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6. (2024·宜宾)某校为了解九年级学生在校的锻炼情况,随机抽取 10 名学生,记录他们某一天在校的锻炼时间(单位:分钟):65、67、75、65、75、80、75、88、78、80.对这组数据判断正确的是()
A.方差为 0
B.众数为 75
C.中位数为 77.5
D.平均数为 75
A.方差为 0
B.众数为 75
C.中位数为 77.5
D.平均数为 75
答案
B
解析
将数据从小到大排列：65、65、67、75、75、75、78、80、80、88。
众数：75出现3次，次数最多，B正确。
中位数：第5、6个数为75、75，中位数=(75+75)/2=75，C错误。
平均数=(65+65+67+75+75+75+78+80+80+88)/10=74.8，D错误。
方差不为0，A错误。
众数：75出现3次，次数最多，B正确。
中位数：第5、6个数为75、75，中位数=(75+75)/2=75，C错误。
平均数=(65+65+67+75+75+75+78+80+80+88)/10=74.8，D错误。
方差不为0，A错误。
7. 我们在外卖平台点单时会有点餐费和 6 元外卖费,我们计算了点单费的总额和不计算外卖费的总额的数据,则两种情况计算出的数据一样的是()
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
D
解析
设不计算外卖费的总额数据为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，则计算外卖费的总额数据为$x_1 + 6,x_2 + 6,\cdots,x_n + 6$。
平均数：后者平均数为$\frac{(x_1 + 6) + \cdots + (x_n + 6)}{n} = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + 6$，与前者不同。
中位数：后者每个数据比前者大6，中位数也增大6，与前者不同。
众数：后者每个数据比前者大6，众数也增大6，与前者不同。
方差：方差反映数据波动程度，各数据同加常数不改变波动，方差不变。
平均数：后者平均数为$\frac{(x_1 + 6) + \cdots + (x_n + 6)}{n} = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + 6$，与前者不同。
中位数：后者每个数据比前者大6，中位数也增大6，与前者不同。
众数：后者每个数据比前者大6，众数也增大6，与前者不同。
方差：方差反映数据波动程度，各数据同加常数不改变波动，方差不变。
8. (2024·常州)小丽进行投掷标枪训练,总共投掷 10 次,前 9 次标枪的落点如图所示,记录成绩(单位:m),此时这组成绩数据的平均数是 20,方差是 $ s_{1}^{2} $.若第 10 次投掷标枪的落点恰好在 20 m 线上,且投掷结束后这组成绩数据的方差是 $ s_{2}^{2} $,则 $ s_{1}^{2} $ $ s_{2}^{2} $(填“＞”“＜”或“=”).
答案
＞
解析
设前9次成绩为$x_{1},x_{2},...,x_{9}$，平均数$\bar{x}_{1}=20$，则方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{9}(x_{i}-20)^{2}$。第10次成绩$x_{10}=20$，10次成绩的平均数$\bar{x}_{2}=\frac{9×20 + 20}{10}=20$。10次方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{10}[\sum_{i=1}^{9}(x_{i}-20)^{2}+(20 - 20)^{2}]=\frac{1}{10}×9s_{1}^{2}=\frac{9}{10}s_{1}^{2}$。因为$\frac{9}{10}s_{1}^{2}＜s_{1}^{2}$，所以$s_{1}^{2}＞s_{2}^{2}$。
9. 已知一组数据-3、x、-2、3、1、6 的中位数为 1,则其方差为.
