1.已知点$P(2,-3)$在抛物线$y=a(x-1)^2 +k$($a,k$均为常数且$a≠0$)上，抛物线交$y$轴于点$C$，连接$CP$.
(1)写出该抛物线的对称轴，并用含$a$的式子表示$k$；
(2)当该抛物线经过点$(4,-7)$时，求此时该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.如图26－2－15，当$a＜0$时，若该抛物线在点$C,P$之间的部分与线段$CP$所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求$a$的取值范围.

图26－2－15

1.解:(1)
∵$y=a(x-1)^2+k$,
∴抛物线的对称轴为直线 $x=1$.
将 $P(2,-3)$ 的坐标代入 $y=a(x-1)^2+k$,得$-3=a+k$,
∴$k=-a-3$.
(2)将点 $(4,-7)$ 的坐标代入 $y=a(x-1)^2-a-3$,
得$-7=9a-a-3$,解得 $a=-\frac{1}{2}$,
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2-\frac{5}{2}$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-\frac{5}{2})$.
(3)
∵$y=a(x-1)^2-a-3$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-a-3)$,
将 $x=0$ 代入 $y=a(x-1)^2-a-3$,
得 $y=a-a-3=-3$,
∴点 $C$ 的坐标为$(0,-3)$.
∵抛物线的对称轴为直线 $x=1$,
且点 $C,P$ 关于直线 $x=1$ 对称,
∴点$(0,-3),(1,-3),(2,-3)$在区域内,
当整点有 5 个时,点$(1,-2),(1,-1)$在区域内,点$(1,0)$不在区域内,
∴$-1≤-a-3＜0$,解得$-3＜a≤-2$.

【分析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，本题中$h=1$，可直接得到对称轴；将点$P(2,-3)$代入抛物线解析式，整理即可用含$a$的式子表示$k$。
(2) 先把(1)中得到的$k=-a-3$代入抛物线解析式，再将点$(4,-7)$代入更新后的解析式，解一元一次方程求出$a$的值，回代即可得到函数解析式，顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，代入$a$的值计算即可得到顶点坐标。
(3) 先将$x=0$代入抛物线解析式求出点$C$坐标，可知线段$CP$上共有3个整点；要区域内恰有5个整点，剩余2个整点需在对称轴$x=1$上，由此得到顶点纵坐标的取值范围，列不等式求解即可得到$a$的范围，注意判断边界值是否可取。
【解析】
(1)
∵抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2 +k$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
将$P(2,-3)$的坐标代入$y=a(x-1)^2 +k$，得$-3=a(2-1)^2 +k$，
整理得$k=-a-3$。
(2) 将$k=-a-3$代入抛物线解析式，得$y=a(x-1)^2 -a-3$，
将点$(4,-7)$的坐标代入上式，得$-7=a(4-1)^2 -a-3$，
即$-7=9a-a-3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$y=a(x-1)^2 -a-3$，得$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2-\frac{5}{2}$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-\frac{5}{2})$。
(3) 抛物线解析式为$y=a(x-1)^2 -a-3$，顶点坐标为$(1,-a-3)$，
将$x=0$代入解析式，得$y=a(0-1)^2 -a-3=-3$，
∴点$C$的坐标为$(0,-3)$。
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，点$C(0,-3)$和点$P(2,-3)$关于直线$x=1$对称，
∴线段$CP$上的整点为$(0,-3),(1,-3),(2,-3)$，共3个。
要区域内恰有5个整点，则剩余2个整点为$(1,-2),(1,-1)$，且点$(1,0)$不在区域内，
∴顶点纵坐标满足$-1≤-a-3＜0$，
解不等式得$-3＜a≤-2$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，$k=-a-3$；
(2) 函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2-\frac{5}{2}$，顶点坐标为$(1,-\frac{5}{2})$；
(3) $a$的取值范围是$-3＜a≤-2$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数整点分析
【点评】
本题前两问属于二次函数基础考点，难度较低；第三问结合二次函数对称性考查整点分布问题，需要学生具备数形结合的分析能力，易错点为边界值的取舍，整体考查内容较为综合。
【难度系数】
0.6

2. 如图26－2－16，已知抛物线$y=-(x-m)^2+1$与x轴的交点为A，B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.
(1)写出$m=1$时，与抛物线有关的三个正确结论.
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在$△ BOC$为等腰三角形的情形？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.

