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1. 把抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=x^2+1$
B.$y=(x+1)^2$
C.$y=x^2-1$
D.$y=(x-1)^2$
D
）A.$y=x^2+1$
B.$y=(x+1)^2$
C.$y=x^2-1$
D.$y=(x-1)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
解决这道题可以从两个思路入手：一是牢记二次函数图像平移的核心规律，二是通过顶点平移推导解析式。首先回忆平移规则：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x调整，上下平移是对函数整体值调整。也可以先找原抛物线的顶点，原抛物线$y=x^2$的顶点是$(0,0)$，向右平移1个单位后顶点变为$(1,0)$，再结合二次函数顶点式就能直接写出平移后的解析式。
【解析】
解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，左右平移是对自变量$x$进行变换：向右平移$m$个单位时，需将原解析式中的$x$替换为$x-m$。
本题中抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，将原解析式里的$x$替换为$x-1$，可得平移后的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图像平移规律
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考查对平移规则的掌握，注意区分左右平移是针对自变量$x$的变换，不要混淆加减对应的平移方向就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解决这道题可以从两个思路入手：一是牢记二次函数图像平移的核心规律，二是通过顶点平移推导解析式。首先回忆平移规则：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x调整，上下平移是对函数整体值调整。也可以先找原抛物线的顶点，原抛物线$y=x^2$的顶点是$(0,0)$，向右平移1个单位后顶点变为$(1,0)$，再结合二次函数顶点式就能直接写出平移后的解析式。
【解析】
解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，左右平移是对自变量$x$进行变换：向右平移$m$个单位时，需将原解析式中的$x$替换为$x-m$。
本题中抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，将原解析式里的$x$替换为$x-1$，可得平移后的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图像平移规律
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考查对平移规则的掌握，注意区分左右平移是针对自变量$x$的变换，不要混淆加减对应的平移方向就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=\frac{1}{2}(x-3)^2$的顶点坐标为(
A.$(0,0)$
B.$(3,0)$
C.$(-3,0)$
D.$(-3,\frac{1}{2})$
B
)A.$(0,0)$
B.$(3,0)$
C.$(-3,0)$
D.$(-3,\frac{1}{2})$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关应用，解题时首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$（$a≠0$）对应的顶点坐标特征，再将题干给出的解析式和顶点式的结构做对应，注意括号内是“$x-h$”的形式，不要把$h$的符号搞反，最后即可直接得出顶点坐标，匹配对应选项。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,0)$。
题干中抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2$，和顶点式对比可得$h=3$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础考题，核心考查顶点式和顶点坐标的对应关系，只要牢记顶点式的结构特征，注意区分$h$的符号，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关应用，解题时首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$（$a≠0$）对应的顶点坐标特征，再将题干给出的解析式和顶点式的结构做对应，注意括号内是“$x-h$”的形式，不要把$h$的符号搞反，最后即可直接得出顶点坐标，匹配对应选项。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,0)$。
题干中抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2$，和顶点式对比可得$h=3$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础考题，核心考查顶点式和顶点坐标的对应关系，只要牢记顶点式的结构特征，注意区分$h$的符号，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3.函数$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的图象大致是（
C
）答案
3.C
解析
【分析】
解决这道题可以按照“定开口→找顶点→验交点”的思路逐步判断：首先根据二次项系数a的正负确定抛物线开口方向，再根据顶点式$y=a(x-h)^2$的特征确定顶点坐标，最后计算抛物线与y轴的交点，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，四个选项均符合这一特征；
