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8. 两个不为零的有理数相除，若交换被除数与除数的位置，它们的商不变，则这两个数 （
A.一定相等
B.一定互为倒数
C.一定互为相反数
D.相等或互为相反数
D
）A.一定相等
B.一定互为倒数
C.一定互为相反数
D.相等或互为相反数
答案
8. D
解析
【分析】
遇到这类题我们可以先设未知数表示两个数，再根据题目给出的条件列等式推导关系，也可以通过举反例排除错误选项。首先明确两个数都不为0，满足除法运算的要求，题目条件为交换被除数和除数后商不变，也就是原来的商等于交换后的商。先验证错误选项：如果两数互为倒数，比如3和$\frac{1}{3}$，原来的商是$3÷\frac{1}{3}=9$，交换后是$\frac{1}{3}÷3=\frac{1}{9}$，商不相等，排除B；接下来验证两种可能：若两数相等，比如2和2，交换前后商都是1，符合条件；若两数互为相反数，比如2和-2，原来的商是$2÷(-2)=-1$，交换后$(-2)÷2=-1$，商也相等，说明相等、互为相反数两种情况都成立，A、C都只覆盖了部分情况，因此选D。
【解析】
设这两个不为零的有理数为$a$、$b$。
根据题意交换被除数与除数后商不变，可得：
$a÷ b = b÷ a$
将除法转化为乘法形式：$\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$
因为$a$、$b$均不为0，等式两边同时乘$ab$，得：
$a^2 = b^2$
根据平方的性质，平方相等的两个数相等或互为相反数，即$a=b$或$a=-b$，因此这两个数相等或互为相反数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法运算，平方的性质，相反数的概念
【点评】
本题考查有理数除法的相关性质，解题时需要全面考虑符合条件的所有情况，避免因漏解而误选只覆盖部分情况的选项。
【难度系数】
0.7
遇到这类题我们可以先设未知数表示两个数，再根据题目给出的条件列等式推导关系，也可以通过举反例排除错误选项。首先明确两个数都不为0，满足除法运算的要求，题目条件为交换被除数和除数后商不变，也就是原来的商等于交换后的商。先验证错误选项：如果两数互为倒数，比如3和$\frac{1}{3}$，原来的商是$3÷\frac{1}{3}=9$，交换后是$\frac{1}{3}÷3=\frac{1}{9}$，商不相等，排除B；接下来验证两种可能：若两数相等，比如2和2，交换前后商都是1，符合条件；若两数互为相反数，比如2和-2，原来的商是$2÷(-2)=-1$，交换后$(-2)÷2=-1$，商也相等，说明相等、互为相反数两种情况都成立，A、C都只覆盖了部分情况，因此选D。
【解析】
设这两个不为零的有理数为$a$、$b$。
根据题意交换被除数与除数后商不变，可得：
$a÷ b = b÷ a$
将除法转化为乘法形式：$\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$
因为$a$、$b$均不为0，等式两边同时乘$ab$，得：
$a^2 = b^2$
根据平方的性质，平方相等的两个数相等或互为相反数，即$a=b$或$a=-b$，因此这两个数相等或互为相反数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法运算，平方的性质，相反数的概念
【点评】
本题考查有理数除法的相关性质，解题时需要全面考虑符合条件的所有情况，避免因漏解而误选只覆盖部分情况的选项。
【难度系数】
0.7
9. 数学思想分类讨论 若$|a|=5$，$|b|=\dfrac{1}{5}$，则$a÷ b· \dfrac{1}{b}$等于（
A.$\pm5$
B.$\pm25$
C.$\pm125$
D.$-25$或$-5$
C
）A.$\pm5$
B.$\pm25$
C.$\pm125$
D.$-25$或$-5$
答案
9. C
解析
【分析】
解题首先要明确有理数乘除是同级运算，需从左到右依次计算，若错误先算后面的$b· \dfrac{1}{b}=1$会得到错误结果。其次题中给出绝对值条件，说明a、b都有正负两种取值，我们可以先将除法转化为乘法化简代数式，再结合绝对值的性质代入计算，可简化分类讨论步骤，提升正确率。
【解析】
首先化简待求代数式：
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，因此：
$a÷ b· \dfrac{1}{b}=a× \dfrac{1}{b}× \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{b^2}$
根据绝对值的性质：
$\because |a|=5$，$\therefore a=5$或$a=-5$；
$\because |b|=\dfrac{1}{5}$，$\therefore b^2=|b|^2=(\dfrac{1}{5})^2=\dfrac{1}{25}$（无论b取正还是负，平方结果均为正）。
将值代入化简后的式子：
当$a=5$时，原式$=\dfrac{5}{\dfrac{1}{25}}=5× 25=125$；
当$a=-5$时，原式$=\dfrac{-5}{\dfrac{1}{25}}=-5× 25=-125$。
