1.二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+2$的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）

A.向上,直线$x=1,(1,2)$
B.向上,直线$x=-1,(-1,2)$
C.向上,直线$x=1,(1,-2)$
D.向下,直线$x=-1,(-1,2)$

1.A

【分析】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中各参数的含义：$a$的正负决定开口方向，$h$决定对称轴，$h$和$k$共同决定顶点坐标。解题步骤为：第一步先判断$a$的正负确定开口方向，第二步根据$h$的值确定对称轴，第三步结合$h$和$k$确定顶点坐标，最后匹配正确选项即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 开口方向判断：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。本题中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，排除D选项；
2. 对称轴判断：顶点式的对称轴为直线$x=h$，本题中$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，排除B选项；
3. 顶点坐标判断：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=1$，$k=2$，因此顶点坐标为$(1,2)$，排除C选项。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口方向判断；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的几何意义，属于基础常考题，熟练记忆性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.若抛物线$y=(x+1)^2 -2$与$x$轴的正半轴相交于点$A$,则点$A$的坐标为()

A.$(-1-\sqrt{2},0)$
B.$(\sqrt{2},0)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-1+\sqrt{2},0)$

2.D 点拨:令 $y=(x+1)^2-2=0$,解得$x_1=\sqrt{2}-1,x_2=-\sqrt{2}-1.$
∵点 A 在 x 轴的正半轴上,
∴$A(\sqrt{2}-1,0).$

【分析】
要求抛物线与x轴正半轴的交点A的坐标，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，所以第一步令函数中y=0，得到关于x的一元二次方程，解出方程的两个根；再结合“点A在x轴正半轴”的条件（正半轴上的点横坐标大于0），筛选出符合要求的x值，即可得到点A的坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴相交时，交点的纵坐标为0，
∴令$y=0$，可得方程：$(x+1)^2 - 2 = 0$，
移项得：$(x+1)^2 = 2$，
开平方得：$x+1 = ±\sqrt{2}$，
解得：$x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = -1 - \sqrt{2}$，
∵点A在x轴的正半轴上，
∴点A的横坐标大于0，
∵$-1 + \sqrt{2} ＞ 0$，$-1 - \sqrt{2} ＜ 0$，
∴点A的横坐标为$-1 + \sqrt{2}$，即A点坐标为$(-1+\sqrt{2}, 0)$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
1.二次函数与x轴交点求解
2.坐标轴上点的坐标特征
3.直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，解题核心是利用x轴上点纵坐标为0的性质，将求交点坐标的问题转化为解一元二次方程的问题，再根据横坐标的取值范围筛选结果即可，易错点是忽略“正半轴”的限制条件选错根。
【难度系数】
0.8

3.二次函数$y=-2(x-1)^2$的图象大致是（）

3.B 点拨:二次函数 $y=-2(x-1)^2$ 的图象开口向下,对称轴是 $x=1$,顶点坐标为(1,0),故选 B.

【分析】
要判断二次函数$y=-2(x-1)^2$的图象，我们可以分三步思考：第一步先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，排除不符合开口方向的选项；第二步根据顶点式的特征确定抛物线的对称轴和顶点坐标；第三步对比剩余选项的对称轴、顶点位置，选出符合的选项即可。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=-2(x-1)^2$中，二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，可直接排除开口向上的A、C选项。
2. 确定对称轴和顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。本题中$h=1$，因此抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
3. 对比剩余选项：D选项的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$，不符合上述特征，排除；B选项开口向下，对称轴为$x=1$，顶点在$(1,0)$，符合函数图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口方向判断；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是熟练掌握顶点式二次函数的各项性质，不需要复杂计算，结合性质逐一排除错误选项就能快速求解。
【难度系数】
0.8

4.将抛物线$y=x^2$先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是()

