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2.若抛物线$y=2(x-1)^2$经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，则$n$的值为（
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
首先观察到抛物线上两点的纵坐标相同，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称。我们可以先根据抛物线的顶点式确定其对称轴，再利用“对称点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值”求出m的取值，最后将点的坐标代入抛物线解析式即可算出n的值。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线对称轴为直线$x=1$。
2. 求m的值：因为点$(m,n)$和$(m+3,n)$纵坐标相同，两点关于对称轴对称，所以两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m + (m+3)}{2}=1$
解方程：$2m + 3 = 2$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
3. 计算n的值：将$m=-\frac{1}{2}$代入点$(m,n)$，把$x=-\frac{1}{2}$代入抛物线解析式：
$n=2×(-\frac{1}{2}-1)^2=2×(-\frac{3}{2})^2=2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式性质；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称这一规律，再结合顶点式的对称轴性质即可快速求解，是二次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先观察到抛物线上两点的纵坐标相同，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称。我们可以先根据抛物线的顶点式确定其对称轴，再利用“对称点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值”求出m的取值，最后将点的坐标代入抛物线解析式即可算出n的值。
【解析】
1. 确定抛物线对称轴：抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线对称轴为直线$x=1$。
2. 求m的值：因为点$(m,n)$和$(m+3,n)$纵坐标相同，两点关于对称轴对称，所以两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m + (m+3)}{2}=1$
解方程：$2m + 3 = 2$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
3. 计算n的值：将$m=-\frac{1}{2}$代入点$(m,n)$，把$x=-\frac{1}{2}$代入抛物线解析式：
$n=2×(-\frac{1}{2}-1)^2=2×(-\frac{3}{2})^2=2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式性质；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称这一规律，再结合顶点式的对称轴性质即可快速求解，是二次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
3.【分类讨论思想】已知二次函数$y=-(x-h)^2$（$h$为常数），当自变量$x$满足$2≤ x≤5$时，与其对应的函数值$y$的最大值为$-1$，则$h$的值为
1或6
。答案
3.1或6
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=-(x-h)^2$的基本性质：开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，函数的最大值为0。题目中当$2≤ x≤5$时，$y$的最大值为$-1≠0$，说明对称轴不在$2≤ x≤5$这个区间内，因此需要分两种情况讨论：①当$h＜2$时，区间在对称轴右侧，函数在区间内单调递减，最大值在$x=2$处取得；②当$h＞5$时，区间在对称轴左侧，函数在区间内单调递增，最大值在$x=5$处取得，分别代入最值列方程求解后，结合$h$的范围取舍即可得到结果。
【解析】
二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点处函数取得最大值0。
$\because$当$2≤ x≤5$时，$y$的最大值为$-1≠0$，
$\therefore$对称轴$x=h$不在区间$2≤ x≤5$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=2$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(2-h)^2=-1$，
解得$h_1=1$，$h_2=3$，
$\because h＜2$，$\therefore h=1$符合条件；
2. 当$h＞5$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=5$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(5-h)^2=-1$，
解得$h_1=6$，$h_2=4$，
$\because h＞5$，$\therefore h=6$符合条件。
综上，$h$的值为1或6。
【答案】
1或6
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数在给定区间的最值求解，解题的核心是结合函数开口方向和对称轴位置，判断区间内函数的增减性，再根据最值列方程求解，注意分类讨论后要结合$h$的取值范围对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数$y=-(x-h)^2$的基本性质：开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，函数的最大值为0。题目中当$2≤ x≤5$时，$y$的最大值为$-1≠0$，说明对称轴不在$2≤ x≤5$这个区间内，因此需要分两种情况讨论：①当$h＜2$时，区间在对称轴右侧，函数在区间内单调递减，最大值在$x=2$处取得；②当$h＞5$时，区间在对称轴左侧，函数在区间内单调递增，最大值在$x=5$处取得，分别代入最值列方程求解后，结合$h$的范围取舍即可得到结果。
