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9. 一辆公交车原有$a$名乘客，到某站后，下去一半乘客，又上来原有乘客人数的$\frac{1}{3}$，此时公交车上乘客人数为
$\dfrac{5}{6}a$
。答案
9. $\dfrac{5}{6}a$
解析
【分析】
解题时首先梳理公交车上的人数变化逻辑，明确两次人数变动的参照标准：“下去一半乘客”的参照是原有乘客总数$a$，“上来原有乘客人数的$\frac{1}{3}$”的参照同样是原有乘客总数$a$，而非下车后剩余的人数。先计算下车后的剩余人数，再加上新上车的人数，最后通过整式加减化简即可得到结果。
【解析】
解：已知公交车原有乘客$a$名：
1. 到站下去一半乘客，下车人数为$\frac{1}{2}a$，此时车上剩余人数为：$a-\frac{1}{2}a$；
2. 又上来原有乘客人数的$\frac{1}{3}$，上车人数为$\frac{1}{3}a$，因此此时车上总人数为：
$\begin{aligned}a-\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a&=\frac{6}{6}a-\frac{3}{6}a+\frac{2}{6}a\\&=\frac{5}{6}a\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{6}a$
【知识点】
列代数式、合并同类项、整式的加减运算
【点评】
本题考查结合实际场景的整式运算，解题核心是准确找准分数对应的单位“1”，避免混淆人数变动的参照标准，属于基础类题型，熟练掌握整式加减的计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理公交车上的人数变化逻辑，明确两次人数变动的参照标准：“下去一半乘客”的参照是原有乘客总数$a$，“上来原有乘客人数的$\frac{1}{3}$”的参照同样是原有乘客总数$a$，而非下车后剩余的人数。先计算下车后的剩余人数，再加上新上车的人数，最后通过整式加减化简即可得到结果。
【解析】
解：已知公交车原有乘客$a$名：
1. 到站下去一半乘客，下车人数为$\frac{1}{2}a$，此时车上剩余人数为：$a-\frac{1}{2}a$；
2. 又上来原有乘客人数的$\frac{1}{3}$，上车人数为$\frac{1}{3}a$，因此此时车上总人数为：
$\begin{aligned}a-\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a&=\frac{6}{6}a-\frac{3}{6}a+\frac{2}{6}a\\&=\frac{5}{6}a\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{6}a$
【知识点】
列代数式、合并同类项、整式的加减运算
【点评】
本题考查结合实际场景的整式运算，解题核心是准确找准分数对应的单位“1”，避免混淆人数变动的参照标准，属于基础类题型，熟练掌握整式加减的计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
10.（教材例3变式）水库水位第一天连续上升了$b$ h，平均每小时上升2 cm；第二天连续下降了$b$ h，平均每小时下降0.25 cm；第三天连续下降了$b$ h，平均每小时下降2.5 cm. 这三天水位总的变化情况是
下降了0.75b cm
.答案
10. 下降了0.75b cm
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们用正负数表示相反意义的量，规定水位上升为正、下降为负，再分别计算三天各自的水位变化量，最后将三个变化量相加，合并同类项后根据结果的正负判断总变化的情况。
【解析】
规定水位上升为正，水位下降为负：
第一天水位变化量：$2× b=2b \ \mathrm{cm}$
第二天水位变化量：$-0.25× b=-0.25b \ \mathrm{cm}$
第三天水位变化量：$-2.5× b=-2.5b \ \mathrm{cm}$
三天总水位变化量为：
$\begin{aligned}&2b+(-0.25b)+(-2.5b)\\=&(2-0.25-2.5)b\\=&-0.75b \ \mathrm{cm}\end{aligned}$
结果为负，说明水位总变化为下降。
【答案】
下降了0.75b cm
【知识点】
正负数的实际应用，列代数式，合并同类项
【点评】
本题结合生活场景命题，重点考察相反意义的量的表示和合并同类项的运算，只要明确正负规定、计算仔细就能正确解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先我们用正负数表示相反意义的量，规定水位上升为正、下降为负，再分别计算三天各自的水位变化量，最后将三个变化量相加，合并同类项后根据结果的正负判断总变化的情况。
【解析】
规定水位上升为正，水位下降为负：
第一天水位变化量：$2× b=2b \ \mathrm{cm}$
第二天水位变化量：$-0.25× b=-0.25b \ \mathrm{cm}$
第三天水位变化量：$-2.5× b=-2.5b \ \mathrm{cm}$
三天总水位变化量为：
$\begin{aligned}&2b+(-0.25b)+(-2.5b)\\=&(2-0.25-2.5)b\\=&-0.75b \ \mathrm{cm}\end{aligned}$
