登录
1.如图30－1－13，若$\odot O$的直径AB与弦AC的夹角为$30°$，切线CD与AB的延长线交于点D，且$\odot O$的半径为2，则CD的长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.2
D.4
A
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.2
D.4
答案
1.A 点拨:连接OC,利用三角形外角与内角的关系得出∠COD=60°,再进一步在Rt△OCD中求CD的长.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角三角形求解。首先，遇到圆的切线时，常规辅助线是连接切点与圆心，得到半径与切线垂直的垂直关系；其次，结合已知的∠A=30°，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角定理求出圆心角∠COD的度数；最后在构造出的直角三角形中，利用三角函数即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
根据三角形外角的性质，∠COD=∠A+∠ACO=30°+30°=60°，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，OC=2，∠COD=60°，
∵tan∠COD=$\frac{CD}{OC}$，
∴CD=OC·tan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，解题的关键是掌握“遇切线，连圆心切点得垂直”的辅助线作法，结合三角形相关性质和直角三角形的边角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角三角形求解。首先，遇到圆的切线时，常规辅助线是连接切点与圆心，得到半径与切线垂直的垂直关系；其次，结合已知的∠A=30°，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角定理求出圆心角∠COD的度数；最后在构造出的直角三角形中，利用三角函数即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
根据三角形外角的性质，∠COD=∠A+∠ACO=30°+30°=60°，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，OC=2，∠COD=60°，
∵tan∠COD=$\frac{CD}{OC}$，
∴CD=OC·tan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，解题的关键是掌握“遇切线，连圆心切点得垂直”的辅助线作法，结合三角形相关性质和直角三角形的边角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图30－1－14，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，$\odot A$与x轴相切于点B，与y轴交于$C(0,1)$，$D(0,4)$两点，则点A的坐标是(
A.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$
B.$(\dfrac{3}{2},2)$
C.$(2,\dfrac{5}{2})$
D.$(\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2})$
图30－1－13 图30－1－14 图30－1－15 图30－1－16 图30－1－17
C
)A.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$
B.$(\dfrac{3}{2},2)$
C.$(2,\dfrac{5}{2})$
D.$(\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2})$
图30－1－13 图30－1－14 图30－1－15 图30－1－16 图30－1－17
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先结合切线性质分析：圆与x轴相切，则过切点的半径垂直于x轴，可得半径长度等于点A的纵坐标；再利用垂径定理处理圆与y轴的交点：过A作y轴的垂线，可平分弦CD，先求出CD中点的纵坐标，即得到点A的纵坐标，也就是圆的半径；最后在直角三角形中用勾股定理求出A点的横坐标，即可确定A的坐标。
【解析】
过点A作$AE⊥ y$轴于点E，连接AB、AC：
1. 由切线的性质可知，$\odot A$与x轴相切于点B，则$AB⊥ x$轴，因此AB长等于点A的纵坐标，且$AB=AC=r$（均为$\odot A$的半径）。
2. 已知$C(0,1)$、$D(0,4)$，则$CD=4-1=3$。根据垂径定理，AE垂直平分CD，因此$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$，点E的纵坐标为$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。因为$AE⊥ y$轴，所以点A的纵坐标与E点相等，即$y_A=\frac{5}{2}$，故半径$r=\frac{5}{2}$。
