1.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过$A(1,0),B(0,-3)$两点，且对称轴为直线$x=2$，则抛物线的顶点坐标为()

A.$(2,3)$
B.$(2,1)$
C.$(-2,1)$
D.$(2,-1)$

1.B

【分析】
解题时先利用二次函数顶点与对称轴的关系缩小选项范围：抛物线的顶点一定在对称轴上，已知对称轴为直线x=2，因此顶点横坐标为2，可直接排除横坐标为-2的选项C。接下来只需计算顶点的纵坐标即可：我们可以通过待定系数法，结合已知的两个点坐标、对称轴公式，先求出二次函数解析式的系数a、b、c，再将x=2代入解析式算出对应的y值，就是顶点的纵坐标。
【解析】
1. 确定顶点横坐标：
∵抛物线对称轴为直线x=2，顶点在对称轴上，
∴顶点横坐标为2，排除选项C。
2. 用待定系数法求函数系数：
① 将点B(0,-3)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$；
② 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，推导得$b=-4a$；
③ 将点A(1,0)、$c=-3$、$b=-4a$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a + (-4a) -3 = 0$，解得$a=-1$，进而得$b=-4×(-1)=4$。
3. 求顶点纵坐标：
二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$，将$x=2$代入得：
$y=-2^2+4×2-3=1$，即顶点坐标为$(2,1)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题解题时可以先利用对称轴的性质排除错误选项，简化计算过程，核心是掌握二次函数对称轴与顶点的关系、待定系数法求解析式的基本步骤。
【难度系数】
0.7

2. 抛物线 $ y=2x^2 +4x +m^2 -m $ 经过坐标原点，则 $ m $ 的值为()

A.0
B.1
C.0或1
D.任何实数

2.C 点拨:抛物线 $ y=2x^2 +4x +m^2 -m $ 经过坐标原点,则 $ m^2 -m=0$,即 $ m=0 $ 或 1.

【分析】
解题思路如下：首先明确函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，坐标原点的坐标为$(0,0)$，已知抛物线经过原点，我们只需要将$x=0$、$y=0$代入抛物线的解析式，即可得到关于$m$的方程，求解该方程就能得到$m$的取值。
【解析】
解：$\because$抛物线$y=2x^2 +4x +m^2 -m$经过坐标原点$(0,0)$
$\therefore$将$x=0$，$y=0$代入抛物线解析式，可得：
$0=2×0^2 +4×0 +m^2 -m$
整理得：$m^2 -m=0$
因式分解得：$m(m-1)=0$
解得：$m=0$或$m=1$
因此$m$的值为0或1，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握“函数图象经过某点时，该点坐标满足函数解析式”的性质，通过代入坐标将问题转化为解方程即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.85

3.把二次函数$y=-\frac{1}{4}x^2 -x +3$用配方法化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式是()

A.$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2 +2$
B.$y=\frac{1}{4}(x-2)^2 +4$
C.$y=-\frac{1}{4}(x+2)^2 +4$
D.$y=(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2})^2 +3$

3.C

【分析】
本题考查用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，解题思路如下：第一步先把含x的二次项、一次项归为一组，提取二次项系数将二次项系数化为1；第二步对括号内的整式配方，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证式子恒等；第三步整理为顶点式形式，再对应选项判断即可。配方时要注意提取二次项系数后，括号内加减的常数项要和二次项系数相乘，不能漏乘。
【解析】
对二次函数$y=-\frac{1}{4}x^2 -x +3$进行配方：
1. 提取二次项系数，合并含x的项：
$y=-\frac{1}{4}(x^2 +4x) +3$
2. 对括号内的式子配方，一次项系数为4，一半的平方为$2^2=4$：
$y=-\frac{1}{4}[(x^2 +4x +4) -4] +3$
3. 将完全平方式整理后展开括号计算常数项：
$y=-\frac{1}{4}(x+2)^2 + (-\frac{1}{4})×(-4) +3$
$y=-\frac{1}{4}(x+2)^2 +1 +3$
$y=-\frac{1}{4}(x+2)^2 +4$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数配方法；一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查配方法的恒等变形操作，易错点是提取二次项系数后，配方时增减的常数项忘记乘提取的二次项系数，掌握配方法的步骤就能轻松解题。
【难度系数】
0.8

4.抛物线$y=x^2+bx+c$向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线$y=x^2-2x-3$，则$b,c$的值为（）