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，原式可变形为$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2$，因此顶点坐标为$(-2,0)$，即顶点在x轴负半轴上：
选项A顶点在x轴正半轴，不符合，排除；
选项B、D的顶点不在x轴上，不符合，排除；
3. 验证y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×(0+2)^2=2$，即抛物线与y轴交于正半轴的$(0,2)$点，选项C符合该特征。
综上，只有选项C的图象符合函数特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数开口判断，二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数顶点式的图象特征，解题的核心是熟练掌握顶点式中参数$a$、$h$对抛物线开口方向、顶点位置的影响，属于基础类图象识别题。
【难度系数】
0.8
解决这道题可以按照“定开口→找顶点→验交点”的思路逐步判断：首先根据二次项系数a的正负确定抛物线开口方向，再根据顶点式$y=a(x-h)^2$的特征确定顶点坐标，最后计算抛物线与y轴的交点，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，四个选项均符合这一特征；
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，原式可变形为$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2$，因此顶点坐标为$(-2,0)$，即顶点在x轴负半轴上：
选项A顶点在x轴正半轴，不符合，排除；
选项B、D的顶点不在x轴上，不符合，排除；
3. 验证y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×(0+2)^2=2$，即抛物线与y轴交于正半轴的$(0,2)$点，选项C符合该特征。
综上，只有选项C的图象符合函数特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数开口判断，二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数顶点式的图象特征，解题的核心是熟练掌握顶点式中参数$a$、$h$对抛物线开口方向、顶点位置的影响，属于基础类图象识别题。
【难度系数】
0.8
4.对于任意实数$h$，抛物线$y=(x-h)^2$与抛物线$y=x^2$（
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点相同
D.都有最高点
A
）A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点相同
D.都有最高点
答案
4.A
解析
【分析】
解题时需先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的基本性质：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和开口大小，$h$决定抛物线的左右平移，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；当$a＞0$时抛物线开口向上，有最低点无最高点。我们可以分别写出两个抛物线的各项性质，再逐一比对选项判断正误。
【解析】
先分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=(x-h)^2$：二次项系数$a=1＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=h$；顶点坐标为$(h,0)$；开口向上，因此有最低点，无最高点。
2. 抛物线$y=x^2$：可变形为$y=(x-0)^2$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=0$；顶点坐标为$(0,0)$；开口向上，因此有最低点，无最高点。
逐一判断选项：
A. 两个抛物线二次项系数均为1＞0，都向上开口，开口方向相同，该选项正确；
B. 两个抛物线对称轴分别为$x=h$和$x=0$，$h$为任意实数，不一定相等，该选项错误；
C. 两个抛物线顶点分别为$(h,0)$和$(0,0)$，$h$为任意实数，不一定相同，该选项错误；
D. 两个抛物线均开口向上，仅存在最低点，没有最高点，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点与对称轴
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的基础性质，需明确$a$和$h$分别对抛物线的影响，属于对基础概念的考查，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时需先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的基本性质：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和开口大小，$h$决定抛物线的左右平移，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；当$a＞0$时抛物线开口向上，有最低点无最高点。我们可以分别写出两个抛物线的各项性质，再逐一比对选项判断正误。
【解析】
先分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=(x-h)^2$：二次项系数$a=1＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=h$；顶点坐标为$(h,0)$；开口向上，因此有最低点，无最高点。
2. 抛物线$y=x^2$：可变形为$y=(x-0)^2$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=0$；顶点坐标为$(0,0)$；开口向上，因此有最低点，无最高点。