A.$y=(x-3)^2+4$
B.$y=(x+3)^2+4$
C.$y=(x-3)^2-4$
D.$y=(x+3)^2-4$

4.A

【分析】
解决这道题的核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律。首先明确抛物线平移时形状不变，二次项系数a始终为1；其次要注意平移规则的适用范围：左右平移是对自变量x进行调整，向右平移几个单位就给x减几个单位，向左平移则给x加几个单位；上下平移是对整个函数值调整，向上平移几个单位就在表达式末尾加几个单位，向下平移则减几个单位，按题目给出的平移顺序逐步计算即可。
【解析】
原抛物线对应的函数解析式为$y=x^2$：
1. 先向右平移3个单位长度，根据“右减”规则，将自变量$x$替换为$x-3$，得到解析式：$y=(x-3)^2$；
2. 再向上平移4个单位长度，根据“上加”规则，在上述解析式末尾加4，最终得到解析式：$y=(x-3)^2+4$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点考察对图象平移规则的记忆与应用，掌握平移规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5.在二次函数$y=5(x+3)^2 -2$中，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小；当x=______时，函数y有________值（填“最大”或“最小”），这个值是________。

5.$＞-3$ $＜-3$ $-3$ 最小 $-2$

【分析】
解题时首先明确该二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先确定参数$a$、$h$、$k$的取值，由$a$的正负判断抛物线开口方向；第二步找到抛物线的对称轴为直线$x=h$；第三步结合开口方向分析对称轴两侧的增减性，开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小，且顶点处为函数最小值点；开口向下时反之，按这个思路逐步推导即可得到答案。
【解析】
已知二次函数为$y=5(x+3)^2 -2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=5$，$h=-3$，$k=-2$：
1. 因为$a=5＞0$，所以抛物线开口向上；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=h=-3$；
3. 结合开口向上的性质：在对称轴右侧即$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴左侧即$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小；
4. 开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$x=-3$时，函数$y$有最小值，最小值即为顶点的纵坐标$k=-2$。
【答案】
$＞-3$；$＜-3$；$-3$；最小；$-2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，只要熟练掌握顶点式中各参数与开口方向、对称轴、最值的对应关系，就能快速求解，是对二次函数基本性质的常规考查。
【难度系数】
0.9

6.已知函数$y=-2(x-3)^2+6$。
(1)写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求出函数图象与$x$轴的交点坐标；
(3)当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而增大？
(4)当$x$为何值时，函数$y$有最大值或最小值？并求出函数的最值。

6.解:(1)开口向下,对称轴为 $x=3$,顶点坐标为$(3,6)$.
(2)令 $y=0$,即$-2(x-3)^2+6=0$,
解得 $x=\pm\sqrt{3}+3$.
∴函数图象与 $x$ 轴的交点坐标为$(\sqrt{3}+3,0)$和$(-\sqrt{3}+3,0)$.
(3)当 $x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(4)当 $x=3$ 时,函数有最大值,为 6.

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题思路如下：
1. 第(1)问直接利用顶点式的参数性质求解：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，代入对应数值即可；
2. 第(2)问求与x轴交点，只需令$y=0$，解关于x的一元二次方程，所得解就是交点横坐标，即可写出交点坐标；
3. 第(3)问结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧反之；
4. 第(4)问开口向下的抛物线顶点为最高点，对应函数最大值，最大值为顶点纵坐标，顶点横坐标即为取最值时$x$的取值。
【解析】
(1) 函数$y=-2(x-3)^2+6$为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-2＜0$，$h=3$，$k=6$，因此图象开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,6)$。
(2) 令$y=0$，得方程：
$-2(x-3)^2+6=0$
移项化简得$(x-3)^2=3$
开平方得$x-3=\pm\sqrt{3}$
解得$x=3+\sqrt{3}$或$x=3-\sqrt{3}$
因此函数图象与x轴的交点坐标为$(3+\sqrt{3},0)$和$(3-\sqrt{3},0)$。
(3) 由函数开口向下、对称轴为$x=3$，可得当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大。
(4) 因函数开口向下，抛物线有最高点，因此当$x=3$时，函数取最大值，最大值为顶点纵坐标$6$。
【答案】
(1)开口向下,对称轴为 $x=3$,顶点坐标为$(3,6)$。
(2)函数图象与 $x$ 轴的交点坐标为$(\sqrt{3}+3,0)$和$(-\sqrt{3}+3,0)$。
(3)当 $x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
(4)当 $x=3$ 时,函数有最大值,为 6。
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数与坐标轴交点的求法，二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，核心是理解顶点式各参数的几何意义，掌握求函数与坐标轴交点、判断增减性和最值的基本方法，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8