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19. 提升题 排骨藕汤作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱。某商家准备在市场上销售排骨藕汤，经市场调查发现，排骨藕汤的成本为每罐45元。若每罐以60元的价格销售，平均每天可销售40罐，且价格每降低1元，平均每天多销售10罐。设每罐降价$ x $（$ x $为整数）元，每天的销售量为$ y $罐。
(1)每天的销售量$ y $（单位：罐）与$ x $（单位：元）之间的关系式为。（不要求写出$ x $的取值范围）
(2)若元旦当天商家销售排骨藕汤的利润为880元，且要让消费者获得更多实惠，则该店每罐排骨藕汤的定价为多少元？
(3)为促进市场良性竞争，规定排骨藕汤的销售单价不低于47元且不高于56元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润。
(1)每天的销售量$ y $（单位：罐）与$ x $（单位：元）之间的关系式为。（不要求写出$ x $的取值范围）
(2)若元旦当天商家销售排骨藕汤的利润为880元，且要让消费者获得更多实惠，则该店每罐排骨藕汤的定价为多少元？
(3)为促进市场良性竞争，规定排骨藕汤的销售单价不低于47元且不高于56元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{y = 10x + 40}$
(2) 根据总利润=单罐利润×日销售量，列方程：
$(60 - x - 45)(40 + 10x) = 880$
整理得：
$x^2 - 11x + 28 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 7) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 7$。
要让消费者获得更多实惠，需选择更大的降价幅度，故取$x=7$，此时定价为$60 - 7 = 53$元。
(3) 设该商家平均每天销售这种排骨藕汤的总利润为$W$元，根据题意得：
$\begin{aligned}W&=(60 - x - 45)(40 + 10x)\\&=-10x^2 + 110x + 600\\&=-10(x - 5.5)^2 + 902.5\end{aligned}$
由销售单价满足$47 ≤ 60 - x ≤ 56$，解得$4 ≤ x ≤ 13$。
因为$-10 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5.5$，且$x$为整数，
所以当$x=5$或$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为900元。
答：(2) 该店每罐排骨藕汤的定价为53元；(3) 该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元。
(1) $\boldsymbol{y = 10x + 40}$
(2) 根据总利润=单罐利润×日销售量，列方程：
$(60 - x - 45)(40 + 10x) = 880$
整理得：
$x^2 - 11x + 28 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 7) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 7$。
要让消费者获得更多实惠，需选择更大的降价幅度，故取$x=7$，此时定价为$60 - 7 = 53$元。
(3) 设该商家平均每天销售这种排骨藕汤的总利润为$W$元，根据题意得：
$\begin{aligned}W&=(60 - x - 45)(40 + 10x)\\&=-10x^2 + 110x + 600\\&=-10(x - 5.5)^2 + 902.5\end{aligned}$
由销售单价满足$47 ≤ 60 - x ≤ 56$，解得$4 ≤ x ≤ 13$。
因为$-10 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5.5$，且$x$为整数，
所以当$x=5$或$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为900元。
答：(2) 该店每罐排骨藕汤的定价为53元；(3) 该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元。
解析
【分析】
(1) 求销售量y与降价x的关系式：已知基础销量为40罐，每降价1元多销售10罐，降价x元则多销售10x罐，总销量为基础销量加新增销量即可得出关系式。
(2) 销售利润的核心公式为“总利润=单罐利润×日销售量”，单罐利润为（现售价-成本），现售价为(60-x)元，成本为45元，日销售量为第一问所求的表达式，结合利润为880元列方程求解；要让消费者获得更多实惠，需选择降价幅度更大的解，再计算对应定价即可。
(3) 先设总利润为W，根据利润公式列出W关于x的二次函数解析式，再根据销售单价的限制范围求出x的取值范围，结合二次函数的开口方向、对称轴，以及x为整数的限制条件，找到取值范围内使W最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意得，基础销量为40罐，降价x元多销售10x罐，故$y=40+10x$，即$y=10x+40$。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(60 - x - 45)(40 + 10x) = 880$
整理得：$x^2 - 11x + 28 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x - 7) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 7$。
要让消费者获得更多实惠，需选择更大的降价幅度，故取$x=7$，此时定价为$60 - 7 = 53$元。
(3) 设总利润为$W$元，根据题意得：
$\begin{aligned}W&=(60 - x - 45)(40 + 10x)\\&=-10x^2 + 110x + 600\\&=-10(x - 5.5)^2 + 902.5\end{aligned}$
由销售单价满足$47 ≤ 60 - x ≤ 56$，解得$4 ≤ x ≤ 13$。
