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1.在平面直角坐标系中,如果抛物线$y=2x^2$不动,而把$x$轴,$y$轴分别向上、向右平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线对应的函数解析式是(
A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
B
)A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
答案
1.B
解析
【分析】
遇到坐标轴平移的问题，我们可以利用相对运动的思路解题：坐标轴平移与函数图象的平移是相对的，轴的平移方向和图象相对于新坐标系的平移方向相反。首先明确两个平移：x轴向上平移2个单位等价于抛物线相对新坐标系向下平移2个单位，y轴向右平移2个单位等价于抛物线相对新坐标系向左平移2个单位，再结合二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律即可求出解析式。也可以通过坐标变换公式，将原坐标用新坐标表示后代入原解析式求解。
【解析】
方法1：相对运动法
原抛物线$y=2x^2$的顶点为$(0,0)$，二次项系数$a=2$。
根据相对运动规律：y轴向右平移2个单位→抛物线相对向左平移2个单位；x轴向上平移2个单位→抛物线相对向下平移2个单位。
平移后顶点坐标变为$(0-2, 0-2)$即$(-2,-2)$，平移不改变$a$的值，因此新坐标系下解析式为$y=2(x+2)^2-2$。
方法2：坐标变换法
设新坐标系中任意点坐标为$(x,y)$，对应原坐标系的坐标为$(x_0,y_0)$。
由y轴向右平移2个单位得：$x_0 = x + 2$；由x轴向上平移2个单位得：$y_0 = y + 2$。
将$x_0,y_0$代入原抛物线解析式$y_0=2x_0^2$，得：
$y + 2 = 2(x + 2)^2$
整理得$y=2(x+2)^2 - 2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.相对运动思想
【点评】
本题的易错点是混淆坐标轴平移和图象平移的方向，解题时只要牢记“坐标轴平移等价于图象向相反方向平移”，结合二次函数平移的规律即可快速求解，也可通过坐标变换代入的方法避免方向判断错误。
【难度系数】
0.6
遇到坐标轴平移的问题，我们可以利用相对运动的思路解题：坐标轴平移与函数图象的平移是相对的，轴的平移方向和图象相对于新坐标系的平移方向相反。首先明确两个平移：x轴向上平移2个单位等价于抛物线相对新坐标系向下平移2个单位，y轴向右平移2个单位等价于抛物线相对新坐标系向左平移2个单位，再结合二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律即可求出解析式。也可以通过坐标变换公式，将原坐标用新坐标表示后代入原解析式求解。
【解析】
方法1：相对运动法
原抛物线$y=2x^2$的顶点为$(0,0)$，二次项系数$a=2$。
根据相对运动规律：y轴向右平移2个单位→抛物线相对向左平移2个单位；x轴向上平移2个单位→抛物线相对向下平移2个单位。
平移后顶点坐标变为$(0-2, 0-2)$即$(-2,-2)$，平移不改变$a$的值，因此新坐标系下解析式为$y=2(x+2)^2-2$。
方法2：坐标变换法
设新坐标系中任意点坐标为$(x,y)$，对应原坐标系的坐标为$(x_0,y_0)$。
由y轴向右平移2个单位得：$x_0 = x + 2$；由x轴向上平移2个单位得：$y_0 = y + 2$。
将$x_0,y_0$代入原抛物线解析式$y_0=2x_0^2$，得：
$y + 2 = 2(x + 2)^2$
整理得$y=2(x+2)^2 - 2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.相对运动思想
【点评】
本题的易错点是混淆坐标轴平移和图象平移的方向，解题时只要牢记“坐标轴平移等价于图象向相反方向平移”，结合二次函数平移的规律即可快速求解，也可通过坐标变换代入的方法避免方向判断错误。
【难度系数】
0.6
2.已知二次函数$y=a(x+1)^2 - b(a≠0)$有最小值1，则a，b的大小关系为（
A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.不能确定
A
）A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.不能确定
答案
2.A 点拨:
∵二次函数 $y=a(x+1)^2 -b(a≠0)$有最小值,
∴抛物线开口向上,即$a＞0$;又最小值为 1,即$-b=1$,
∴$b=-1$,
∴$a＞b$.