因此结果为$\pm 125$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘除运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是弄错乘除运算顺序，不少同学会优先计算$b· \dfrac{1}{b}=1$导致错解，解题时先将除法转化为乘法化简式子，既能避免运算顺序错误，也能减少分类讨论的工作量。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确有理数乘除是同级运算，需从左到右依次计算，若错误先算后面的$b· \dfrac{1}{b}=1$会得到错误结果。其次题中给出绝对值条件，说明a、b都有正负两种取值，我们可以先将除法转化为乘法化简代数式，再结合绝对值的性质代入计算，可简化分类讨论步骤，提升正确率。
【解析】
首先化简待求代数式：
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，因此：
$a÷ b· \dfrac{1}{b}=a× \dfrac{1}{b}× \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{b^2}$
根据绝对值的性质：
$\because |a|=5$，$\therefore a=5$或$a=-5$；
$\because |b|=\dfrac{1}{5}$，$\therefore b^2=|b|^2=(\dfrac{1}{5})^2=\dfrac{1}{25}$（无论b取正还是负，平方结果均为正）。
将值代入化简后的式子：
当$a=5$时，原式$=\dfrac{5}{\dfrac{1}{25}}=5× 25=125$；
当$a=-5$时，原式$=\dfrac{-5}{\dfrac{1}{25}}=-5× 25=-125$。
因此结果为$\pm 125$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘除运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是弄错乘除运算顺序，不少同学会优先计算$b· \dfrac{1}{b}=1$导致错解，解题时先将除法转化为乘法化简式子，既能避免运算顺序错误，也能减少分类讨论的工作量。
【难度系数】
0.6
10. 有理数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图16-G-1所示，则$\frac{a+b}{ab}$的值是（
A.负数
B.正数
C.0
D.正数或0
B
）A.负数
B.正数
C.0
D.正数或0
答案
10. B
解析
【分析】
首先从数轴上读取a、b的取值和绝对值大小关系：a在-1左侧，因此$a＜-1＜0$，$|a|＞1$；b在0和1之间，因此$0＜b＜1$，$|b|＜1$。要判断分式$\frac{a+b}{ab}$的正负，只需分别判断分子、分母的正负，再根据有理数除法“同号得正、异号得负”的符号法则推导即可。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b ＜ 1$，且$|a| ＞ |b|$。
1. 判断分母$ab$的符号：
a为负数，b为正数，异号两数相乘结果为负，因此$ab ＜ 0$。
2. 判断分子$a+b$的符号：
根据有理数加法法则，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值更大的加数的符号，$a$是负数且$|a|＞|b|$，因此$a + b ＜ 0$。
3. 判断分式的符号：
分子和分母均为负数，根据有理数除法法则，同号两数相除结果为正，因此$\frac{a+b}{ab}＞0$，即该式的值为正数。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，有理数加法，有理数除法
【点评】
本题结合数轴考查有理数运算的符号判断，解题的核心是先通过数轴确定两个数的正负和绝对值大小关系，再依次推导分子、分母的符号即可得到结果。
【难度系数】
0.75
首先从数轴上读取a、b的取值和绝对值大小关系：a在-1左侧，因此$a＜-1＜0$，$|a|＞1$；b在0和1之间，因此$0＜b＜1$，$|b|＜1$。要判断分式$\frac{a+b}{ab}$的正负，只需分别判断分子、分母的正负，再根据有理数除法“同号得正、异号得负”的符号法则推导即可。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b ＜ 1$，且$|a| ＞ |b|$。
1. 判断分母$ab$的符号：
a为负数，b为正数，异号两数相乘结果为负，因此$ab ＜ 0$。
2. 判断分子$a+b$的符号：
根据有理数加法法则，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值更大的加数的符号，$a$是负数且$|a|＞|b|$，因此$a + b ＜ 0$。
3. 判断分式的符号：
分子和分母均为负数，根据有理数除法法则，同号两数相除结果为正，因此$\frac{a+b}{ab}＞0$，即该式的值为正数。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，有理数加法，有理数除法
【点评】