A.$b=2,c=2$
B.$b=2,c=0$
C.$b=-2,c=-1$
D.$b=-3,c=2$

4.B

【分析】
本题可通过逆推法求解：已知原抛物线经“向右平移2个单位、向下平移3个单位”得到新抛物线，因此将新抛物线反向平移（先向上平移3个单位，再向左平移2个单位）即可得到原抛物线。平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则，得到原抛物线解析式后对比系数即可求出b、c的值。
【解析】
已知平移后抛物线为$y=x^2-2x-3$，按逆平移规则还原原抛物线：
1. 先向上平移3个单位，根据“上加下减”规则，得：
$y = x^2 - 2x - 3 + 3 = x^2 - 2x$
2. 再向左平移2个单位，根据“左加右减”规则，将自变量x替换为$x+2$，得：
$y = (x+2)^2 - 2(x+2)$
展开化简上式：
$\begin{aligned}y&=x^2+4x+4-2x-4\\&=x^2+2x\end{aligned}$
对比原抛物线$y=x^2+bx+c$，可得$b=2$，$c=0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，待定系数法，整式化简
【点评】
本题主要考查二次函数的平移规律，解题时既可以用逆推法还原原函数解析式，也可以通过正向推导平移后的解析式再对比系数求解，核心是准确掌握平移时自变量和常数项的变换规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

5.抛物线$y=4x^2 -4x +5$，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y最。

5.$＞\frac{1}{2}$ $＜\frac{1}{2}$ $=\frac{1}{2}$ 小

【分析】
要解决二次函数的增减性和最值问题，可按以下思路思考：①先判断二次项系数a的符号，确定抛物线的开口方向；②利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出抛物线的对称轴；③结合开口方向推导增减性和最值：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小，顶点处y取最小值；开口向下时规律相反。本题a=4＞0，开口向上，先求对称轴再按规律求解即可。
【解析】
对于抛物线$y=4x^2 -4x +5$，二次项系数$a=4＞0$，因此抛物线开口向上。
根据对称轴公式计算对称轴：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×4}=\frac{1}{2}$
结合开口向上的性质可得：
1. 当$x＞\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大；
2. 当$x＜\frac{1}{2}$时，y随x的增大而减小；
3. 当$x=\frac{1}{2}$时，y取得最小值。
【答案】
$＞\frac{1}{2}$；$＜\frac{1}{2}$；$=\frac{1}{2}$；小
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是准确判断开口方向、计算对称轴，再结合开口方向判断增减性和最值，熟练掌握相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.如图26－2－17所示的是桥梁的两条钢缆，它们具有相同的抛物线形状.按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用$y=0.0225x^2+0.9x+10$表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.
(1)另一条钢缆的顶点坐标是多少？
(2)最低点到桥面的距离是多少？
(3)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

6.解:(1)抛物线 $y=0.0225x^2+0.9x+10$ 可化为 $y=0.0225(x+20)^2+1$,
∴对称轴为 $x=-20$,顶点坐标为$(-20,1)$.
∵两条钢缆所在的抛物线关于y轴对称，
∴另一条钢缆所在的抛物线的顶点坐标为(20,1),对称轴为 $x=20$.
(2)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(3)两条钢缆最低点之间的距离是 $20×2=40(\mathrm{m})$.
点拨:抛物线 $y=0.0225x^2+0.9x+10$ 是用二次函数的一般形式来表示的,所以要求钢缆的顶点坐标和最低点到桥面的距离应把二次函数的解析式化为顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 或直接代入顶点坐标公式求解.

【分析】
解决本题可按以下思路逐步推导：1. 求右侧抛物线顶点：先通过配方法将左侧抛物线的一般式转化为顶点式，得到左侧抛物线的顶点坐标，再利用关于y轴对称的点“横坐标互为相反数、纵坐标不变”的性质，即可推出右侧抛物线的顶点坐标。2. 求最低点到桥面的距离：抛物线开口向上，顶点是钢缆的最低点，桥面对应坐标系中的x轴（y=0），因此最低点的纵坐标数值就是到桥面的距离。3. 求两条钢缆最低点的距离：两个最低点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，代入计算即可。
【解析】
(1) 先将左侧抛物线解析式$y=0.0225x^2+0.9x+10$配方转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=0.0225(x^2+40x)+10\\&=0.0225(x^2+40x+400-400)+10\\&=0.0225(x+20)^2 - 9 + 10\\&=0.0225(x+20)^2+1\end{aligned}$
因此左侧抛物线的顶点坐标为$(-20,1)$。
因为左、右两条抛物线关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以另一条钢缆的顶点坐标为$(20,1)$。
(2) 抛物线开口向上，顶点为钢缆的最低点，桥面对应x轴（$y=0$），因此最低点到桥面的距离就是顶点的纵坐标值，即$1\ \mathrm{m}$。
(3) 两条钢缆最低点的坐标分别为$(-20,1)$和$(20,1)$，两点纵坐标相同，因此两点间距离为$|20 - (-20)|=40\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(20,1)}$
(2) $\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{40\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数顶点式、轴对称坐标特征、二次函数性质
【点评】
本题结合桥梁钢缆的实际场景，考查二次函数性质与轴对称知识的综合应用，解题关键是掌握二次函数一般式转顶点式的方法，结合几何特征即可快速求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8