∵二次函数 $y=a(x+1)^2 -b(a≠0)$有最小值,
∴抛物线开口向上,即$a＞0$;又最小值为 1,即$-b=1$,
∴$b=-1$,
∴$a＞b$.
解析
【分析】
解题时可结合二次函数顶点式的性质逐步推导：首先根据函数有最小值判断抛物线开口方向，确定a的正负；再根据顶点式的最值对应顶点纵坐标，求出b的值；最后比较a和b的大小即可得到结果。
【解析】
解：
∵二次函数$y=a(x+1)^2 - b(a≠0)$有最小值，
∴抛物线开口向上，即$a＞0$，
又
∵二次函数顶点式的最值等于顶点的纵坐标，已知最小值为1，
∴$-b=1$，解得$b=-1$，
∵$a＞0$，$b=-1＜0$，
∴$a＞b$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题，解题核心是掌握二次函数开口方向和a的符号的对应关系，以及顶点式中最值与顶点纵坐标的联系，注意计算b的值时不要搞错符号即可。
【难度系数】
0.8
解题时可结合二次函数顶点式的性质逐步推导：首先根据函数有最小值判断抛物线开口方向，确定a的正负；再根据顶点式的最值对应顶点纵坐标，求出b的值；最后比较a和b的大小即可得到结果。
【解析】
解：
∵二次函数$y=a(x+1)^2 - b(a≠0)$有最小值，
∴抛物线开口向上，即$a＞0$，
又
∵二次函数顶点式的最值等于顶点的纵坐标，已知最小值为1，
∴$-b=1$，解得$b=-1$，
∵$a＞0$，$b=-1＜0$，
∴$a＞b$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题，解题核心是掌握二次函数开口方向和a的符号的对应关系，以及顶点式中最值与顶点纵坐标的联系，注意计算b的值时不要搞错符号即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图26－2－12，把抛物线$y=x^2$沿直线$y=x$平移$\sqrt{2}$个单位长度后，其顶点在直线$y=x$上的A处，则平移后的抛物线对应的函数解析式是(
A.$y=(x+1)^2 -1$
B.$y=(x+1)^2 +1$
C.$y=(x-1)^2 +1$
D.$y=(x-1)^2 -1$
图26－2－12
图26－2－13
图26－2－14
C
)A.$y=(x+1)^2 -1$
B.$y=(x+1)^2 +1$
C.$y=(x-1)^2 +1$
D.$y=(x-1)^2 -1$
图26－2－12
图26－2－13
图26－2－14
答案
3.C 点拨:
∵点 A 在直线 $y=x$ 上,
∴设$A(m,m).∵OA=\sqrt{2},∴m^2+m^2=(\sqrt{2})^2$,解得 $m=\pm1(m=-1 舍去),∴m=1$,
∴$A(1,1)$,
∴抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2+1$.
∵点 A 在直线 $y=x$ 上,
∴设$A(m,m).∵OA=\sqrt{2},∴m^2+m^2=(\sqrt{2})^2$,解得 $m=\pm1(m=-1 舍去),∴m=1$,
∴$A(1,1)$,
∴抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2+1$.