因为$-10 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5.5$，且$x$为整数，
所以当$x=5$或$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为900元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = 10x + 40}$
(2) 该店每罐排骨藕汤的定价为53元
(3) 该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元
【知识点】
一次函数应用、一元二次方程应用、二次函数应用
【点评】
本题结合生活场景考查代数知识的实际应用，解题时需注意结合实际需求对方程的解进行取舍，求解二次函数最值时要结合自变量的取值范围、特殊限制（如本题x为整数）分析，避免直接套用顶点坐标出错。
【难度系数】
0.6
(1) 求销售量y与降价x的关系式：已知基础销量为40罐，每降价1元多销售10罐，降价x元则多销售10x罐，总销量为基础销量加新增销量即可得出关系式。
(2) 销售利润的核心公式为“总利润=单罐利润×日销售量”，单罐利润为（现售价-成本），现售价为(60-x)元，成本为45元，日销售量为第一问所求的表达式，结合利润为880元列方程求解；要让消费者获得更多实惠，需选择降价幅度更大的解，再计算对应定价即可。
(3) 先设总利润为W，根据利润公式列出W关于x的二次函数解析式，再根据销售单价的限制范围求出x的取值范围，结合二次函数的开口方向、对称轴，以及x为整数的限制条件，找到取值范围内使W最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意得，基础销量为40罐，降价x元多销售10x罐，故$y=40+10x$，即$y=10x+40$。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(60 - x - 45)(40 + 10x) = 880$
整理得：$x^2 - 11x + 28 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x - 7) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 7$。
要让消费者获得更多实惠，需选择更大的降价幅度，故取$x=7$，此时定价为$60 - 7 = 53$元。
(3) 设总利润为$W$元，根据题意得：
$\begin{aligned}W&=(60 - x - 45)(40 + 10x)\\&=-10x^2 + 110x + 600\\&=-10(x - 5.5)^2 + 902.5\end{aligned}$
由销售单价满足$47 ≤ 60 - x ≤ 56$，解得$4 ≤ x ≤ 13$。
因为$-10 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5.5$，且$x$为整数，
所以当$x=5$或$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为900元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = 10x + 40}$
(2) 该店每罐排骨藕汤的定价为53元
(3) 该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元
【知识点】
一次函数应用、一元二次方程应用、二次函数应用
【点评】
本题结合生活场景考查代数知识的实际应用，解题时需注意结合实际需求对方程的解进行取舍，求解二次函数最值时要结合自变量的取值范围、特殊限制（如本题x为整数）分析，避免直接套用顶点坐标出错。
【难度系数】
0.6
20. 提升题 如图，在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 6 \ \mathrm{cm}$，$BC = 8 \ \mathrm{cm}$。动点 $P$ 从点 $B$ 出发，在 $BA$ 边上以 $5 \ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $A$ 匀速运动；同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，在 $CB$ 边上以 $4 \ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 匀速运动。设运动时间为 $t \ \mathrm{s}(0＜t＜2)$，连接 $PQ$。
(1) 若 $△ BPQ$ 与 $△ ABC$ 相似，求 $t$ 的值。
(2) 连接 $AQ,CP$。若 $AQ ⊥ CP$，求 $t$ 的值。
21. 提升题 如图，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，且 $BE=\frac{1}{3}AB$。以 $B$ 为顶点的抛物线记为 $C_1: y_1=-x^2 + n$。以 $E$ 为顶点的抛物线记为 $C_2: y_2=ax^2 + bx + c$。抛物线 $C_2$ 与 $y$ 轴交于点 $P$，$OP=\frac{5}{2}$。
(1) 求抛物线 $C_1$ 和 $C_2$ 的表达式，并判断抛物线 $C_1$ 是否经过点 $E$。
(2) 若在抛物线 $C_1$ 和 $C_2$ 中，$y$ 都随 $x$ 的增大而减小，请直接写出此时 $x$ 的取值范围。
(3) 在(2)中 $x$ 的取值范围内，设新的函数 $y_3 = y_1 - y_2$，写出 $y_3$ 与 $x$ 之间的函数关系式。当 $x$ 为何值时，函数 $y_3$ 有最大值？求出这个最大值，并直接写出 $y_3$ 的取值范围。
(1) 若 $△ BPQ$ 与 $△ ABC$ 相似，求 $t$ 的值。
(2) 连接 $AQ,CP$。若 $AQ ⊥ CP$，求 $t$ 的值。
21. 提升题 如图，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，且 $BE=\frac{1}{3}AB$。以 $B$ 为顶点的抛物线记为 $C_1: y_1=-x^2 + n$。以 $E$ 为顶点的抛物线记为 $C_2: y_2=ax^2 + bx + c$。抛物线 $C_2$ 与 $y$ 轴交于点 $P$，$OP=\frac{5}{2}$。
(1) 求抛物线 $C_1$ 和 $C_2$ 的表达式，并判断抛物线 $C_1$ 是否经过点 $E$。