结果为负，说明水位总变化为下降。
【答案】
下降了0.75b cm
【知识点】
正负数的实际应用，列代数式，合并同类项
【点评】
本题结合生活场景命题，重点考察相反意义的量的表示和合并同类项的运算，只要明确正负规定、计算仔细就能正确解答。
【难度系数】
0.8
11. (2025伊犁州期末)一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字为x，那么这个两位数是（
A.3x
B.12x
C.21x
D.21x+2
B
）A.3x
B.12x
C.21x
D.21x+2
答案
11. B
解析
【分析】
要解答本题，首先要明确两位数的表示规则：两位数的数值等于十位数字乘10加上个位数字。解题思路如下：第一步，根据题目给出的“个位数字是十位数字的2倍，十位数字为x”的条件，先求出个位数字；第二步，将十位数字、个位数字代入两位数的表示公式，列式化简后即可得到结果。
【解析】
已知十位数字为x，个位数字是十位数字的2倍，因此个位数字为2x。
根据两位数的表示方法：$\mathrm{两位数}=10×\mathrm{十位数字}+\mathrm{个位数字}$，代入对应数字得：
这个两位数$=10× x + 2x=12x$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列代数式 2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是明确数位对应的计数单位，避免出现直接将两个数位上的数字拼接得到21x的错误，熟练掌握数位表示规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先要明确两位数的表示规则：两位数的数值等于十位数字乘10加上个位数字。解题思路如下：第一步，根据题目给出的“个位数字是十位数字的2倍，十位数字为x”的条件，先求出个位数字；第二步，将十位数字、个位数字代入两位数的表示公式，列式化简后即可得到结果。
【解析】
已知十位数字为x，个位数字是十位数字的2倍，因此个位数字为2x。
根据两位数的表示方法：$\mathrm{两位数}=10×\mathrm{十位数字}+\mathrm{个位数字}$，代入对应数字得：
这个两位数$=10× x + 2x=12x$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列代数式 2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是明确数位对应的计数单位，避免出现直接将两个数位上的数字拼接得到21x的错误，熟练掌握数位表示规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
12. 若$-2x^{m}y^{2}+ax^{3}y^{n}=-5x^{3}y^{2}$，则$a - m + n$的值是
$-4$
。答案
12. $-4$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个单项式相加后仍为单项式，说明参与运算的两个单项式是同类项。第一步，根据同类项“相同字母的指数分别相等”的定义，求出m和n的值；第二步，根据合并同类项“系数相加，字母和字母指数不变”的法则，求出a的值；最后将a、m、n代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because -2x^{m}y^{2}+ax^{3}y^{n}=-5x^{3}y^{2}$
$\therefore -2x^{m}y^{2}$与$ax^{3}y^{n}$是同类项，且合并后的系数为-5
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m=3$，$n=2$
根据合并同类项的系数相加法则，可得：
$-2+a=-5$
解得$a=-5+2=-3$
将$a=-3$，$m=3$，$n=2$代入$a-m+n$得：
原式$=-3-3+2=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
同类项的定义，合并同类项法则
【点评】
本题是同类项相关的基础常考题，解题核心是根据合并结果判断出参与运算的单项式为同类项，再对应求出未知参数的值即可，易错点为系数计算时符号出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个单项式相加后仍为单项式，说明参与运算的两个单项式是同类项。第一步，根据同类项“相同字母的指数分别相等”的定义，求出m和n的值；第二步，根据合并同类项“系数相加，字母和字母指数不变”的法则，求出a的值；最后将a、m、n代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because -2x^{m}y^{2}+ax^{3}y^{n}=-5x^{3}y^{2}$
$\therefore -2x^{m}y^{2}$与$ax^{3}y^{n}$是同类项，且合并后的系数为-5
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m=3$，$n=2$
根据合并同类项的系数相加法则，可得：
$-2+a=-5$
解得$a=-5+2=-3$
将$a=-3$，$m=3$，$n=2$代入$a-m+n$得：
原式$=-3-3+2=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