逐一判断选项：
A. 两个抛物线二次项系数均为1＞0，都向上开口，开口方向相同，该选项正确；
B. 两个抛物线对称轴分别为$x=h$和$x=0$，$h$为任意实数，不一定相等，该选项错误；
C. 两个抛物线顶点分别为$(h,0)$和$(0,0)$，$h$为任意实数，不一定相同，该选项错误；
D. 两个抛物线均开口向上，仅存在最低点，没有最高点，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点与对称轴
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的基础性质，需明确$a$和$h$分别对抛物线的影响，属于对基础概念的考查，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5.点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在二次函数$y=-(x+2)^2$的图象上，若$-2＜x_1＜x_2$，则(
A.$0＜y_1＜y_2$
B.$y_2＜y_1＜0$
C.$y_1＜y_2＜0$
D.$0＜y_2＜y_1$
B
)A.$0＜y_1＜y_2$
B.$y_2＜y_1＜0$
C.$y_1＜y_2＜0$
D.$0＜y_2＜y_1$
答案
5.B
解析
【分析】
要比较$y_1$、$y_2$的大小，需先明确二次函数的图象性质：首先确定抛物线的开口方向、对称轴和增减性，再结合已知的$x_1$、$x_2$的取值范围，判断两点所在的区间，结合增减性和函数最值范围即可得到$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x+2)^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数最大值为0（顶点在$(-2,0)$，仅当$x=-2$时$y=0$，其余情况$y＜0$）；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=-2$，且开口向下，因此当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$-2＜x_1＜x_2$，说明点A、B均在对称轴$x=-2$的右侧，因此两点对应的函数值均小于0，且$x$越大对应$y$值越小，故$y_2＜y_1＜0$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数增减性
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题的核心是先明确抛物线的开口方向、对称轴，判断出对应区间的增减性，再结合函数的取值范围即可快速比较函数值大小，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$、$y_2$的大小，需先明确二次函数的图象性质：首先确定抛物线的开口方向、对称轴和增减性，再结合已知的$x_1$、$x_2$的取值范围，判断两点所在的区间，结合增减性和函数最值范围即可得到$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x+2)^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数最大值为0（顶点在$(-2,0)$，仅当$x=-2$时$y=0$，其余情况$y＜0$）；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=-2$，且开口向下，因此当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$-2＜x_1＜x_2$，说明点A、B均在对称轴$x=-2$的右侧，因此两点对应的函数值均小于0，且$x$越大对应$y$值越小，故$y_2＜y_1＜0$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数增减性
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题的核心是先明确抛物线的开口方向、对称轴，判断出对应区间的增减性，再结合函数的取值范围即可快速比较函数值大小，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
6.若抛物线$y=-4(x+h)^2$沿$x$轴向右平移5个单位长度后经过点$(2,-4)$，则$h=$
2或4
答案
6.2或4 点拨:抛物线$y=-4(x+h)^2$沿$x$轴向右平移5个单位长度后,所得抛物线对应的函数解析式为$y=-4(x+h-5)^2$,由于该抛物线过点$(2,-4)$,把$x=2,y=-4$代入$y=-4(x+h-5)^2$,解得$h=2$或$h=4.$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先回忆二次函数图象的平移规律：沿x轴平移时遵循“左加右减”（向左平移自变量加平移单位，向右平移自变量减平移单位），据此写出平移后的抛物线解析式；②根据平移后的抛物线经过点$(2,-4)$，可知该点坐标满足平移后的函数解析式，将点坐标代入解析式即可得到关于h的方程；③解所得方程，注意开平方运算有正负两个结果，避免漏解，最终得到h的值。
【解析】
根据二次函数图象“左加右减”的平移规律，抛物线$y=-4(x+h)^2$沿x轴向右平移5个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=-4(x+h-5)^2$
∵平移后的抛物线经过点$(2,-4)$
∴将$x=2$，$y=-4$代入上述解析式得：
$-4=-4(2+h-5)^2$
两边同时除以$-4$，得：
$1=(h-3)^2$
开平方得：
$h-3=\pm1$
解得：$h=2$或$h=4$
【答案】
2或4