【解析】
二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点处函数取得最大值0。
$\because$当$2≤ x≤5$时，$y$的最大值为$-1≠0$，
$\therefore$对称轴$x=h$不在区间$2≤ x≤5$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=2$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(2-h)^2=-1$，
解得$h_1=1$，$h_2=3$，
$\because h＜2$，$\therefore h=1$符合条件；
2. 当$h＞5$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=5$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(5-h)^2=-1$，
解得$h_1=6$，$h_2=4$，
$\because h＞5$，$\therefore h=6$符合条件。
综上，$h$的值为1或6。
【答案】
1或6
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数在给定区间的最值求解，解题的核心是结合函数开口方向和对称轴位置，判断区间内函数的增减性，再根据最值列方程求解，注意分类讨论后要结合$h$的取值范围对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
4.已知二次函数$y=-\dfrac{1}{6}(x-1)^2$的图象上有三个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，且$x_1＞x_2＞x_3＞1$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1＜y_2＜y_3$
。答案
4.$y_1＜y_2＜y_3$ 点拨:$\because$二次函数$y=-\frac{1}{6}(x-1)^2$的图象开口向下,对称轴是直线$x=1$,在对称轴右侧,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore y_1＜y_2＜y_3.$
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先需明确所给二次函数的图象性质：先根据二次项系数的正负判断开口方向，再确定函数对称轴，接着判断三个点的横坐标所在的区间，最后结合该区间内函数的增减性，就能通过横坐标的大小关系推导得到纵坐标的大小关系。
【解析】
解：对于二次函数$y=-\dfrac{1}{6}(x-1)^2$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{6}＜0$，因此函数图象开口向下；
2. 该函数的对称轴为直线$x=1$，开口向下的二次函数在对称轴右侧（$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$x_1＞x_2＞x_3＞1$，三个点均位于对称轴右侧，根据上述增减性可得，横坐标越大对应的函数值越小，因此$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称轴判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确函数的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先需明确所给二次函数的图象性质：先根据二次项系数的正负判断开口方向，再确定函数对称轴，接着判断三个点的横坐标所在的区间，最后结合该区间内函数的增减性，就能通过横坐标的大小关系推导得到纵坐标的大小关系。
【解析】
解：对于二次函数$y=-\dfrac{1}{6}(x-1)^2$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{6}＜0$，因此函数图象开口向下；
2. 该函数的对称轴为直线$x=1$，开口向下的二次函数在对称轴右侧（$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$x_1＞x_2＞x_3＞1$，三个点均位于对称轴右侧，根据上述增减性可得，横坐标越大对应的函数值越小，因此$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称轴判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确函数的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.如图26－2－10，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$O$为坐标原点，边$OA$在$x$轴上，$OA=AB=1$个单位长度，把$\mathrm{Rt}△ OAB$沿$x$轴正方向平移1个单位长度后得到$△ AA_1B_1$.
(1)求以$A$为顶点，且经过点$B_1$的抛物线对应的函数解析式；
(2)若(1)中的抛物线与$OB$交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，求点$D$，$C$的坐标.
图26－2－10
(1)求以$A$为顶点，且经过点$B_1$的抛物线对应的函数解析式；
(2)若(1)中的抛物线与$OB$交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，求点$D$，$C$的坐标.
图26－2－10
答案
1.解:(1)由题意可知,$A(1,0),A_1(2,0)$,$B_1(2,1).$
设以$A$为顶点的抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2.$
$\because$此抛物线过点$B_1(2,1),$
$\therefore 1=a(2-1)^2,\therefore a=1,$
$\therefore$所求的函数解析式为$y=(x-1)^2.$
(2)$\because$当$x=0$时,$y=(0-1)^2=1,$
$\therefore$点$D$的坐标为$(0,1).$
由题意知$OB$在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上,
故可设$C(m,m)$,把点$C$的坐标代入$y=(x-1)^2$,得$m=(m-1)^2$,
解得$m_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜1,m_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$(舍去).