答案
9
解析
已知数据组为$-3, x, -2, 3, 1, 6$，共有6个数，按中位数的定义，需将数据从小到大排序后，取中间两个数的平均值。
排序后的数据组（含未知数$x$）可能的位置取决于$x$的值。
由于中位数是1，那么中间两个数平均值等于1，即中间两个数的和为2。
考虑以下排序情况：
当$x \leq -3$，排序为$x, -3, -2, 1, 3, 6$，中间两个数为$-2$和$1$，和为$-1$，不符合。
当$-3 ＜ x \leq -2$，排序为$-3, x, -2, 1, 3, 6$，中间两个数为$-2$和$1$，和为$-1$，不符合。
当$-2 ＜ x \leq 1$，排序为$-3, -2, x, 1, 3, 6$，中间两个数为$x$和$1$，和为$x+1=2$，解得$x=1$。
当$1 ＜ x \leq 3$，排序为$-3, -2, 1, x, 3, 6$，中间两个数为$1$和$x$，和为$1+x=2$，解得$x=1$，但$x$需大于1，不符合。
当$x ＞ 3$，排序为$-3, -2, 1, 3, x, 6$，中间两个数为$1$和$3$，和为$4$，不符合。
综上，$x=1$。
现在计算方差，数据组为$-3, 1, -2, 3, 1, 6$。
平均数：$\frac{-3+1-2+3+1+6}{6} = 1$，
方差：$\frac{1}{6} × [(-3-1)^2 + (1-1)^2 + (-2-1)^2 + (3-1)^2 + (1-1)^2 + (6-1)^2] = \frac{1}{6} × [16+0+9+4+0+25] = \frac{54}{6} = 9$。
排序后的数据组（含未知数$x$）可能的位置取决于$x$的值。
由于中位数是1，那么中间两个数平均值等于1，即中间两个数的和为2。
考虑以下排序情况：
当$x \leq -3$，排序为$x, -3, -2, 1, 3, 6$，中间两个数为$-2$和$1$，和为$-1$，不符合。
当$-3 ＜ x \leq -2$，排序为$-3, x, -2, 1, 3, 6$，中间两个数为$-2$和$1$，和为$-1$，不符合。
当$-2 ＜ x \leq 1$，排序为$-3, -2, x, 1, 3, 6$，中间两个数为$x$和$1$，和为$x+1=2$，解得$x=1$。
当$1 ＜ x \leq 3$，排序为$-3, -2, 1, x, 3, 6$，中间两个数为$1$和$x$，和为$1+x=2$，解得$x=1$，但$x$需大于1，不符合。
当$x ＞ 3$，排序为$-3, -2, 1, 3, x, 6$，中间两个数为$1$和$3$，和为$4$，不符合。
综上，$x=1$。
现在计算方差，数据组为$-3, 1, -2, 3, 1, 6$。
平均数：$\frac{-3+1-2+3+1+6}{6} = 1$，
方差：$\frac{1}{6} × [(-3-1)^2 + (1-1)^2 + (-2-1)^2 + (3-1)^2 + (1-1)^2 + (6-1)^2] = \frac{1}{6} × [16+0+9+4+0+25] = \frac{54}{6} = 9$。
10. (新考法·综合与实践)(2023·赤峰)某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛,从甲班和乙班各随机抽取 10 名学生,统计这部分学生的竞赛成绩(单位:分),并对数据进行了收集、整理、分析,下面给出了部分信息.
【收集数据】
甲班 10 名学生竞赛成绩:85、78、86、79、72、91、79、71、70、89;
乙班 10 名学生竞赛成绩:85、80、77、85、80、73、90、74、75、81.
【解决问题】根据以上信息,回答下列问题:
(1) $ a= $,$ b= $,$ c= $;
(2) 请你根据【分析数据】中的信息,判断哪个班成绩比较好,并说明理由;
(3) 甲班共有学生 45 人,乙班共有学生 40 人,按竞赛规定,80 分及 80 分以上的学生可以获奖,请估计这两个班可以获奖的总人数是多少.
【收集数据】
甲班 10 名学生竞赛成绩:85、78、86、79、72、91、79、71、70、89;
乙班 10 名学生竞赛成绩:85、80、77、85、80、73、90、74、75、81.
【解决问题】根据以上信息,回答下列问题:
(1) $ a= $,$ b= $,$ c= $;
(2) 请你根据【分析数据】中的信息,判断哪个班成绩比较好,并说明理由;
(3) 甲班共有学生 45 人,乙班共有学生 40 人,按竞赛规定,80 分及 80 分以上的学生可以获奖,请估计这两个班可以获奖的总人数是多少.
答案
(1) 79；79；27
(2) 乙班成绩比较好。理由：两班平均数均为80，乙班中位数80高于甲班79，且乙班方差27小于甲班51.4，成绩更稳定。
(3) 42
11. (2023·凉山改编)已知一组数据 $ x_{1} $、$ x_{2} $、$\cdots$、$ x_{n} $ 的方差是 $ s^{2} $,则一组新数据 $ ax_{1}+3 $、$ ax_{2}+3 $、$\cdots$、$ ax_{n}+3 $($ a $ 为常数,$ a \neq 0 $)的方差是(用含 $ a $、$ s^{2} $ 的代数式表示).
答案
$a^{2}s^{2}$（或 $a^2s^2$）
解析
设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据的平均数为$a\overline{x} + 3$。
原数据的方差$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。
新数据的方差为：
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(ax_i + 3) - (a\overline{x} + 3)]^2$
$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i - a\overline{x})^2$
$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i - \overline{x})^2$
$= a^2 × \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
$= a^2s^2$
原数据的方差$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。
新数据的方差为：
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(ax_i + 3) - (a\overline{x} + 3)]^2$
$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i - a\overline{x})^2$
$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i - \overline{x})^2$
$= a^2 × \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
$= a^2s^2$
