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10. 某中学七年级学生在数学课上用所学的数学知识，分小组提出问题，请你解决下面提出的3个问题.（列一元一次方程解答）
制作横式无盖长方体纸盒
小组1 如图43-G-2，在一个长为20 cm，宽为x cm的大长方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为5 cm的小正方形，剩余纸板可制作一个无盖的长方体纸盒.
问题1 若这个纸盒的体积是400 cm³，求大长方形硬纸板的宽是多少.
问题2 若这个纸盒的底面小长方形的周长是32 cm，求大长方形硬纸板的宽是多少.
小组2 如图43-G-3，现有20张长为30 cm的硬纸板，用每张硬纸板恰好可以制作3张长方形纸板或6张正方形纸板.
问题3 若20张长为30 cm的硬纸板恰好用完，求用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，制作出若干个完整的体积为2000 cm³的横式无盖长方体纸盒（长方体底面长方形的长大于长方体的高）.
制作横式无盖长方体纸盒
小组1 如图43-G-2，在一个长为20 cm，宽为x cm的大长方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为5 cm的小正方形，剩余纸板可制作一个无盖的长方体纸盒.
问题1 若这个纸盒的体积是400 cm³，求大长方形硬纸板的宽是多少.
问题2 若这个纸盒的底面小长方形的周长是32 cm，求大长方形硬纸板的宽是多少.
小组2 如图43-G-3，现有20张长为30 cm的硬纸板，用每张硬纸板恰好可以制作3张长方形纸板或6张正方形纸板.
问题3 若20张长为30 cm的硬纸板恰好用完，求用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，制作出若干个完整的体积为2000 cm³的横式无盖长方体纸盒（长方体底面长方形的长大于长方体的高）.
答案
10. 解:问题1:根据题意,得 5×(20−5×2)(x−5×2)=400,
解得 x=18.
答:大长方形硬纸板的宽是 18 cm.
问题2:根据题意,得 2[(20−5×2)+(x−5×2)]=32,
解得 x=16.
答:大长方形硬纸板的宽是 16 cm.
问题3:设用 y 张硬纸板制作长方形纸板,则用(20−y)张硬纸板制作正方形纸板.
根据题意,得$\frac{3y}{3}=\frac{6(20-y)}{2}$,解得 y=15.
所以 20−y=20−15=5.
答:用 15 张硬纸板制作长方形纸板,5 张硬纸板制作正方形纸板,才能正好配套.
解得 x=18.
答:大长方形硬纸板的宽是 18 cm.
问题2:根据题意,得 2[(20−5×2)+(x−5×2)]=32,
解得 x=16.
答:大长方形硬纸板的宽是 16 cm.
问题3:设用 y 张硬纸板制作长方形纸板,则用(20−y)张硬纸板制作正方形纸板.
根据题意,得$\frac{3y}{3}=\frac{6(20-y)}{2}$,解得 y=15.
所以 20−y=20−15=5.
答:用 15 张硬纸板制作长方形纸板,5 张硬纸板制作正方形纸板,才能正好配套.
解析
【分析】
问题1：先明确无盖纸盒的长宽高：四个角剪去边长5cm的正方形，因此纸盒高为5cm，底面长为原长减去2个5cm即10cm，底面宽为原宽x减去2个5cm即(x-10)cm，根据“长方体体积=长×宽×高”，结合体积为400cm³列一元一次方程求解即可。
问题2：纸盒底面小长方形的长为10cm，宽为(x-10)cm，根据“长方形周长=2×(长+宽)”，结合周长为32cm列方程求解即可。
问题3：首先明确横式无盖长方体纸盒的构成：1个完整纸盒需要3张长方形纸板、2张正方形纸板。设用y张做长方形纸板，则(20-y)张做正方形纸板，总长方形纸板数为3y，总正方形纸板数为6(20-y)，配套时两种纸板做出的纸盒数量相等，即总长方形数÷3 = 总正方形数÷2，据此列方程求解即可。
【解析】
问题1
根据题意，无盖纸盒体积的等量关系为：长×宽×高=400，列方程得：
$5×(20−5×2)(x−5×2)=400$
化简得$50(x-10)=400$，
解得$x=18$。
答：大长方形硬纸板的宽是18 cm。
问题2
根据底面周长的等量关系：2×(底面长+底面宽)=32，列方程得：
$2[(20−5×2)+(x−5×2)]=32$
化简得$2x=32$，
解得$x=16$。
答：大长方形硬纸板的宽是16 cm。
问题3
设用y张硬纸板制作长方形纸板，则用$(20−y)$张硬纸板制作正方形纸板。
根据配套时纸盒数量相等的等量关系，列方程得：
$\frac{3y}{3}=\frac{6(20-y)}{2}$
化简得$y=3(20-y)$，
解得$y=15$，
则制作正方形纸板的硬纸板数量为$20−15=5$（张）。
答：用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套。
【答案】
问题1：18 cm；问题2：16 cm；问题3：15张制作长方形纸板，5张制作正方形纸板。
【知识点】
一元一次方程应用、长方体相关计算、配套问题
【点评】
本题结合手工制作纸盒的生活场景，分别考查了几何类和配套类的一元一次方程实际应用，解题核心是准确梳理实物各部分的数量关系，找准等量关系列方程，解题时需注意理解配套问题中两类材料的数量对应关系。
【难度系数】
0.7
问题1：先明确无盖纸盒的长宽高：四个角剪去边长5cm的正方形，因此纸盒高为5cm，底面长为原长减去2个5cm即10cm，底面宽为原宽x减去2个5cm即(x-10)cm，根据“长方体体积=长×宽×高”，结合体积为400cm³列一元一次方程求解即可。
问题2：纸盒底面小长方形的长为10cm，宽为(x-10)cm，根据“长方形周长=2×(长+宽)”，结合周长为32cm列方程求解即可。
问题3：首先明确横式无盖长方体纸盒的构成：1个完整纸盒需要3张长方形纸板、2张正方形纸板。设用y张做长方形纸板，则(20-y)张做正方形纸板，总长方形纸板数为3y，总正方形纸板数为6(20-y)，配套时两种纸板做出的纸盒数量相等，即总长方形数÷3 = 总正方形数÷2，据此列方程求解即可。
【解析】
问题1
根据题意，无盖纸盒体积的等量关系为：长×宽×高=400，列方程得：
$5×(20−5×2)(x−5×2)=400$
化简得$50(x-10)=400$，
解得$x=18$。
答：大长方形硬纸板的宽是18 cm。
问题2
根据底面周长的等量关系：2×(底面长+底面宽)=32，列方程得：
$2[(20−5×2)+(x−5×2)]=32$
化简得$2x=32$，
解得$x=16$。
答：大长方形硬纸板的宽是16 cm。
问题3
设用y张硬纸板制作长方形纸板，则用$(20−y)$张硬纸板制作正方形纸板。
根据配套时纸盒数量相等的等量关系，列方程得：
$\frac{3y}{3}=\frac{6(20-y)}{2}$
化简得$y=3(20-y)$，
解得$y=15$，
则制作正方形纸板的硬纸板数量为$20−15=5$（张）。
答：用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套。
【答案】
问题1：18 cm；问题2：16 cm；问题3：15张制作长方形纸板，5张制作正方形纸板。
【知识点】
一元一次方程应用、长方体相关计算、配套问题
【点评】
本题结合手工制作纸盒的生活场景，分别考查了几何类和配套类的一元一次方程实际应用，解题核心是准确梳理实物各部分的数量关系，找准等量关系列方程，解题时需注意理解配套问题中两类材料的数量对应关系。
【难度系数】
0.7