故点$C$的坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}).$
设以$A$为顶点的抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2.$
$\because$此抛物线过点$B_1(2,1),$
$\therefore 1=a(2-1)^2,\therefore a=1,$
$\therefore$所求的函数解析式为$y=(x-1)^2.$
(2)$\because$当$x=0$时,$y=(0-1)^2=1,$
$\therefore$点$D$的坐标为$(0,1).$
由题意知$OB$在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上,
故可设$C(m,m)$,把点$C$的坐标代入$y=(x-1)^2$,得$m=(m-1)^2$,
解得$m_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜1,m_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$(舍去).
故点$C$的坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}).$
解析
【分析】
(1)首先根据平移性质确定各点坐标：已知Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位，且OA=AB=1，可得顶点A(1,0)，平移后点B₁坐标为(2,1)。由于已知抛物线顶点，因此选择顶点式设抛物线解析式，再代入B₁坐标即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
(2)求点D坐标：抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式即可求出对应y值，得到D点坐标；求点C坐标：首先由△OAB是等腰直角三角形，可得OB为第一象限角平分线，解析式为y=x，因此设C(m,m)，代入抛物线解析式求解m，再结合C点的位置（横坐标小于1）舍去不符合题意的解，即可得到C点坐标。
【解析】
(1)由平移性质及已知条件可得：$A(1,0)$，$A_1(2,0)$，$B_1(2,1)$。
因为抛物线顶点为$A(1,0)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2$。
将$B_1(2,1)$代入解析式得：$1=a(2-1)^2$，解得$a=1$。
因此所求抛物线的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
(2)求点D坐标：抛物线与y轴交点处$x=0$，将$x=0$代入$y=(x-1)^2$，得$y=(0-1)^2=1$，所以D点坐标为$(0,1)$。
求点C坐标：由$∠ OAB=90°$，$OA=AB=1$，可知OB是第一象限两坐标轴夹角的平分线，即OB对应的函数解析式为$y=x$，因此设C点坐标为$(m,m)$。
将$(m,m)$代入抛物线解析式$y=(x-1)^2$得：$m=(m-1)^2$，整理得$m^2-3m+1=0$，解得$m_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$m_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。
因为点C在OB段，横坐标小于1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$不符合题意舍去，故C点坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=(x-1)^2}$
(2) $\boldsymbol{D(0,1)}$，$\boldsymbol{C(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})}$
【知识点】
二次函数顶点式，函数交点求解，平移的性质
【点评】
本题综合了图形平移、二次函数、一次函数的相关知识，重点考查利用顶点式求解二次函数解析式，以及通过联立函数方程求交点坐标的能力，解题时需结合图象位置对解进行取舍，是二次函数部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1)首先根据平移性质确定各点坐标：已知Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位，且OA=AB=1，可得顶点A(1,0)，平移后点B₁坐标为(2,1)。由于已知抛物线顶点，因此选择顶点式设抛物线解析式，再代入B₁坐标即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
(2)求点D坐标：抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式即可求出对应y值，得到D点坐标；求点C坐标：首先由△OAB是等腰直角三角形，可得OB为第一象限角平分线，解析式为y=x，因此设C(m,m)，代入抛物线解析式求解m，再结合C点的位置（横坐标小于1）舍去不符合题意的解，即可得到C点坐标。
【解析】
(1)由平移性质及已知条件可得：$A(1,0)$，$A_1(2,0)$，$B_1(2,1)$。
因为抛物线顶点为$A(1,0)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2$。
将$B_1(2,1)$代入解析式得：$1=a(2-1)^2$，解得$a=1$。
因此所求抛物线的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
(2)求点D坐标：抛物线与y轴交点处$x=0$，将$x=0$代入$y=(x-1)^2$，得$y=(0-1)^2=1$，所以D点坐标为$(0,1)$。
求点C坐标：由$∠ OAB=90°$，$OA=AB=1$，可知OB是第一象限两坐标轴夹角的平分线，即OB对应的函数解析式为$y=x$，因此设C点坐标为$(m,m)$。
将$(m,m)$代入抛物线解析式$y=(x-1)^2$得：$m=(m-1)^2$，整理得$m^2-3m+1=0$，解得$m_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$m_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。
因为点C在OB段，横坐标小于1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$不符合题意舍去，故C点坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=(x-1)^2}$
(2) $\boldsymbol{D(0,1)}$，$\boldsymbol{C(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})}$
【知识点】
二次函数顶点式，函数交点求解，平移的性质
【点评】
本题综合了图形平移、二次函数、一次函数的相关知识，重点考查利用顶点式求解二次函数解析式，以及通过联立函数方程求交点坐标的能力，解题时需结合图象位置对解进行取舍，是二次函数部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
2.如图26－2－11，直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$经过点$B(-\sqrt{3},2)$，且与x轴交于点A，将抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P.