(2) 若在抛物线 $C_1$ 和 $C_2$ 中，$y$ 都随 $x$ 的增大而减小，请直接写出此时 $x$ 的取值范围。
(3) 在(2)中 $x$ 的取值范围内，设新的函数 $y_3 = y_1 - y_2$，写出 $y_3$ 与 $x$ 之间的函数关系式。当 $x$ 为何值时，函数 $y_3$ 有最大值？求出这个最大值，并直接写出 $y_3$ 的取值范围。
答案
第20题解答
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，故$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$△ BPQ$与$△ ABC$有公共角$∠ B$，分两种相似情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得$t=1$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$，
$\because ∠ PDB=∠ ACB=90°$，$∠ B$为公共角，$\therefore △ BPD ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BP}{BA}=\frac{PD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{PD}{6}=\frac{BD}{8}$，
解得：$PD=3t\ \mathrm{cm}$，$BD=4t\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD=BC-BD=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，
又$\because ∠ PCD + ∠ ACP=90°$，$\therefore ∠ CAQ=∠ PCD$，
又$\because ∠ ACQ=∠ CDP=90°$，$\therefore △ ACQ ∽ △ CDP$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{CQ}{PD}$，代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，约去$t(t≠0)$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$。
---
第21题解答
解：
(1) 对于直线$y=-x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$；令$y=0$，得$x=3$，故$A(3,0)$。
$\because BE=\frac{1}{3}AB$，点$E$在线段$AB$上，$\therefore E$的坐标为$(1,2)$。
抛物线$C_1:y_1=-x^2+n$顶点为$B(0,3)$，代入得$n=3$，
$\therefore C_1$的表达式为$y_1=-x^2+3$。
$\because$ 抛物线$C_2$顶点为$E(1,2)$，设其顶点式为$y_2=a(x-1)^2+2$，
由$OP=\frac{5}{2}$，$P$在$y$轴正半轴得$P(0,\frac{5}{2})$，代入得：
$\frac{5}{2}=a(0-1)^2+2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
展开得$y_2=\frac{1}{2}(x-1)^2+2=\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{5}{2}$。
将$x=1$代入$y_1=-x^2+3$，得$y_1=2$，与点$E$纵坐标相等，故抛物线$C_1$经过点$E$。
(2) $C_1:y_1=-x^2+3$开口向下，对称轴为$x=0$，当$x\ge0$时$y_1$随$x$增大而减小；
$C_2:y_2=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2}$开口向上，对称轴为$x=1$，当$x\le1$时$y_2$随$x$增大而减小。
故所求$x$的取值范围为$\boldsymbol{0\le x\le1}$。
(3) $y_3=y_1-y_2=(-x^2+3)-(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2})=-\frac{3}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$。
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{3}$在$0\le x\le1$范围内，
$\therefore$ 当$x=\frac{1}{3}$时，$y_3$取得最大值，最大值为$-\frac{3}{2}×(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。
当$x=0$时$y_3=\frac{1}{2}$，当$x=1$时$y_3=0$，故$y_3$的取值范围为$\boldsymbol{0\le y_3\le\frac{2}{3}}$。
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，故$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$△ BPQ$与$△ ABC$有公共角$∠ B$，分两种相似情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得$t=1$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$，
$\because ∠ PDB=∠ ACB=90°$，$∠ B$为公共角，$\therefore △ BPD ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BP}{BA}=\frac{PD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{PD}{6}=\frac{BD}{8}$，
解得：$PD=3t\ \mathrm{cm}$，$BD=4t\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD=BC-BD=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，