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住抛物线平移时顶点同步平移的规律。首先，原抛物线$y=x^2$的顶点为原点$(0,0)$，平移后顶点$A$在直线$y=x$上，因此$A$点的横、纵坐标相等，我们可以先设出$A$点坐标，再结合平移的距离为$\sqrt{2}$，利用勾股定理求出$A$点坐标，最后根据二次函数顶点式写出平移后的解析式即可。
【解析】
1. 原抛物线$y=x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后顶点$A$在直线$y=x$上，因此设$A$点坐标为$(m,m)$。
2. 已知平移距离$OA=\sqrt{2}$，根据勾股定理可得：$m^2+m^2=(\sqrt{2})^2$，化简得$2m^2=2$，解得$m=\pm1$，结合平移方向舍去负解，得$m=1$，即$A(1,1)$。
3. 抛物线平移不改变二次项系数，平移后的抛物线顶点为$(1,1)$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a=1$，$h=1$，$k=1$），得解析式为$y=(x-1)^2+1$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 一次函数的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是二次函数平移的基础综合题，解题关键是明确抛物线平移时顶点的变化规律，结合一次函数的坐标特征和简单几何计算求出新顶点坐标，再代入顶点式即可得到结果，需要熟练掌握二次函数顶点式的应用。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住抛物线平移时顶点同步平移的规律。首先，原抛物线$y=x^2$的顶点为原点$(0,0)$，平移后顶点$A$在直线$y=x$上，因此$A$点的横、纵坐标相等，我们可以先设出$A$点坐标，再结合平移的距离为$\sqrt{2}$，利用勾股定理求出$A$点坐标，最后根据二次函数顶点式写出平移后的解析式即可。
【解析】
1. 原抛物线$y=x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后顶点$A$在直线$y=x$上，因此设$A$点坐标为$(m,m)$。
2. 已知平移距离$OA=\sqrt{2}$，根据勾股定理可得：$m^2+m^2=(\sqrt{2})^2$，化简得$2m^2=2$，解得$m=\pm1$，结合平移方向舍去负解，得$m=1$，即$A(1,1)$。
3. 抛物线平移不改变二次项系数，平移后的抛物线顶点为$(1,1)$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a=1$，$h=1$，$k=1$），得解析式为$y=(x-1)^2+1$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 一次函数的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是二次函数平移的基础综合题，解题关键是明确抛物线平移时顶点的变化规律，结合一次函数的坐标特征和简单几何计算求出新顶点坐标，再代入顶点式即可得到结果，需要熟练掌握二次函数顶点式的应用。
【难度系数】
0.7
4.如图26－2－13，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，对应的函数解析式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是（
A.$h＜0,k＞0$
B.$m＜0,n＞0$
C.$h=m$
D.$k=n$
D
）A.$h＜0,k＞0$
B.$m＜0,n＞0$
C.$h=m$
D.$k=n$
答案
4.D 点拨:根据二次函数解析式确定两抛物线的顶点坐标分别为$(h,k),(m,n)$,对称轴都是直线 $x=m$(或 $x=h$),即 $m=h$,由题图知 $h＜0,k＞0,m＜0,n＞0$,因为点$(h,k)$在点$(m,n)$的下方,所以 $k=n$ 不正确.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：该形式下抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。第一步结合“两条抛物线对称轴相同”的条件，可直接得到$h$和$m$的等量关系，判断C选项正误；第二步根据两个顶点都在第二象限的位置特征，结合象限内点的坐标符号规律，判断A、B选项的正误；最后对比两个顶点的上下位置，判断纵坐标$k$和$n$是否相等，即可得出不正确的选项。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此两条抛物线的顶点分别为$(h,k)$、$(m,n)$，对称轴分别为直线$x=h$、直线$x=m$。
1. 因为两条抛物线对称轴相同，所以$h=m$，故C选项正确，不符合题意；
2. 观察图像可知两个顶点均位于第二象限，第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0，因此可得$h＜0,k＞0$，$m＜0,n＞0$，故A、B选项均正确，不符合题意；
3. 两个顶点在竖直方向位置不同，$(h,k)$位于$(m,n)$的下方，因此纵坐标不相等，即$k≠ n$，故D选项错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称轴；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式中参数的几何意义，解题的核心是明确顶点式中$h$对应顶点横坐标、$k$对应顶点纵坐标，结合图像中点的位置即可快速判断参数关系，属于对基础性质的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：该形式下抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。第一步结合“两条抛物线对称轴相同”的条件，可直接得到$h$和$m$的等量关系，判断C选项正误；第二步根据两个顶点都在第二象限的位置特征，结合象限内点的坐标符号规律，判断A、B选项的正误；最后对比两个顶点的上下位置，判断纵坐标$k$和$n$是否相等，即可得出不正确的选项。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此两条抛物线的顶点分别为$(h,k)$、$(m,n)$，对称轴分别为直线$x=h$、直线$x=m$。