(1)求$∠ BAO$的度数.
(2)抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段$EF// x$轴时，求平移后的抛物线C对应的函数解析式.
图26－2－11
(1)求$∠ BAO$的度数.
(2)抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段$EF// x$轴时，求平移后的抛物线C对应的函数解析式.
图26－2－11
答案
2.解:(1)由点$B$在直线$AB$上,求得$b=3$,
$\therefore$直线$AB$对应的函数解析式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+3$,
$\therefore A(-3\sqrt{3},0)$,即$OA=3\sqrt{3}.$
如答图26－2－6,作$BH⊥ x$轴,垂足为$H$,
则$BH=2,OH=\sqrt{3},AH=2\sqrt{3}$,
$\therefore AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=4.$
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$AB=2BH$,
$\therefore ∠ BAO=30°.$
(2)设抛物线$C$的顶点为$P(t,0)$,
则抛物线对应的函数解析式为$C:y=\frac{1}{3}(x-t)^2$,
$\therefore E(0,\frac{1}{3}t^2).$
$\because EF// x$轴,$\therefore$点$E,F$关于抛物线$C$的对称轴对称,
$\therefore F(2t,\frac{1}{3}t^2).$
$\because$点$F$在直线$AB$上,
$\therefore \frac{1}{3}t^2=\frac{\sqrt{3}}{3}· 2t+3$,
解得$t_1=-\sqrt{3},t_2=3\sqrt{3}.$
$\therefore$抛物线$C$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})^2$或$y=\frac{1}{3}(x-3\sqrt{3})^2.$
解析
【分析】
(1) 要求∠BAO的度数，首先需要确定直线AB的解析式：已知直线过点B，将B点坐标代入直线表达式即可求出参数b，得到直线解析式后求出其与x轴交点A的坐标；再过B作BH⊥x轴构造直角三角形ABH，通过计算直角边的长度关系，利用直角三角形的边角性质即可求出∠BAO的度数。
(2) 抛物线沿x轴左右平移，顶点始终在x轴上，因此可设平移后抛物线顶点P的坐标为(t,0)，写出平移后的抛物线解析式；先求出抛物线与y轴交点E的坐标，由EF//x轴可知E、F纵坐标相等，结合抛物线的对称性可得到F点的坐标；再根据F在直线AB上，将F坐标代入直线解析式解方程求出t的值，即可得到平移后抛物线C的解析式。
【解析】
(1) 将点$B(-\sqrt{3},2)$代入直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$，得：
$2=\frac{\sqrt{3}}{3}×(-\sqrt{3}) + b$，解得$b=3$，
∴直线AB的解析式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$。
令$y=0$，得$0=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$，解得$x=-3\sqrt{3}$，即点A坐标为$(-3\sqrt{3},0)$，$OA=3\sqrt{3}$。
过B作$BH⊥x$轴，垂足为H，则$BH=2$，$OH=\sqrt{3}$，$AH=OA-OH=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$，
∴$AB=2BH$，
∴$∠BAO=30°$。
(2) 设平移后抛物线C的顶点P为$(t,0)$，则平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-t)^2$。
令$x=0$，得$y=\frac{1}{3}t^2$，即E点坐标为$(0,\frac{1}{3}t^2)$。
∵$EF//x$轴，
∴点E、F的纵坐标相等，且E、F关于抛物线C的对称轴$x=t$对称，
∴F点的横坐标为$2t$，即F点坐标为$(2t,\frac{1}{3}t^2)$。
∵点F在直线AB上，将F坐标代入直线解析式得：
$\frac{1}{3}t^2=\frac{\sqrt{3}}{3}×2t + 3$，
整理得$t^2 - 2\sqrt{3}t -9=0$，解得$t_1=-\sqrt{3}$，$t_2=3\sqrt{3}$。
