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17.已知二次函数 $y=x^2+mx-2$ 的图象经过点$(3,-5)$。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当$-1≤ x≤ 3$时，直接写出$y$的最大值。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当$-1≤ x≤ 3$时，直接写出$y$的最大值。
答案
解：(1) 将点$(3,-5)$代入二次函数$y=x^2+mx-2$，得：
$-5 = 3^2 + 3m - 2$
化简得：$-5 = 7 + 3m$
解得：$m=-4$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x - 2$。
(2) $y$的最大值为$3$。
$-5 = 3^2 + 3m - 2$
化简得：$-5 = 7 + 3m$
解得：$m=-4$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x - 2$。
(2) $y$的最大值为$3$。
解析
【分析】
(1) 要确定二次函数的表达式，已知函数图象经过点$(3,-5)$，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点的坐标代入解析式，就能得到关于$m$的一元一次方程，解方程求出$m$的值后即可得到二次函数的表达式。
(2) 求给定区间$-1≤ x≤ 3$内$y$的最大值，首先明确二次函数的开口方向和对称轴：该二次函数二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，在对称轴处取最小值，离对称轴越远的点对应的函数值越大。先求出对称轴，再比较区间两个端点到对称轴的距离，代入距离更远的端点的$x$值计算，即可得到区间内的最大值。
【解析】
(1) 将点$(3,-5)$代入二次函数$y=x^2+mx-2$，得：
$\begin{aligned}-5 &= 3^2 + 3m - 2\\-5 &= 7 + 3m\\3m &= -12\\m &= -4\end{aligned}$
因此该二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x - 2$。
(2) 由$y=x^2 - 4x - 2$可知，$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×1}=2$。
计算区间端点到对称轴的距离：$x=-1$到$x=2$的距离为$|2-(-1)|=3$，$x=3$到$x=2$的距离为$|3-2|=1$，因此$x=-1$时$y$取最大值。
代入$x=-1$得：$y=(-1)^2 -4×(-1) -2=1+4-2=3$。
【答案】
(1) $y=x^2 - 4x - 2$；(2) $3$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础题，第一问考查待定系数法的基本应用，第二问需要结合二次函数开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定二次函数的表达式，已知函数图象经过点$(3,-5)$，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点的坐标代入解析式，就能得到关于$m$的一元一次方程，解方程求出$m$的值后即可得到二次函数的表达式。
(2) 求给定区间$-1≤ x≤ 3$内$y$的最大值，首先明确二次函数的开口方向和对称轴：该二次函数二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，在对称轴处取最小值，离对称轴越远的点对应的函数值越大。先求出对称轴，再比较区间两个端点到对称轴的距离，代入距离更远的端点的$x$值计算，即可得到区间内的最大值。
【解析】
(1) 将点$(3,-5)$代入二次函数$y=x^2+mx-2$，得：
$\begin{aligned}-5 &= 3^2 + 3m - 2\\-5 &= 7 + 3m\\3m &= -12\\m &= -4\end{aligned}$
因此该二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x - 2$。
(2) 由$y=x^2 - 4x - 2$可知，$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×1}=2$。
计算区间端点到对称轴的距离：$x=-1$到$x=2$的距离为$|2-(-1)|=3$，$x=3$到$x=2$的距离为$|3-2|=1$，因此$x=-1$时$y$取最大值。
代入$x=-1$得：$y=(-1)^2 -4×(-1) -2=1+4-2=3$。
【答案】
(1) $y=x^2 - 4x - 2$；(2) $3$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础题，第一问考查待定系数法的基本应用，第二问需要结合二次函数开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
18.已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 + (2k-1)x + k-1 = 0(k≠0)$。
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根。
(2)若该方程有一个根为0,求该方程的另一个根。
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根。
(2)若该方程有一个根为0,求该方程的另一个根。
答案
(1) 证明：
$\because k≠0$，
$\therefore$ 方程$kx^2 + (2k-1)x + k-1 = 0$是一元二次方程，
判别式$\Delta=(2k-1)^2 - 4k(k-1)$
$=4k^2 -4k +1 -4k^2 +4k$
$=1＞0$，
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
把$x=0$代入原方程，得：
$k-1=0$，
解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2 + x = 0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$，
$\therefore$ 该方程的另一个根为$-1$。
$\because k≠0$，
$\therefore$ 方程$kx^2 + (2k-1)x + k-1 = 0$是一元二次方程，
判别式$\Delta=(2k-1)^2 - 4k(k-1)$
$=4k^2 -4k +1 -4k^2 +4k$
$=1＞0$，
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
把$x=0$代入原方程，得：
$k-1=0$，
解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2 + x = 0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$，
$\therefore$ 该方程的另一个根为$-1$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是验证根的判别式Δ恒大于0。题目已明确给出k≠0，可直接确定该方程为一元二次方程，接下来代入Δ=b²-4ac的公式计算化简，判断结果的符号即可完成证明。
（2）已知方程的一个根为0，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可求出参数k的值，再把k代回原方程求解，就能得到另一个根。
【解析】
(1) 证明：
$\because k≠0$，
$\therefore$ 方程$kx^2 + (2k-1)x + k-1 = 0$是一元二次方程，
判别式$\Delta=(2k-1)^2 - 4k(k-1)$
$=4k^2 -4k +1 -4k^2 +4k$
$=1＞0$，
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
把$x=0$代入原方程，得：
$k-1=0$，
解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2 + x = 0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$，
$\therefore$ 该方程的另一个根为$-1$。
【答案】
(1) 该方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) 另一个根为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的定义
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，重点考查根的判别式的应用、方程根的定义的运用，解题时注意题干已给出k≠0的条件，无需额外讨论方程为一次方程的情况，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是验证根的判别式Δ恒大于0。题目已明确给出k≠0，可直接确定该方程为一元二次方程，接下来代入Δ=b²-4ac的公式计算化简，判断结果的符号即可完成证明。
（2）已知方程的一个根为0，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可求出参数k的值，再把k代回原方程求解，就能得到另一个根。
【解析】
(1) 证明：
$\because k≠0$，
$\therefore$ 方程$kx^2 + (2k-1)x + k-1 = 0$是一元二次方程，
判别式$\Delta=(2k-1)^2 - 4k(k-1)$
$=4k^2 -4k +1 -4k^2 +4k$
$=1＞0$，
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
把$x=0$代入原方程，得：
$k-1=0$，
解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2 + x = 0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$，
$\therefore$ 该方程的另一个根为$-1$。
【答案】
(1) 该方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) 另一个根为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的定义
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，重点考查根的判别式的应用、方程根的定义的运用，解题时注意题干已给出k≠0的条件，无需额外讨论方程为一次方程的情况，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