图26－2－16

2.解:(1)当 $m=1$ 时,抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-1)^2+1=-x^2+2x$,
正确的结论有很多,如:
①抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x$;
②抛物线的开口向下;
③顶点坐标为$(1,1)$;
④抛物线经过原点;
⑤与 $x$ 轴的另一个交点的坐标是$(2,0)$;
⑥对称轴为直线 $x=1$;
⑦当 $x=1$ 时,函数取得最大值 $y=1$;等等.
(2)存在.
当 $y=0$ 时,$-(x-m)^2+1=0$,
即$(x-m)^2=1$,
∴$x_1=m-1,x_2=m+1$.
∵点 $B$ 在点 $A$ 的右边,
∴点 $A$ 的坐标为$(m-1,0)$,点 $B$ 的坐标为$(m+1,0)$.
∴$OB=m+1$.
∵当 $x=0$ 时,$y=-m^2+1$,点 $C$ 在原点下方,
∴$OC=m^2-1$.
当 $m^2-1=m+1$ 时,$m^2-m-2=0$,
∴$m_1=2,m_2=-1$(不合题意,舍去),
∴存在$△ BOC$为等腰三角形的情形,此时 $m=2$.

【分析】
(1)当$m=1$时，先将$m$代入抛物线解析式得到具体的函数表达式，再结合二次函数的基本性质，从开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点、函数最值等角度推导结论即可，结论不唯一。
(2)要判断△BOC为等腰三角形的情形是否存在，首先求解抛物线与坐标轴的交点坐标：令$y=0$解得$x$的值，结合B在A右侧、B在原点右侧的条件得到OB的长度；令$x=0$得到C点纵坐标，结合C在原点下方得到OC的长度。由于△BOC是直角三角形（$∠ BOC=90°$），因此等腰的判定条件为$OB=OC$，据此列方程求解后，舍去不符合题意的根即可。
【解析】
(1)当$m=1$时，抛物线对应的函数解析式为$y=-(x-1)^2+1=-x^2+2x$，可得到的结论如下（任选三个即可）：
①抛物线开口向下；②顶点坐标为$(1,1)$；③对称轴为直线$x=1$；④抛物线经过原点；⑤与x轴的另一个交点坐标为$(2,0)$；⑥当$x=1$时，函数取得最大值$1$。
(2)存在，求解过程如下：
令$y=0$，则$-(x-m)^2+1=0$，整理得$(x-m)^2=1$，解得$x_1=m-1$，$x_2=m+1$。
∵点B在A的右边，且在原点右侧，
∴点B的坐标为$(m+1,0)$，即$OB=m+1$。
令$x=0$，得$y=-(0-m)^2+1=-m^2+1$，
∵点C在原点下方，
∴$OC=\left|-m^2+1\right|=m^2-1$。
∵$∠ BOC=90°$，若△BOC为等腰三角形，则$OB=OC$，列方程得：
$m+1=m^2-1$
整理得$m^2-m-2=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
当$m=-1$时，点B坐标为$(0,0)$，不符合B在原点右边的条件，故舍去。
【答案】
(1)示例：①抛物线开口向下；②顶点坐标为$(1,1)$；③对称轴为直线$x=1$（合理即可）
(2)存在，$m$的值为$2$。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点的求解，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问开放度较高，考查对二次函数基本性质的掌握程度；第二问需要结合坐标与线段长度的转换，利用等腰三角形的性质列方程求解，解题时需注意结合题目的限制条件对根进行取舍。
【难度系数】
0.7