同类项的定义，合并同类项法则
【点评】
本题是同类项相关的基础常考题，解题核心是根据合并结果判断出参与运算的单项式为同类项，再对应求出未知参数的值即可，易错点为系数计算时符号出错。
【难度系数】
0.8
13. 已知三角形的第一条边的长为 $2a + 5b$（$a＞0,b＞0$），第二条边比第一条边长 $3a - 2b$，第三条边比第二条边短 $3a$，用含 $a,b$ 的代数式表示这个三角形的周长。
答案
解:因为三角形的第一条边的长为$2a+5b$,第二条边比第一条边长$3a-2b$,
所以第二条边的长为$2a+5b+3a-2b=5a+3b$。
因为第三条边比第二条边短$3a$,
所以第三条边的长为$5a+3b-3a=2a+3b$。
所以这个三角形的周长为$2a+5b+5a+3b+2a+3b=9a+11b$。
所以第二条边的长为$2a+5b+3a-2b=5a+3b$。
因为第三条边比第二条边短$3a$,
所以第三条边的长为$5a+3b-3a=2a+3b$。
所以这个三角形的周长为$2a+5b+5a+3b+2a+3b=9a+11b$。
解析
【分析】
要计算三角形的周长，需先明确三条边的长度：已知第一条边的长度，首先根据“第二条边比第一条边长$3a-2b$”，用第一条边的长度加$3a-2b$即可求出第二条边的长度；再根据“第三条边比第二条边短$3a$”，用第二条边的长度减$3a$求出第三条边的长度；最后将三条边的长度相加，合并同类项后就能得到表示周长的代数式。
【解析】
解：已知三角形第一条边的长为$2a+5b$，
因为第二条边比第一条边长$3a-2b$，所以第二条边的长为：
$2a+5b+3a-2b=5a+3b$
因为第三条边比第二条边短$3a$，所以第三条边的长为：
$5a+3b-3a=2a+3b$
三角形的周长为三条边长度之和，因此周长为：
$2a+5b+5a+3b+2a+3b=9a+11b$
【答案】
$9a+11b$
【知识点】
列代数式，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减在几何周长计算中的应用，解题核心是先根据题意准确表示出三条边的长度，再按照合并同类项的规则计算周长，计算时要注意同类项的系数相加减、字母和字母的指数保持不变，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
要计算三角形的周长，需先明确三条边的长度：已知第一条边的长度，首先根据“第二条边比第一条边长$3a-2b$”，用第一条边的长度加$3a-2b$即可求出第二条边的长度；再根据“第三条边比第二条边短$3a$”，用第二条边的长度减$3a$求出第三条边的长度；最后将三条边的长度相加，合并同类项后就能得到表示周长的代数式。
【解析】
解：已知三角形第一条边的长为$2a+5b$，
因为第二条边比第一条边长$3a-2b$，所以第二条边的长为：
$2a+5b+3a-2b=5a+3b$
因为第三条边比第二条边短$3a$，所以第三条边的长为：
$5a+3b-3a=2a+3b$
三角形的周长为三条边长度之和，因此周长为：
$2a+5b+5a+3b+2a+3b=9a+11b$
【答案】
$9a+11b$
【知识点】
列代数式，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减在几何周长计算中的应用，解题核心是先根据题意准确表示出三条边的长度，再按照合并同类项的规则计算周长，计算时要注意同类项的系数相加减、字母和字母的指数保持不变，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
1. (2025阿克苏地区期末)若关于x的多项式$3x - 2 - mx$的值与x的取值无关，则m的值为（
A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$
A
）A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，说明多项式中含x的项的系数为0。解题步骤为：第一步先对多项式合并同类项，整理出含x项的系数，第二步令该系数等于0，解方程即可求出m的值。
【解析】
首先对多项式$3x - 2 - mx$合并同类项：
将含x的项合并，可得：
$3x - mx - 2 = (3 - m)x - 2$
已知该多项式的值与x的取值无关，因此含x项的系数必须为0，即：
$3 - m = 0$
解这个方程可得：$m = 3$
【答案】
A
【知识点】
1.合并同类项
2.多项式与字母取值无关的条件
【点评】
本题是基础常考题型，核心是理解多项式的值与某个字母取值无关的本质是该字母的系数为0，熟练掌握合并同类项的法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，说明多项式中含x的项的系数为0。解题步骤为：第一步先对多项式合并同类项，整理出含x项的系数，第二步令该系数等于0，解方程即可求出m的值。
【解析】
首先对多项式$3x - 2 - mx$合并同类项：
将含x的项合并，可得：
$3x - mx - 2 = (3 - m)x - 2$
已知该多项式的值与x的取值无关，因此含x项的系数必须为0，即：
$3 - m = 0$
解这个方程可得：$m = 3$
【答案】
A
【知识点】
1.合并同类项
2.多项式与字母取值无关的条件
【点评】
本题是基础常考题型，核心是理解多项式的值与某个字母取值无关的本质是该字母的系数为0，熟练掌握合并同类项的法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2. 已知多项式$-3x^2 + mx + nx^2 + x + 3$的值与$x$的取值无关，则代数式$m + n$的值为