又$\because ∠ PCD + ∠ ACP=90°$，$\therefore ∠ CAQ=∠ PCD$，
又$\because ∠ ACQ=∠ CDP=90°$，$\therefore △ ACQ ∽ △ CDP$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{CQ}{PD}$，代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，约去$t(t≠0)$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$。
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第21题解答
解：
(1) 对于直线$y=-x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$；令$y=0$，得$x=3$，故$A(3,0)$。
$\because BE=\frac{1}{3}AB$，点$E$在线段$AB$上，$\therefore E$的坐标为$(1,2)$。
抛物线$C_1:y_1=-x^2+n$顶点为$B(0,3)$，代入得$n=3$，
$\therefore C_1$的表达式为$y_1=-x^2+3$。
$\because$ 抛物线$C_2$顶点为$E(1,2)$，设其顶点式为$y_2=a(x-1)^2+2$，
由$OP=\frac{5}{2}$，$P$在$y$轴正半轴得$P(0,\frac{5}{2})$，代入得：
$\frac{5}{2}=a(0-1)^2+2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
展开得$y_2=\frac{1}{2}(x-1)^2+2=\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{5}{2}$。
将$x=1$代入$y_1=-x^2+3$，得$y_1=2$，与点$E$纵坐标相等，故抛物线$C_1$经过点$E$。
(2) $C_1:y_1=-x^2+3$开口向下，对称轴为$x=0$，当$x\ge0$时$y_1$随$x$增大而减小；
$C_2:y_2=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2}$开口向上，对称轴为$x=1$，当$x\le1$时$y_2$随$x$增大而减小。
故所求$x$的取值范围为$\boldsymbol{0\le x\le1}$。
(3) $y_3=y_1-y_2=(-x^2+3)-(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2})=-\frac{3}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$。
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{3}$在$0\le x\le1$范围内，
$\therefore$ 当$x=\frac{1}{3}$时，$y_3$取得最大值，最大值为$-\frac{3}{2}×(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。
当$x=0$时$y_3=\frac{1}{2}$，当$x=1$时$y_3=0$，故$y_3$的取值范围为$\boldsymbol{0\le y_3\le\frac{2}{3}}$。
解析
第20题
【分析】
解决本题首先需要先利用勾股定理求出AB的长度，再用运动时间t表示出线段BP、BQ的长度。(1)问中△BPQ与△ABC有公共角∠B，相似时公共角的夹边对应成比例，需分两种对应情况列比例式求解；(2)问中遇到AQ⊥CP的垂直条件，可通过作PD⊥BC构造直角三角形，先利用相似求出PD、CD的长度，再根据同角的余角相等得到角相等，证明△ACQ∽△CDP，列比例式即可求解t的值。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，故$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$△ BPQ$与$△ ABC$有公共角$∠ B$，分两种相似情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得$t=1$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$，
$\because ∠ PDB=∠ ACB=90°$，$∠ B$为公共角，$\therefore △ BPD ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BP}{BA}=\frac{PD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{PD}{6}=\frac{BD}{8}$，
解得：$PD=3t\ \mathrm{cm}$，$BD=4t\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD=BC-BD=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，
又$\because ∠ PCD + ∠ ACP=90°$，$\therefore ∠ CAQ=∠ PCD$，
又$\because ∠ ACQ=∠ CDP=90°$，$\therefore △ ACQ ∽ △ CDP$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{CQ}{PD}$，代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，约去$t(t≠0)$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $t$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{\frac{32}{41}}$；(2) $t$的值为$\boldsymbol{\frac{7}{8}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，动点问题
【点评】