1. 因为两条抛物线对称轴相同，所以$h=m$，故C选项正确，不符合题意；
2. 观察图像可知两个顶点均位于第二象限，第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0，因此可得$h＜0,k＞0$，$m＜0,n＞0$，故A、B选项均正确，不符合题意；
3. 两个顶点在竖直方向位置不同，$(h,k)$位于$(m,n)$的下方，因此纵坐标不相等，即$k≠ n$，故D选项错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称轴；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式中参数的几何意义，解题的核心是明确顶点式中$h$对应顶点横坐标、$k$对应顶点纵坐标，结合图像中点的位置即可快速判断参数关系，属于对基础性质的考查。
【难度系数】
0.8
5.若$AB// x$轴，且与抛物线$y=3(x+2)^2 +k$交于$A(-3,n)$，B两点，则点B的横坐标为
-1
。答案
5.$-1$ 点拨:
∵$AB// x$轴,
∴点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称,设点 B 的横坐标为 $m$,
∵二次函数 $y=3(x+2)^2+k$ 的图象的对称轴为直线 $x=-2$,
∴$m-(-2)=-2-(-3)$,
∴$m=-1$.
∵$AB// x$轴,
∴点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称,设点 B 的横坐标为 $m$,
∵二次函数 $y=3(x+2)^2+k$ 的图象的对称轴为直线 $x=-2$,
∴$m-(-2)=-2-(-3)$,
∴$m=-1$.
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心依据：一是平行于x轴的直线上的所有点纵坐标相等，因此抛物线上A、B两点纵坐标相同，两点关于抛物线的对称轴对称；二是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$。首先求出抛物线的对称轴，再根据对称点到对称轴的距离相等，列式计算即可得到点B的横坐标。
【解析】
解：
∵$AB// x$轴，且A、B均在抛物线$y=3(x+2)^2 +k$上，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，设点B的横坐标为$m$。
∵二次函数$y=3(x+2)^2 +k$为顶点式，其图象的对称轴为直线$x=-2$，
∴点A、点B到对称轴的距离相等，可得：
$m-(-2)=-2-(-3)$
解得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式的性质；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题关键是理解抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线对称轴对称，结合对称轴即可快速求解，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心依据：一是平行于x轴的直线上的所有点纵坐标相等，因此抛物线上A、B两点纵坐标相同，两点关于抛物线的对称轴对称；二是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$。首先求出抛物线的对称轴，再根据对称点到对称轴的距离相等，列式计算即可得到点B的横坐标。
【解析】
解：
∵$AB// x$轴，且A、B均在抛物线$y=3(x+2)^2 +k$上，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，设点B的横坐标为$m$。
∵二次函数$y=3(x+2)^2 +k$为顶点式，其图象的对称轴为直线$x=-2$，
∴点A、点B到对称轴的距离相等，可得：
$m-(-2)=-2-(-3)$
解得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式的性质；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题关键是理解抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线对称轴对称，结合对称轴即可快速求解，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
6.如图26－2－14，抛物线$y_1=-x^2+2$向右平移1个单位长度得到抛物线$y_2$，回答下列问题：
(1)抛物线$y_2$的顶点坐标为
(2)阴影部分的面积$S=$
(3)若再将抛物线$y_2$绕原点$O$旋转$180°$得到抛物线$y_3$，则抛物线$y_3$的开口方向
(1)抛物线$y_2$的顶点坐标为
(1,2)
；(2)阴影部分的面积$S=$
2
；(3)若再将抛物线$y_2$绕原点$O$旋转$180°$得到抛物线$y_3$，则抛物线$y_3$的开口方向
向上
，顶点坐标为(-1,-2)
。答案
6.(1)(1,2) (2)2 (3)向上 $(-1,-2)$
点拨:(1)
∵$y_1=-x^2+2$ 的顶点坐标是$(0,2)$,
∴抛物线 $y_1$ 向右平移 1 个单位长度后顶点坐标变为$(1,2)$.(2)由割补法可知,阴影部分的面积正好是一个长为 2,宽为 1 的矩形面积.(3)
∵将抛物线 $y_2$ 绕原点 $O$ 旋转 $180°$ 得到抛物线 $y_3$,
∴抛物线 $y_3$ 与抛物线 $y_2$ 关于原点对称.