3. 在$Rt△ ACE$中，$AC=\frac{5}{2}$，$CE=\frac{3}{2}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{25-9}{4}}=2$，AE的长度即为点A的横坐标，即$x_A=2$。
因此点A的坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的典型题，解题核心是通过作辅助线把圆的性质和坐标关系结合起来，将坐标问题转化为线段长度计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线性质分析：圆与x轴相切，则过切点的半径垂直于x轴，可得半径长度等于点A的纵坐标；再利用垂径定理处理圆与y轴的交点：过A作y轴的垂线，可平分弦CD，先求出CD中点的纵坐标，即得到点A的纵坐标，也就是圆的半径；最后在直角三角形中用勾股定理求出A点的横坐标，即可确定A的坐标。
【解析】
过点A作$AE⊥ y$轴于点E，连接AB、AC：
1. 由切线的性质可知，$\odot A$与x轴相切于点B，则$AB⊥ x$轴，因此AB长等于点A的纵坐标，且$AB=AC=r$（均为$\odot A$的半径）。
2. 已知$C(0,1)$、$D(0,4)$，则$CD=4-1=3$。根据垂径定理，AE垂直平分CD，因此$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$，点E的纵坐标为$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。因为$AE⊥ y$轴，所以点A的纵坐标与E点相等，即$y_A=\frac{5}{2}$，故半径$r=\frac{5}{2}$。
3. 在$Rt△ ACE$中，$AC=\frac{5}{2}$，$CE=\frac{3}{2}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{25-9}{4}}=2$，AE的长度即为点A的横坐标，即$x_A=2$。
因此点A的坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的典型题，解题核心是通过作辅助线把圆的性质和坐标关系结合起来，将坐标问题转化为线段长度计算问题。
【难度系数】
0.7
3.如图30-1-15，∠MAB=30°，P为AB上的点，以点P为圆心的$\odot P$与AM相切于点M，且AM=9，则$\odot P$的半径为
3√3
。答案
3.3√3
解析
【分析】
本题可结合切线的性质构造直角三角形，再利用直角三角形的边角关系求解半径。遇到圆的切线问题时，优先连接圆心和切点，根据切线性质可得到垂直关系，本题连接PM后即可得到Rt△AMP，已知∠MAB=30°和直角边AM的长度，通过锐角三角函数或勾股定理就能求出半径PM的长度。
【解析】
解：连接PM，
∵AM是⊙P的切线，M为切点，
∴由切线的性质得：$PM⊥ AM$，即$∠ AMP=90°$，
在$Rt△ AMP$中，$∠ MAB=30°$，$AM=9$，
根据正切的定义：$\tan∠ MAB=\frac{PM}{AM}$，
代入数值可得：$\tan30°=\frac{PM}{9}$，
又$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此$PM=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$，即⊙P的半径为$3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；解直角三角形；勾股定理
【点评】
本题是圆切线相关的基础常考题，解题核心是掌握“切线垂直于过切点的半径”的性质，通过作辅助线将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题可结合切线的性质构造直角三角形，再利用直角三角形的边角关系求解半径。遇到圆的切线问题时，优先连接圆心和切点，根据切线性质可得到垂直关系，本题连接PM后即可得到Rt△AMP，已知∠MAB=30°和直角边AM的长度，通过锐角三角函数或勾股定理就能求出半径PM的长度。
【解析】
解：连接PM，
∵AM是⊙P的切线，M为切点，
∴由切线的性质得：$PM⊥ AM$，即$∠ AMP=90°$，
在$Rt△ AMP$中，$∠ MAB=30°$，$AM=9$，
根据正切的定义：$\tan∠ MAB=\frac{PM}{AM}$，
代入数值可得：$\tan30°=\frac{PM}{9}$，
又$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此$PM=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$，即⊙P的半径为$3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；解直角三角形；勾股定理
【点评】
本题是圆切线相关的基础常考题，解题核心是掌握“切线垂直于过切点的半径”的性质，通过作辅助线将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，难度较低。
【难度系数】
0.7
4.如图30－1－16，已知三角形ABC内接于$\odot O$，AB为直径，过点A作直线EF，要使EF是$\odot O$的切线，可添加的条件是：①
∠CAE = ∠B
，②AB ⊥ FE
，③∠BAC + ∠CAE = 90°
。答案
4.∠CAE = ∠B AB ⊥ FE ∠BAC + ∠CAE = 90° 点拨:答案不唯一.本题主要考查切线的判定,所加条件必须能使AB⊥EF成立.