本题为动点与相似结合的综合题，考查了分类讨论思想，解题时需注意相似三角形对应边不唯一时要分情况讨论，第二问通过作辅助线构造直角三角形相似是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
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第21题
【分析】
解决本题首先从一次函数解析式入手，求出与坐标轴的交点A、B坐标，再根据线段比例关系求出E点坐标。(1)问中已知抛物线顶点，用顶点式求解析式更简便，代入已知点求出参数后，再代入E点坐标验证C1是否过E；(2)问分别求出两个抛物线y随x增大而减小的x范围，取两个范围的公共部分即可；(3)问先作差得到y3的解析式，结合给定的x范围，根据二次函数的开口方向和对称轴位置求出最值，再代入区间端点的函数值即可得到y3的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$；令$y=0$，得$x=3$，故$A(3,0)$。
$\because BE=\frac{1}{3}AB$，点$E$在线段$AB$上，$\therefore E$的坐标为$(1,2)$。
抛物线$C_1:y_1=-x^2+n$顶点为$B(0,3)$，代入得$n=3$，
$\therefore C_1$的表达式为$y_1=-x^2+3$。
$\because$ 抛物线$C_2$顶点为$E(1,2)$，设其顶点式为$y_2=a(x-1)^2+2$，
由$OP=\frac{5}{2}$，$P$在$y$轴正半轴得$P(0,\frac{5}{2})$，代入得：
$\frac{5}{2}=a(0-1)^2+2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
展开得$y_2=\frac{1}{2}(x-1)^2+2=\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{5}{2}$。
将$x=1$代入$y_1=-x^2+3$，得$y_1=2$，与点$E$纵坐标相等，故抛物线$C_1$经过点$E$。
(2) $C_1:y_1=-x^2+3$开口向下，对称轴为$x=0$，当$x\ge0$时$y_1$随$x$增大而减小；
$C_2:y_2=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2}$开口向上，对称轴为$x=1$，当$x\le1$时$y_2$随$x$增大而减小。
故所求$x$的取值范围为$\boldsymbol{0\le x\le1}$。
(3) $y_3=y_1-y_2=(-x^2+3)-(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2})=-\frac{3}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$。
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{3}$在$0\le x\le1$范围内，
$\therefore$ 当$x=\frac{1}{3}$时，$y_3$取得最大值，最大值为$-\frac{3}{2}×(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。
当$x=0$时$y_3=\frac{1}{2}$，当$x=1$时$y_3=0$，故$y_3$的取值范围为$\boldsymbol{0\le y_3\le\frac{2}{3}}$。
【答案】
(1) $C_1$的表达式为$\boldsymbol{y_1=-x^2+3}$，$C_2$的表达式为$\boldsymbol{y_2=\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{5}{2}}$，抛物线$C_1$经过点$E$；
(2) $x$的取值范围为$\boldsymbol{0\le x\le1}$；
(3) $y_3=-\frac{3}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$，当$x=\boldsymbol{\frac{1}{3}}$时，$y_3$有最大值$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$，$y_3$的取值范围为$\boldsymbol{0\le y_3\le\frac{2}{3}}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，熟练掌握二次函数顶点式的应用、增减性判断、区间最值的求法是解题的关键，求解取值范围时要注意结合区间端点的函数值分析。
【难度系数】
0.55
【分析】
解决本题首先需要先利用勾股定理求出AB的长度，再用运动时间t表示出线段BP、BQ的长度。(1)问中△BPQ与△ABC有公共角∠B，相似时公共角的夹边对应成比例，需分两种对应情况列比例式求解；(2)问中遇到AQ⊥CP的垂直条件，可通过作PD⊥BC构造直角三角形，先利用相似求出PD、CD的长度，再根据同角的余角相等得到角相等，证明△ACQ∽△CDP，列比例式即可求解t的值。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，故$BQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$△ BPQ$与$△ ABC$有公共角$∠ B$，分两种相似情况：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
代入得：$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得$t=1$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
代入得：$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t$的值为$1$或$\frac{32}{41}$。
(2) 过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$，
$\because ∠ PDB=∠ ACB=90°$，$∠ B$为公共角，$\therefore △ BPD ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BP}{BA}=\frac{PD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{PD}{6}=\frac{BD}{8}$，
