) 选慧慧参加竞赛，因为其平均成绩更高且方差更小，成绩更稳定。
解析
(1) 慧慧成绩的平均数：$\frac{116+124+130+126+121+127+126+122+125+123}{10}=124$（分）
聪聪成绩的平均数：$\frac{122+124+125+128+119+120+121+128+114+119}{10}=122$（分）
(2) 慧慧成绩的方差：$\frac{(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2}{10}=13.2$
聪聪成绩的方差：$\frac{(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2}{10}=22.8$
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适。因为慧慧成绩的平均数高于聪聪，且方差小于聪聪，说明慧慧的成绩更好且更稳定。