∴抛物线 $y_3$ 的开口向上,顶点坐标为$(-1,-2)$.
点拨:(1)
∵$y_1=-x^2+2$ 的顶点坐标是$(0,2)$,
∴抛物线 $y_1$ 向右平移 1 个单位长度后顶点坐标变为$(1,2)$.(2)由割补法可知,阴影部分的面积正好是一个长为 2,宽为 1 的矩形面积.(3)
∵将抛物线 $y_2$ 绕原点 $O$ 旋转 $180°$ 得到抛物线 $y_3$,
∴抛物线 $y_3$ 与抛物线 $y_2$ 关于原点对称.
∴抛物线 $y_3$ 的开口向上,顶点坐标为$(-1,-2)$.
解析
【分析】
(1)解决第一问需先确定原抛物线的顶点坐标，再根据“向右平移横坐标加，纵坐标不变”的平移规律即可得到平移后抛物线的顶点坐标；(2)第二问求阴影面积可利用割补法，平移后阴影部分可拼接为规则矩形，计算矩形面积即可；(3)第三问抛物线绕原点旋转180°，所得抛物线与原抛物线关于原点对称，开口方向与原抛物线相反，顶点坐标为原顶点关于原点对称的点，据此求解即可。
【解析】
(1)抛物线$y_1=-x^2+2$的顶点坐标为$(0,2)$，根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，向右平移1个单位长度后，顶点横坐标加1，纵坐标不变，故$y_2$的顶点坐标为$(1,2)$。
(2)利用割补法，将阴影部分拼接可得一个长为2、宽为1的矩形，根据矩形面积公式得$S=1×2=2$。
(3)将抛物线$y_2$绕原点$O$旋转$180°$，所得抛物线$y_3$与$y_2$关于原点对称：原抛物线$y_2$开口向下，故旋转后$y_3$开口向上；$y_2$的顶点坐标为$(1,2)$，关于原点对称的点横、纵坐标均取相反数，故$y_3$的顶点坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$(1,2)$；(2)$2$；(3)向上，$(-1,-2)$
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；中心对称的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的图象变换和不规则图形面积的计算，核心是掌握平移、旋转过程中抛物线顶点和开口方向的变化规律，灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积。
【难度系数】
0.8
(1)解决第一问需先确定原抛物线的顶点坐标，再根据“向右平移横坐标加，纵坐标不变”的平移规律即可得到平移后抛物线的顶点坐标；(2)第二问求阴影面积可利用割补法，平移后阴影部分可拼接为规则矩形，计算矩形面积即可；(3)第三问抛物线绕原点旋转180°，所得抛物线与原抛物线关于原点对称，开口方向与原抛物线相反，顶点坐标为原顶点关于原点对称的点，据此求解即可。
【解析】
(1)抛物线$y_1=-x^2+2$的顶点坐标为$(0,2)$，根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，向右平移1个单位长度后，顶点横坐标加1，纵坐标不变，故$y_2$的顶点坐标为$(1,2)$。
(2)利用割补法，将阴影部分拼接可得一个长为2、宽为1的矩形，根据矩形面积公式得$S=1×2=2$。
(3)将抛物线$y_2$绕原点$O$旋转$180°$，所得抛物线$y_3$与$y_2$关于原点对称：原抛物线$y_2$开口向下，故旋转后$y_3$开口向上；$y_2$的顶点坐标为$(1,2)$，关于原点对称的点横、纵坐标均取相反数，故$y_3$的顶点坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$(1,2)$；(2)$2$；(3)向上，$(-1,-2)$
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；中心对称的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的图象变换和不规则图形面积的计算，核心是掌握平移、旋转过程中抛物线顶点和开口方向的变化规律，灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积。
【难度系数】
0.8
7.【教材 P40 探究变式】已知抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 是由抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线。
(1)求 $a,h,k$ 的值；
(2)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 和 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的图象；
(3)对于抛物线 $y=a(x-h)^2+k$，当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？
(4)观察二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象，你能说出对于一切 $x$ 的值，函数值 $y$ 的取值范围吗？
(1)求 $a,h,k$ 的值；
(2)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 和 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的图象；
(3)对于抛物线 $y=a(x-h)^2+k$，当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？
(4)观察二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象，你能说出对于一切 $x$ 的值，函数值 $y$ 的取值范围吗？
答案
7.解:(1)将抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,得抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,
所以 $a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$.