本题结合数轴考查有理数运算的符号判断，解题的核心是先通过数轴确定两个数的正负和绝对值大小关系，再依次推导分子、分母的符号即可得到结果。
【难度系数】
0.75
11. (2025克拉玛依质检) 如果规定符号“*”的意义是$a*b=\dfrac{ab}{a+b}$，如$2*4=\dfrac{2×4}{2+4}=\dfrac{4}{3}$，那么$4*(-3)=$
-12
.答案
11. -12
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题时首先要明确题目规定的“*”运算规则：两个数进行“*”运算的结果等于这两个数的乘积除以这两个数的和。接下来只需把运算符号前后的4、-3分别对应规则中的a、b代入表达式，再按照有理数的运算法则计算即可，计算时要注意负数的运算符号处理。
【解析】
根据题意给出的运算规则$a*b=\dfrac{ab}{a+b}$，取$a=4$，$b=-3$代入得：
$4*(-3)=\dfrac{4×(-3)}{4+(-3)}$
第一步计算分子：$4×(-3)=-12$
第二步计算分母：$4+(-3)=4-3=1$
第三步计算除法：$\dfrac{-12}{1}=-12$
【答案】
-12
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是准确理解新运算的规则，代入数值时对应关系不要出错，计算过程中遵循有理数运算的符号法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题时首先要明确题目规定的“*”运算规则：两个数进行“*”运算的结果等于这两个数的乘积除以这两个数的和。接下来只需把运算符号前后的4、-3分别对应规则中的a、b代入表达式，再按照有理数的运算法则计算即可，计算时要注意负数的运算符号处理。
【解析】
根据题意给出的运算规则$a*b=\dfrac{ab}{a+b}$，取$a=4$，$b=-3$代入得：
$4*(-3)=\dfrac{4×(-3)}{4+(-3)}$
第一步计算分子：$4×(-3)=-12$
第二步计算分母：$4+(-3)=4-3=1$
第三步计算除法：$\dfrac{-12}{1}=-12$
【答案】
-12
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是准确理解新运算的规则，代入数值时对应关系不要出错，计算过程中遵循有理数运算的符号法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
12. 数学思想 分类讨论 已知$|x|=8$，$|y|=2$，且$xy＜0$，则$\frac{x}{y}$的值为
-4
。答案
12. -4
解析
【分析】
解题时先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合条件xy＜0判断x和y符号相反，可分两种情况讨论计算$\frac{x}{y}$的值，也可以利用有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正、异号得负，先确定$\frac{x}{y}$的符号，再计算绝对值的商，快速得到结果。
【解析】
解：
∵$|x|=8$，
∴$x=8$或$x=-8$；
∵$|y|=2$，
∴$y=2$或$y=-2$；
又
∵$xy＜0$，说明x和y异号，分两种情况讨论：
① 当$x=8$时，$y=-2$，此时$\frac{x}{y}=\frac{8}{-2}=-4$；
② 当$x=-8$时，$y=2$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-8}{2}=-4$；
综上，$\frac{x}{y}$的值为-4。
【答案】
-4
【知识点】
绝对值的性质；有理数除法运算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察对绝对值性质和有理数乘除符号规则的掌握，需要结合分类讨论思想分析所有符合条件的取值情况，解题时先判断运算结果的符号可简化计算过程，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合条件xy＜0判断x和y符号相反，可分两种情况讨论计算$\frac{x}{y}$的值，也可以利用有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正、异号得负，先确定$\frac{x}{y}$的符号，再计算绝对值的商，快速得到结果。
【解析】
解：
∵$|x|=8$，
∴$x=8$或$x=-8$；
∵$|y|=2$，
∴$y=2$或$y=-2$；
又
∵$xy＜0$，说明x和y异号，分两种情况讨论：
① 当$x=8$时，$y=-2$，此时$\frac{x}{y}=\frac{8}{-2}=-4$；
② 当$x=-8$时，$y=2$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-8}{2}=-4$；
综上，$\frac{x}{y}$的值为-4。
【答案】
-4
【知识点】
绝对值的性质；有理数除法运算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察对绝对值性质和有理数乘除符号规则的掌握，需要结合分类讨论思想分析所有符合条件的取值情况，解题时先判断运算结果的符号可简化计算过程，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