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象的点坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数平移性质的基础应用题，核心考点是平移规则的正确应用，代入点坐标求解时要注意开平方运算有两个解，不要漏解，属于基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先回忆二次函数图象的平移规律：沿x轴平移时遵循“左加右减”（向左平移自变量加平移单位，向右平移自变量减平移单位），据此写出平移后的抛物线解析式；②根据平移后的抛物线经过点$(2,-4)$，可知该点坐标满足平移后的函数解析式，将点坐标代入解析式即可得到关于h的方程；③解所得方程，注意开平方运算有正负两个结果，避免漏解，最终得到h的值。
【解析】
根据二次函数图象“左加右减”的平移规律，抛物线$y=-4(x+h)^2$沿x轴向右平移5个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=-4(x+h-5)^2$
∵平移后的抛物线经过点$(2,-4)$
∴将$x=2$，$y=-4$代入上述解析式得：
$-4=-4(2+h-5)^2$
两边同时除以$-4$，得：
$1=(h-3)^2$
开平方得：
$h-3=\pm1$
解得：$h=2$或$h=4$
【答案】
2或4
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象的点坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数平移性质的基础应用题，核心考点是平移规则的正确应用，代入点坐标求解时要注意开平方运算有两个解，不要漏解，属于基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
7.将抛物线$y=-3(x-1)^2$先向左平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为
$y=-3(x-4)^2$
。答案
7.$y=-3(x-4)^2$
解析
【分析】
要解决抛物线平移后的解析式问题，需用到二次函数图象的平移规律：“左加右减，针对自变量x；上加下减，针对函数整体”，且平移过程中二次项系数a不变。我们可以分步计算两次平移后的解析式，也可以先计算两次平移的总位移，再直接变换解析式。需要注意平移的加减操作是直接作用于x本身，不能受x外的系数或括号影响。
【解析】
方法一：分步计算平移
1. 原抛物线解析式为$y=-3(x-1)^2$，首先向左平移5个单位长度，根据“左加”规则，将解析式中的$x$替换为$x+5$，可得第一次平移后的解析式：
$y=-3[(x+5)-1]^2=-3(x+4)^2$
2. 再将得到的抛物线向右平移8个单位长度，根据“右减”规则，将解析式中的$x$替换为$x-8$，可得最终的解析式：
$y=-3[(x-8)+4]^2=-3(x-4)^2$
方法二：计算总平移量简化运算
向左平移5个单位，再向右平移8个单位，相当于整体向右平移了$8-5=3$个单位长度。
原抛物线的顶点横坐标为1，向右平移3个单位后，新的顶点横坐标为$1+3=4$，二次项系数$a=-3$不变，因此最终解析式为$y=-3(x-4)^2$。
【答案】
$y=-3(x-4)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解与应用，解题时需注意平移操作是针对自变量x本身进行，也可以通过计算总平移量简化运算步骤，避免分步计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.75
要解决抛物线平移后的解析式问题，需用到二次函数图象的平移规律：“左加右减，针对自变量x；上加下减，针对函数整体”，且平移过程中二次项系数a不变。我们可以分步计算两次平移后的解析式，也可以先计算两次平移的总位移，再直接变换解析式。需要注意平移的加减操作是直接作用于x本身，不能受x外的系数或括号影响。
【解析】
方法一：分步计算平移
1. 原抛物线解析式为$y=-3(x-1)^2$，首先向左平移5个单位长度，根据“左加”规则，将解析式中的$x$替换为$x+5$，可得第一次平移后的解析式：
$y=-3[(x+5)-1]^2=-3(x+4)^2$
2. 再将得到的抛物线向右平移8个单位长度，根据“右减”规则，将解析式中的$x$替换为$x-8$，可得最终的解析式：
$y=-3[(x-8)+4]^2=-3(x-4)^2$
方法二：计算总平移量简化运算
向左平移5个单位，再向右平移8个单位，相当于整体向右平移了$8-5=3$个单位长度。
原抛物线的顶点横坐标为1，向右平移3个单位后，新的顶点横坐标为$1+3=4$，二次项系数$a=-3$不变，因此最终解析式为$y=-3(x-4)^2$。
【答案】
$y=-3(x-4)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解与应用，解题时需注意平移操作是针对自变量x本身进行，也可以通过计算总平移量简化运算步骤，避免分步计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.75
8.已知函数$y=2+2x+\frac{1}{2}x^2$.
(1)把它配方成$y=a(x-h)^2$的形式；
(2)x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
(1)把它配方成$y=a(x-h)^2$的形式；
(2)x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
答案
8.解:(1)$y=2+2x+\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)=\frac{1}{2}(x+2)^2.$
(2)当$x＞-2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＜-2$时,$y$随$x$的增大而减小.
点拨:解答此题时,要与$y=ax^2$的性质进行对比,从而巩固二次函数$y=a(x-h)^2$的性质.
(2)当$x＞-2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＜-2$时,$y$随$x$的增大而减小.
点拨:解答此题时,要与$y=ax^2$的性质进行对比,从而巩固二次函数$y=a(x-h)^2$的性质.