解得：$PD=3t\ \mathrm{cm}$，$BD=4t\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD=BC-BD=(8-4t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AQ⊥ CP$，$\therefore ∠ CAQ + ∠ ACP=90°$，
又$\because ∠ PCD + ∠ ACP=90°$，$\therefore ∠ CAQ=∠ PCD$，
又$\because ∠ ACQ=∠ CDP=90°$，$\therefore △ ACQ ∽ △ CDP$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{CQ}{PD}$，代入得：$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，约去$t(t≠0)$得$\frac{6}{8-4t}=\frac{4}{3}$，
解得$t=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $t$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{\frac{32}{41}}$；(2) $t$的值为$\boldsymbol{\frac{7}{8}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，动点问题
【点评】
本题为动点与相似结合的综合题，考查了分类讨论思想，解题时需注意相似三角形对应边不唯一时要分情况讨论，第二问通过作辅助线构造直角三角形相似是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
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第21题
【分析】
解决本题首先从一次函数解析式入手，求出与坐标轴的交点A、B坐标，再根据线段比例关系求出E点坐标。(1)问中已知抛物线顶点，用顶点式求解析式更简便，代入已知点求出参数后，再代入E点坐标验证C1是否过E；(2)问分别求出两个抛物线y随x增大而减小的x范围，取两个范围的公共部分即可；(3)问先作差得到y3的解析式，结合给定的x范围，根据二次函数的开口方向和对称轴位置求出最值，再代入区间端点的函数值即可得到y3的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$；令$y=0$，得$x=3$，故$A(3,0)$。
$\because BE=\frac{1}{3}AB$，点$E$在线段$AB$上，$\therefore E$的坐标为$(1,2)$。
抛物线$C_1:y_1=-x^2+n$顶点为$B(0,3)$，代入得$n=3$，
$\therefore C_1$的表达式为$y_1=-x^2+3$。
$\because$ 抛物线$C_2$顶点为$E(1,2)$，设其顶点式为$y_2=a(x-1)^2+2$，
由$OP=\frac{5}{2}$，$P$在$y$轴正半轴得$P(0,\frac{5}{2})$，代入得：
$\frac{5}{2}=a(0-1)^2+2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
展开得$y_2=\frac{1}{2}(x-1)^2+2=\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{5}{2}$。
将$x=1$代入$y_1=-x^2+3$，得$y_1=2$，与点$E$纵坐标相等，故抛物线$C_1$经过点$E$。
(2) $C_1:y_1=-x^2+3$开口向下，对称轴为$x=0$，当$x\ge0$时$y_1$随$x$增大而减小；
$C_2:y_2=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2}$开口向上，对称轴为$x=1$，当$x\le1$时$y_2$随$x$增大而减小。
故所求$x$的取值范围为$\boldsymbol{0\le x\le1}$。
(3) $y_3=y_1-y_2=(-x^2+3)-(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{5}{2})=-\frac{3}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$。
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{3}$在$0\le x\le1$范围内，
$\therefore$ 当$x=\frac{1}{3}$时，$y_3$取得最大值，最大值为$-\frac{3}{2}×(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。
当$x=0$时$y_3=\frac{1}{2}$，当$x=1$时$y_3=0$，故$y_3$的取值范围为$\boldsymbol{0\le y_3\le\frac{2}{3}}$。
【答案】
(1) $C_1$的表达式为$\boldsymbol{y_1=-x^2+3}$，$C_2$的表达式为$\boldsymbol{y_2=\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{5}{2}}$，抛物线$C_1$经过点$E$；
(2) $x$的取值范围为$\boldsymbol{0\le x\le1}$；
(3) $y_3=-\frac{3}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$，当$x=\boldsymbol{\frac{1}{3}}$时，$y_3$有最大值$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$，$y_3$的取值范围为$\boldsymbol{0\le y_3\le\frac{2}{3}}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，熟练掌握二次函数顶点式的应用、增减性判断、区间最值的求法是解题的关键，求解取值范围时要注意结合区间端点的函数值分析。
【难度系数】
0.55
