1.下列直线是圆的切线的是()

A.与圆有公共点的直线
B.圆心到该直线的距离等于圆的半径
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆的半径外端的直线

1.B

【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时需先回忆切线的相关判定依据，再逐一验证每个选项是否符合要求。首先明确切线的三类判定标准：①与圆有且只有1个公共点的直线是切线；②圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线是圆的切线；③经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。按照以上标准逐一排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：与圆有公共点的直线可能是割线（割线与圆有2个公共点），不符合切线“与圆只有1个公共点”的要求，因此A错误；
B选项：根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆有且只有1个交点，直线就是圆的切线，因此B正确；
C选项：仅垂直于圆的半径，若直线没有经过该半径的外端，就不满足切线的判定条件，因此C错误；
D选项：仅过圆的半径外端，若直线不与该半径垂直，也不满足切线的判定条件，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易遗漏切线判定的多个前提条件，比如漏记“过半径外端”错选C，漏记“垂直于半径”错选D，或混淆公共点的数量要求错选A，准确记忆切线的判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.圆的切线()

A.垂直于半径
B.平行于半径
C.垂直于经过切点的半径
D.以上都不对

2.C

【分析】
解题时首先回忆圆切线的性质定理的完整内容，明确切线和半径的位置关系存在限定条件，再逐一核对每个选项：首先要牢记，切线垂直的半径必须是经过切点的半径，没有这个前提的描述都是错误的，据此排除错误选项即可锁定正确答案。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，对各选项逐一分析：
A. 没有说明半径是“经过切点的半径”，圆的任意半径不一定和切线垂直，因此A错误；
B. 切线与经过切点的半径是垂直关系，并非平行关系，因此B错误；
C. 描述完全符合切线的性质定理内容，因此C正确；
D. 因为C选项表述正确，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】
切线的性质定理
【点评】
本题是基础概念考察题，易错点是容易遗漏“经过切点”这个关键限定条件，误选A选项，学习基础定理时要记全定理的所有限定要素，避免因信息遗漏判断错误。
【难度系数】
0.8

3. 如图 30－1－9 所示，AB 是$\odot O$的直径，BC 交$\odot O$于点 D，$DE⊥ AC$于点 E，要使 DE 是$\odot O$的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()

A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC// OD$



图 30－1－9
图 30－1－10
图 30－1－11

3.A 点拨:由于D是圆上一点,所以要说明DE是切线,只需证明OD⊥DE即可.又因为DE⊥AC,所以当AC//OD时,可得OD⊥DE.因为当CD=DB时,即D为BC的中点,而O为AB的中点,所以OD//AC,所以OD⊥DE.当AB=AC时,连接AD,因为AB是直径,所以AD⊥BC,所以CD=DB,同理可得OD⊥DE.因此B,C,D选项均可以说明DE是⊙O的切线.

【分析】
要判断补充哪个条件不能使DE是⊙O的切线，首先明确切线的判定思路：已知点D在⊙O上，因此只需证明OD⊥DE即可。结合已知DE⊥AC，可得只要推出OD//AC，就能得到OD⊥DE，进而得到DE是切线，接下来逐一分析每个选项能否推出OD//AC，找出无法推出的选项即可。
【解析】
已知点D在⊙O上，根据切线的判定定理，要使DE是⊙O的切线，需证明OD⊥DE。
∵DE⊥AC，
∴若能推出OD//AC，即可得OD⊥DE，DE为切线。
对各选项逐一分析：
1. 选项B：若AB=AC，连接AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
又
∵AB=AC，等腰三角形三线合一，
∴D是BC的中点。
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。
结合DE⊥AC，得DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，该条件正确，不符合题意。
2. 选项C：若CD=DB，即D是BC的中点。
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。
同理可得DE⊥OD，DE是⊙O的切线，该条件正确，不符合题意。
3. 选项D：若AC//OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD。
∴DE是⊙O的切线，该条件正确，不符合题意。
4. 选项A：若DE=DO，仅能说明△ODE是等腰三角形，无法推出∠ODE=90°，即无法证明OD⊥DE，不能判定DE是⊙O的切线，该条件不正确，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定定理；三角形中位线定理；平行线的性质
【点评】
本题考查切线的判定，解题的关键是明确“若直线与圆的公共点已知，证切线只需证公共点与圆心的连线和直线垂直”的判定思路，结合等腰三角形、中位线、平行线的性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7

4.如图30－1－10所示，AB是$\odot O$的直径，点D在AB的延长线上，DC切$\odot O$于点C，若$∠ A＝25°$，则$∠ D$等于（）

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$

4.C 点拨:连接OC,由OA=OC得∠OCA=∠A=25°,再利用三角形外角的性质得∠DOC=∠A+∠OCA=50°,由切线性质得∠DCO=90°,
∴∠D=90°-50°=40°.