解析
【分析】
（1）要将一般式的二次函数配方成顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，首先将函数按x的降幂排列，再提取二次项系数，把括号内的二次项系数化为1，之后对括号内的二次三项式凑完全平方即可，本题凑完全平方后常数项刚好抵消，无需额外调整。
（2）判断二次函数的增减性，首先根据二次项系数a的正负确定抛物线的开口方向，再找到抛物线的对称轴，结合开口方向即可判断增减区间：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小；开口向下时相反。
【解析】
(1) 先整理函数式的各项顺序，再提取二次项系数配方：
$y=2+2x+\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2+2x+2=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)=\frac{1}{2}(x+2)^2$
(2) 由(1)可知，该二次函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴左侧y随x的增大而减小，因此可得对应的增减区间。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$
(2) 当$x＞-2$时，y随x的增大而增大；当$x＜-2$时，y随x的增大而减小。
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点要求掌握二次函数一般式转顶点式的配方步骤，以及结合开口方向、对称轴判断二次函数增减性的规律，熟练掌握该知识点可为后续复杂二次函数的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
（1）要将一般式的二次函数配方成顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，首先将函数按x的降幂排列，再提取二次项系数，把括号内的二次项系数化为1，之后对括号内的二次三项式凑完全平方即可，本题凑完全平方后常数项刚好抵消，无需额外调整。
（2）判断二次函数的增减性，首先根据二次项系数a的正负确定抛物线的开口方向，再找到抛物线的对称轴，结合开口方向即可判断增减区间：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小；开口向下时相反。
【解析】
(1) 先整理函数式的各项顺序，再提取二次项系数配方：
$y=2+2x+\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2+2x+2=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)=\frac{1}{2}(x+2)^2$
(2) 由(1)可知，该二次函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴左侧y随x的增大而减小，因此可得对应的增减区间。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$
(2) 当$x＞-2$时，y随x的增大而增大；当$x＜-2$时，y随x的增大而减小。
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点要求掌握二次函数一般式转顶点式的配方步骤，以及结合开口方向、对称轴判断二次函数增减性的规律，熟练掌握该知识点可为后续复杂二次函数的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
1.若抛物线$y=\frac{1}{3}(x-2)^2$向右平移$m$个单位长度后经过点$(3,3)$，则$m$等于（
A.$-2$
B.$-2$或$4$
C.$2$或$4$
D.$2$或$-4$
B
）A.$-2$
B.$-2$或$4$
C.$2$或$4$
D.$2$或$-4$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先运用二次函数图象平移的“左加右减”规律，写出平移后的抛物线解析式，再将已知点的坐标代入解析式，得到关于m的方程，解方程即可求出m的取值。
【解析】
1. 推导平移后的抛物线解析式
根据二次函数“左加右减”的平移规则，抛物线$y=\frac{1}{3}(x-2)^2$向右平移$m$个单位长度后，解析式变为：
$y=\frac{1}{3}(x - 2 - m)^2$
2. 代入点坐标列方程
已知平移后的抛物线经过点$(3,3)$，将$x=3$、$y=3$代入上述解析式，得：
$3=\frac{1}{3}(3 - 2 - m)^2$
3. 解方程求$m$的值
方程两边同时乘3，化简得：$9=(1 - m)^2$
对等式两边开平方，得：$1 - m = \pm 3$
分两种情况求解：
① 当$1 - m = 3$时，解得$m = -2$；
② 当$1 - m = -3$时，解得$m = 4$。
因此$m$的值为$-2$或$4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数点的坐标特征，直接开平方法解方程
【点评】
本题考查二次函数平移规则的基础应用，易错点是记错平移的“左加右减”规律，或者开平方时漏掉负根，牢记平移规则、仔细计算即可正确解题。
【难度系数】
0.7
解题时先运用二次函数图象平移的“左加右减”规律，写出平移后的抛物线解析式，再将已知点的坐标代入解析式，得到关于m的方程，解方程即可求出m的取值。
【解析】
1. 推导平移后的抛物线解析式
根据二次函数“左加右减”的平移规则，抛物线$y=\frac{1}{3}(x-2)^2$向右平移$m$个单位长度后，解析式变为：
$y=\frac{1}{3}(x - 2 - m)^2$
2. 代入点坐标列方程
已知平移后的抛物线经过点$(3,3)$，将$x=3$、$y=3$代入上述解析式，得：
$3=\frac{1}{3}(3 - 2 - m)^2$
3. 解方程求$m$的值
方程两边同时乘3，化简得：$9=(1 - m)^2$
对等式两边开平方，得：$1 - m = \pm 3$
分两种情况求解：
① 当$1 - m = 3$时，解得$m = -2$；
② 当$1 - m = -3$时，解得$m = 4$。
因此$m$的值为$-2$或$4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数点的坐标特征，直接开平方法解方程
【点评】
本题考查二次函数平移规则的基础应用，易错点是记错平移的“左加右减”规律，或者开平方时漏掉负根，牢记平移规则、仔细计算即可正确解题。
【难度系数】
0.7