(2)两个函数的图象如答图 26－2－7.
(3)观察抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$ 可知,当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(4)由图象知,函数 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$ 的最大值是 2,
所以对于一切 $x$ 的值,总有函数值 $y≤2$.
解析
【分析】
(1) 利用二次函数图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项，平移不改变二次项系数”的规律，对原抛物线解析式进行平移变换，再和顶点式对比即可求出$a,h,k$的值。
(2) 可通过描点法，分别确定两个函数的顶点、与坐标轴交点等关键点后连线画图，题目已给出对应图象。
(3) 先判断平移后抛物线的开口方向和对称轴：开口向下的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴即可得出$x$的取值范围。
(4) 开口向下的抛物线顶点为最高点，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标，由此可确定所有$x$对应的$y$的取值范围。
【解析】
(1) 抛物线平移不改变二次项系数，将$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向上平移2个单位长度得$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$，再向右平移1个单位长度，将$x$替换为$x-1$，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$，对比$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=-\dfrac{1}{2},h=1,k=2$。
(2) 分别取两个函数的关键点描点连线，即可得到对应图象，如图所示。
(3) $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(4) 该抛物线开口向下，顶点坐标为$(1,2)$，函数最大值为2，因此对任意$x$，都有$y≤2$。
【答案】
7.解:(1)将抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,得抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,
所以 $a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$.
(2)两个函数的图象如答图 26－2－7.
(3)观察抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$ 可知,当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(4)由图象知,函数 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$ 的最大值是 2,
所以对于一切 $x$ 的值,总有函数值 $y≤2$.
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，属于基础题型，熟练掌握平移口诀、二次函数开口方向、对称轴与函数性质的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 利用二次函数图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项，平移不改变二次项系数”的规律，对原抛物线解析式进行平移变换，再和顶点式对比即可求出$a,h,k$的值。
(2) 可通过描点法，分别确定两个函数的顶点、与坐标轴交点等关键点后连线画图，题目已给出对应图象。
(3) 先判断平移后抛物线的开口方向和对称轴：开口向下的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴即可得出$x$的取值范围。
(4) 开口向下的抛物线顶点为最高点，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标，由此可确定所有$x$对应的$y$的取值范围。
【解析】
(1) 抛物线平移不改变二次项系数，将$y=-\dfrac{1}{2}x^2$向上平移2个单位长度得$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2$，再向右平移1个单位长度，将$x$替换为$x-1$，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$，对比$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=-\dfrac{1}{2},h=1,k=2$。
(2) 分别取两个函数的关键点描点连线，即可得到对应图象，如图所示。
(3) $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(4) 该抛物线开口向下，顶点坐标为$(1,2)$，函数最大值为2，因此对任意$x$，都有$y≤2$。
【答案】
7.解:(1)将抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,得抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,
所以 $a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$.
(2)两个函数的图象如答图 26－2－7.
(3)观察抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$ 可知,当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(4)由图象知,函数 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$ 的最大值是 2,
所以对于一切 $x$ 的值,总有函数值 $y≤2$.
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，属于基础题型，熟练掌握平移口诀、二次函数开口方向、对称轴与函数性质的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