【分析】
遇到圆的切线相关求角度的问题，首先考虑连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径得到直角。本题先连接辅助线OC，首先根据同圆半径相等得到等腰△OAC，求出∠OCA的度数，再利用三角形外角的性质求出∠DOC的度数，最后在直角△OCD中利用直角三角形两锐角互余的性质就能算出∠D的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠OCA=∠A=25°，
∵∠DOC是△AOC的外角，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥DC，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，∠D+∠DOC=90°，
∴∠D=90°-50°=40°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于切线性质的基础应用题，解题核心是掌握“见切线，连圆心与切点”的常用辅助线作法，结合三角形的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.如图30-1-11，已知PA是⊙O的切线，A是切点，PC是过圆心的一条割线，点B，C是PC与⊙O的交点，且PA=8，PB=4，则⊙O的半径为。

5.6 点拨:连接OA,构造直角三角形,利用勾股定理列方程.在几何图形中求线段的长,常采用代数方法解决几何问题.

【分析】
已知PA是⊙O的切线，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此连接OA即可得到Rt△OAP。要求⊙O的半径，我们可以设半径为r，将Rt△OAP的三条边用含r的代数式表示：OA为半径长度r，PA已知为8，OP为PB与半径OB的和，即OP=4+r，再利用勾股定理列方程即可求解半径r。
【解析】
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
∴OP=PB + OB = 4 + r。
在Rt△OAP中，由勾股定理得：
OA² + PA² = OP²
代入数值：r² + 8² = (4 + r)²
展开得：r² + 64 = r² + 8r + 16
消去r²，移项计算得：8r = 48
解得r = 6。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质；勾股定理；方程法求线段长
【点评】
本题是圆中线段求解的基础题型，解题核心是通过作辅助线连接切点与圆心构造直角三角形，将几何问题转化为代数方程问题求解，要熟练掌握切线的性质，学会用数形结合的思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.75

6. 如图30－1－12所示，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D.
(1)求证：AP＝AC；
(2)若AC＝3，求PC的长.

图30－1－12

6.(1)证明:连接AO,则AO⊥PA.
∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°,
∴∠AOP=60°,
∴∠P=30°.
又
∵OA=OC,
∴∠ACP=30°,
∴∠P=∠ACP,
∴AP=AC.
(2)解:在Rt△PAO中,∠P=30°,PA=3,
∴PO=2OA.
在Rt△AOP中,由勾股定理得PO=2√3,
CO=OA=√3.
∴PC=PO+OC=2√3+√3=3√3.

【分析】
（1）要证AP=AC，可通过证明两角相等（等角对等边）推导：首先连接辅助线OA，利用切线性质得OA⊥AP；再结合圆周角定理，由∠B=60°求出圆心角∠AOC的度数，进而求出∠AOP和∠P的度数；再根据等腰△OAC的性质求出∠ACP的度数，对比∠P和∠ACP即可得证。
（2）求PC的长，可将PC拆分为PO+OC两段计算：由（1）得AP=AC=3，在Rt△PAO中，利用30°直角三角形的性质得PO=2OA，再通过勾股定理求出OA、PO的长度，相加即可得到PC的长。
【解析】
(1) 证明：连接AO，根据切线的性质可得AO⊥PA。
∵ ∠B=60°，
∴ ∠AOC=2∠B=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴ ∠AOP=180°-120°=60°，
在Rt△PAO中，∠P=90°-60°=30°。
又
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ ∠ACP=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴ ∠P=∠ACP，
∴ AP=AC（等角对等边）。
(2) 解：由(1)可知AP=AC，已知AC=3，因此PA=3。
在Rt△PAO中，∠P=30°，
∴ PO=2OA（30°角所对直角边是斜边的一半）。
设OA=r，则PO=2r，根据勾股定理：
$PA^2 + OA^2 = PO^2$，代入得$3^2 + r^2 = (2r)^2$，
解得$r=\sqrt{3}$（舍去负根），即$OA=OC=\sqrt{3}$，$PO=2\sqrt{3}$。
∴ $PC=PO+OC=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，AP=AC；
(2) PC的长为$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是正确连接圆心与切点的辅助线，结合切线性质、圆周角定理转化角度关系，再利用特殊直角三角形性质和勾股定理计算线段长度，属于圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7