$2$
.答案
2. 2
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，说明所有含x的项的系数都为0。解题思路为：①先对多项式合并同类项，将同次项的系数合并；②令含x²、x的项的系数分别等于0，求出m、n的值；③最后计算m+n的结果。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}-3x^2 + mx + nx^2 + x + 3&=(-3 + n)x^2 + (m + 1)x + 3\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的各次项的系数均为0，可得：
$\begin{cases}n - 3 = 0 \\m + 1 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = 3 \\m = -1\end{cases}$
因此$m + n = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
合并同类项；多项式的系数；整式取值无关性质
【点评】
本题是同类项与合并同类项的典型应用题，解题核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母所有次项的系数都为0，是整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都不变，说明所有含x的项的系数都为0。解题思路为：①先对多项式合并同类项，将同次项的系数合并；②令含x²、x的项的系数分别等于0，求出m、n的值；③最后计算m+n的结果。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}-3x^2 + mx + nx^2 + x + 3&=(-3 + n)x^2 + (m + 1)x + 3\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的各次项的系数均为0，可得：
$\begin{cases}n - 3 = 0 \\m + 1 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = 3 \\m = -1\end{cases}$
因此$m + n = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
合并同类项；多项式的系数；整式取值无关性质
【点评】
本题是同类项与合并同类项的典型应用题，解题核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母所有次项的系数都为0，是整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
3. 若关于$x$，$y$的多项式$mx^3 + 3nxy^2 + 2x^3 - xy^2 + y$中不含三次项，则$2m + 3n$的值为________。
答案
$-3$
解析
【分析】
解题时首先要明确“多项式中不含三次项”的含义，即合并同类项后所有三次项的系数都为0。第一步先找到多项式中的三次项，合并同类项，再令三次项的系数分别等于0，得到关于m、n的关系式，最后代入计算$2m+3n$的值即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$mx^3 + 3nxy^2 + 2x^3 - xy^2 + y$
$=(m + 2)x^3 + (3n - 1)xy^2 + y$
∵多项式不含三次项，
∴三次项的系数为0，即：
$m + 2 = 0$，$3n - 1 = 0$
解得：$m = -2$，$3n = 1$
将$m=-2$，$3n=1$代入$2m + 3n$得：
$2×(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题的核心是理解“不含某类项”的意义，即合并同类项后该类项的系数为0，解题时需准确识别同类项并正确合并，再通过系数为0的条件求出相关字母的值或整体代入计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确“多项式中不含三次项”的含义，即合并同类项后所有三次项的系数都为0。第一步先找到多项式中的三次项，合并同类项，再令三次项的系数分别等于0，得到关于m、n的关系式，最后代入计算$2m+3n$的值即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$mx^3 + 3nxy^2 + 2x^3 - xy^2 + y$
$=(m + 2)x^3 + (3n - 1)xy^2 + y$
∵多项式不含三次项，
∴三次项的系数为0，即：
$m + 2 = 0$，$3n - 1 = 0$
解得：$m = -2$，$3n = 1$
将$m=-2$，$3n=1$代入$2m + 3n$得：
$2×(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题的核心是理解“不含某类项”的意义，即合并同类项后该类项的系数为0，解题时需准确识别同类项并正确合并，再通过系数为0的条件求出相关字母的值或整体代入计算。
【难度系数】
0.7