13. 对有理数 $a, b(ab ≠ 0)$ 定义运算“△”如下：
$a△ b = \frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$，如 $2△ 3 = \frac{1}{2} ÷ (-\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}$。求 $[(-2)△ 7]△ 4$ 的值。
$a△ b = \frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$，如 $2△ 3 = \frac{1}{2} ÷ (-\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}$。求 $[(-2)△ 7]△ 4$ 的值。
答案
13. 解: 原式 $= [(-\dfrac{1}{2}) ÷ (-\dfrac{7}{2})] △ 4 = \dfrac{1}{7} △ 4 = \dfrac{1}{\dfrac{1}{7}} ÷ (-\dfrac{4}{2}) =7÷(-2)=-\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确运算“△”的规则：$a△b$等于$a$的倒数除以$-\frac{b}{2}$。计算带括号的新定义运算时，遵循先算括号内、再算括号外的顺序：第一步先将括号内的$-2$对应$a$、$7$对应$b$，代入规则算出结果；第二步把第一步得到的结果作为新的$a$，$4$作为新的$b$，再次代入运算规则计算即可，计算过程中要注意有理数除法的符号法则和运算法则。
【解析】
解：先计算括号内的$(-2)△7$，根据定义$a△b=\frac{1}{a}÷(-\frac{b}{2})$，代入$a=-2$，$b=7$：
$(-2)△7 = \frac{1}{-2} ÷ (-\frac{7}{2}) = \frac{1}{7}$
再计算$\frac{1}{7}△4$，代入$a=\frac{1}{7}$，$b=4$：
$\frac{1}{7}△4 = \frac{1}{\frac{1}{7}} ÷ (-\frac{4}{2}) =7÷(-2)=-\frac{7}{2}$
【答案】
$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算、有理数除法、四则运算顺序
【点评】
本题主要考查新运算规则的理解应用能力和有理数除法的计算能力，解题核心是准确对应新运算中$a$、$b$的取值，按运算顺序分步计算，注意计算时符号的判断，避免因规则理解错误或符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确运算“△”的规则：$a△b$等于$a$的倒数除以$-\frac{b}{2}$。计算带括号的新定义运算时，遵循先算括号内、再算括号外的顺序：第一步先将括号内的$-2$对应$a$、$7$对应$b$，代入规则算出结果；第二步把第一步得到的结果作为新的$a$，$4$作为新的$b$，再次代入运算规则计算即可，计算过程中要注意有理数除法的符号法则和运算法则。
【解析】
解：先计算括号内的$(-2)△7$，根据定义$a△b=\frac{1}{a}÷(-\frac{b}{2})$，代入$a=-2$，$b=7$：
$(-2)△7 = \frac{1}{-2} ÷ (-\frac{7}{2}) = \frac{1}{7}$
再计算$\frac{1}{7}△4$，代入$a=\frac{1}{7}$，$b=4$：
$\frac{1}{7}△4 = \frac{1}{\frac{1}{7}} ÷ (-\frac{4}{2}) =7÷(-2)=-\frac{7}{2}$
【答案】
$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算、有理数除法、四则运算顺序
【点评】
本题主要考查新运算规则的理解应用能力和有理数除法的计算能力，解题核心是准确对应新运算中$a$、$b$的取值，按运算顺序分步计算，注意计算时符号的判断，避免因规则理解错误或符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7
14. 若$a＞0,b＞0$，且$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$a＜0,b＜0$，且$\frac{a}{b}＞1$，则$a＜b$。以上这种比较大小的方法，叫作作商比较法。请用作商比较法比较下列各组数的大小。
(1)$\frac{11}{12}$与$\frac{12}{13}$；
(2)$-\frac{15}{17}$与$-\frac{17}{19}$。
(1)$\frac{11}{12}$与$\frac{12}{13}$；
(2)$-\frac{15}{17}$与$-\frac{17}{19}$。
答案
14. 解:(1)因为$\dfrac{11}{12}＞0,\dfrac{12}{13}＞0,\dfrac{11}{12}÷\dfrac{12}{13}=\dfrac{143}{144}＜1$,
所以$\dfrac{11}{12}＜\dfrac{12}{13}$.