∴平移后抛物线C的解析式为$y=\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})^2$或$y=\frac{1}{3}(x-3\sqrt{3})^2$。
【答案】
(1) $∠BAO=30°$
(2) 抛物线C对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})^2$或$y=\frac{1}{3}(x-3\sqrt{3})^2$
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 二次函数平移规律
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题结合一次函数与二次函数的核心考点，考查了待定系数法求函数表达式、直角三角形的边角性质、二次函数平移及对称性的应用，解题的关键是利用平行于x轴的点纵坐标相等的性质，结合抛物线对称性得到F点坐标，是二次函数部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠BAO的度数，首先需要确定直线AB的解析式：已知直线过点B，将B点坐标代入直线表达式即可求出参数b，得到直线解析式后求出其与x轴交点A的坐标；再过B作BH⊥x轴构造直角三角形ABH，通过计算直角边的长度关系，利用直角三角形的边角性质即可求出∠BAO的度数。
(2) 抛物线沿x轴左右平移，顶点始终在x轴上，因此可设平移后抛物线顶点P的坐标为(t,0)，写出平移后的抛物线解析式；先求出抛物线与y轴交点E的坐标，由EF//x轴可知E、F纵坐标相等，结合抛物线的对称性可得到F点的坐标；再根据F在直线AB上，将F坐标代入直线解析式解方程求出t的值，即可得到平移后抛物线C的解析式。
【解析】
(1) 将点$B(-\sqrt{3},2)$代入直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$，得：
$2=\frac{\sqrt{3}}{3}×(-\sqrt{3}) + b$，解得$b=3$，
∴直线AB的解析式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$。
令$y=0$，得$0=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$，解得$x=-3\sqrt{3}$，即点A坐标为$(-3\sqrt{3},0)$，$OA=3\sqrt{3}$。
过B作$BH⊥x$轴，垂足为H，则$BH=2$，$OH=\sqrt{3}$，$AH=OA-OH=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$，
∴$AB=2BH$，
∴$∠BAO=30°$。
(2) 设平移后抛物线C的顶点P为$(t,0)$，则平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-t)^2$。
令$x=0$，得$y=\frac{1}{3}t^2$，即E点坐标为$(0,\frac{1}{3}t^2)$。
∵$EF//x$轴，
∴点E、F的纵坐标相等，且E、F关于抛物线C的对称轴$x=t$对称，
∴F点的横坐标为$2t$，即F点坐标为$(2t,\frac{1}{3}t^2)$。
∵点F在直线AB上，将F坐标代入直线解析式得：
$\frac{1}{3}t^2=\frac{\sqrt{3}}{3}×2t + 3$，
整理得$t^2 - 2\sqrt{3}t -9=0$，解得$t_1=-\sqrt{3}$，$t_2=3\sqrt{3}$。
∴平移后抛物线C的解析式为$y=\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})^2$或$y=\frac{1}{3}(x-3\sqrt{3})^2$。
【答案】
(1) $∠BAO=30°$
(2) 抛物线C对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})^2$或$y=\frac{1}{3}(x-3\sqrt{3})^2$
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 二次函数平移规律
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题结合一次函数与二次函数的核心考点，考查了待定系数法求函数表达式、直角三角形的边角性质、二次函数平移及对称性的应用，解题的关键是利用平行于x轴的点纵坐标相等的性质，结合抛物线对称性得到F点坐标，是二次函数部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