(2)因为$-\dfrac{15}{17}＜0,-\dfrac{17}{19}＜0,(-\dfrac{15}{17})÷(-\dfrac{17}{19})=\dfrac{15}{17}×\dfrac{19}{17}=\dfrac{285}{289}＜1$,
所以$-\dfrac{15}{17}＞-\dfrac{17}{19}$.
所以$\dfrac{11}{12}＜\dfrac{12}{13}$.
(2)因为$-\dfrac{15}{17}＜0,-\dfrac{17}{19}＜0,(-\dfrac{15}{17})÷(-\dfrac{17}{19})=\dfrac{15}{17}×\dfrac{19}{17}=\dfrac{285}{289}＜1$,
所以$-\dfrac{15}{17}＞-\dfrac{17}{19}$.
解析
【分析】
解题时首先要明确作商比较法的使用规则：先判断两个要比较的数是否同号，只有同号时适用该方法。①若两个数均为正数，计算两数的商，若商＞1则被除数更大，商＜1则除数更大；②若两个数均为负数，计算两数的商（结果为正），若商＞1则被除数更小，商＜1则被除数更大。第(1)问两个数都是正数，先求商再和1比较即可得出大小；第(2)问两个数都是负数，先求商（负负得正），再和1比较，对应负数的比较规则就能得出结果。
【解析】
(1) 因为$\frac{11}{12}＞0$，$\frac{12}{13}＞0$，
计算两数的商：$\frac{11}{12}÷\frac{12}{13}=\frac{11}{12}×\frac{13}{12}=\frac{143}{144}$，
可得$\frac{143}{144}＜1$，
根据作商比较法规则，两个正数相除商小于1时，被除数小于除数，因此$\frac{11}{12}＜\frac{12}{13}$。
(2) 因为$-\frac{15}{17}＜0$，$-\frac{17}{19}＜0$，
计算两数的商：$(-\frac{15}{17})÷(-\frac{17}{19})=\frac{15}{17}×\frac{19}{17}=\frac{285}{289}$，
可得$\frac{285}{289}＜1$，
根据作商比较法规则，两个负数相除商小于1时，被除数大于除数，因此$-\frac{15}{17}＞-\frac{17}{19}$。
【答案】
(1)$\dfrac{11}{12}＜\dfrac{12}{13}$；(2)$-\dfrac{15}{17}＞-\dfrac{17}{19}$
【知识点】
作商比较法；有理数除法运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于新定义应用类题型，核心是准确理解作商比较法的适用前提和判断规则，解题时先确定两数符号，再正确计算商的值，最后对应规则判断大小即可，整体考查的是新知识迁移运用和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确作商比较法的使用规则：先判断两个要比较的数是否同号，只有同号时适用该方法。①若两个数均为正数，计算两数的商，若商＞1则被除数更大，商＜1则除数更大；②若两个数均为负数，计算两数的商（结果为正），若商＞1则被除数更小，商＜1则被除数更大。第(1)问两个数都是正数，先求商再和1比较即可得出大小；第(2)问两个数都是负数，先求商（负负得正），再和1比较，对应负数的比较规则就能得出结果。
【解析】
(1) 因为$\frac{11}{12}＞0$，$\frac{12}{13}＞0$，
计算两数的商：$\frac{11}{12}÷\frac{12}{13}=\frac{11}{12}×\frac{13}{12}=\frac{143}{144}$，
可得$\frac{143}{144}＜1$，
根据作商比较法规则，两个正数相除商小于1时，被除数小于除数，因此$\frac{11}{12}＜\frac{12}{13}$。
(2) 因为$-\frac{15}{17}＜0$，$-\frac{17}{19}＜0$，
计算两数的商：$(-\frac{15}{17})÷(-\frac{17}{19})=\frac{15}{17}×\frac{19}{17}=\frac{285}{289}$，
可得$\frac{285}{289}＜1$，
根据作商比较法规则，两个负数相除商小于1时，被除数大于除数，因此$-\frac{15}{17}＞-\frac{17}{19}$。
【答案】
(1)$\dfrac{11}{12}＜\dfrac{12}{13}$；(2)$-\dfrac{15}{17}＞-\dfrac{17}{19}$
【知识点】
作商比较法；有理数除法运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于新定义应用类题型，核心是准确理解作商比较法的适用前提和判断规则，解题时先确定两数符号，再正确计算商的值，最后对应规则判断大小即可，整体考查的是新知识迁移运用和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