解析
【分析】
要判断EF是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知EF经过$\odot O$上的点A（即半径OA的外端），因此只需证明$EF⊥ AB$即可，我们只需寻找能推导得出$AB⊥ EF$的条件即可。结合AB是直径的已知条件，直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$，即$∠ BAC+∠ B=90°$，可由此推导合适的添加条件。
【解析】
我们根据切线判定的核心要求（证$AB⊥ EF$），给出三个可行条件的推导：
1. 若添加条件$∠ CAE = ∠ B$：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ $∠ BAC + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余），
又
∵ $∠ CAE = ∠ B$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAE = 90°$，即$∠ BAE=90°$，
∴ $AB⊥ EF$，
∴ EF是$\odot O$的切线。
2. 若添加条件$AB ⊥ FE$：
∵ EF经过$\odot O$上的点A，且$AB⊥ EF$，
∴ 根据切线的判定定理，EF是$\odot O$的切线。
3. 若添加条件$∠ BAC + ∠ CAE = 90°$：
则$∠ BAE=∠ BAC + ∠ CAE=90°$，即$AB⊥ EF$，
∴ EF是$\odot O$的切线。
注：本题答案不唯一，只要能推出$AB⊥ EF$的条件均可，例如$∠ EAB=90°$等也符合要求。
【答案】
$∠ CAE = ∠ B$；$AB ⊥ FE$；$∠ BAC + ∠ CAE = 90°$（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定；直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对切线判定定理的理解应用，解题时抓住“已知直线过圆上一点，证垂直”的核心思路，结合圆的相关性质即可得出符合要求的条件，灵活度适中，能很好地巩固切线判定的相关知识。
【难度系数】
0.7
要判断EF是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知EF经过$\odot O$上的点A（即半径OA的外端），因此只需证明$EF⊥ AB$即可，我们只需寻找能推导得出$AB⊥ EF$的条件即可。结合AB是直径的已知条件，直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$，即$∠ BAC+∠ B=90°$，可由此推导合适的添加条件。
【解析】
我们根据切线判定的核心要求（证$AB⊥ EF$），给出三个可行条件的推导：
1. 若添加条件$∠ CAE = ∠ B$：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ $∠ BAC + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余），
又
∵ $∠ CAE = ∠ B$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAE = 90°$，即$∠ BAE=90°$，
∴ $AB⊥ EF$，
∴ EF是$\odot O$的切线。
2. 若添加条件$AB ⊥ FE$：
∵ EF经过$\odot O$上的点A，且$AB⊥ EF$，
∴ 根据切线的判定定理，EF是$\odot O$的切线。
3. 若添加条件$∠ BAC + ∠ CAE = 90°$：
则$∠ BAE=∠ BAC + ∠ CAE=90°$，即$AB⊥ EF$，
∴ EF是$\odot O$的切线。
注：本题答案不唯一，只要能推出$AB⊥ EF$的条件均可，例如$∠ EAB=90°$等也符合要求。
【答案】
$∠ CAE = ∠ B$；$AB ⊥ FE$；$∠ BAC + ∠ CAE = 90°$（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定；直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对切线判定定理的理解应用，解题时抓住“已知直线过圆上一点，证垂直”的核心思路，结合圆的相关性质即可得出符合要求的条件，灵活度适中，能很好地巩固切线判定的相关知识。
【难度系数】
0.7
5.如图30-1-17所示，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，A为切点，连接BC交$\odot O$于点D，若$∠ C=50°$，则$∠ AOD=$
80
度.答案
5.80
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AC⊥AB，即∠BAC=90°；第二步，在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠C=50°，求出∠ABC的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，代入数值即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，A为切点，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=50°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-50°=40°，
∵∠ABC是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠AOD=2∠ABC=2×40°=80°。
【答案】
80
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，先通过直角三角形的内角关系求出圆周角的度数，再转化得到对应圆心角的度数。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AC⊥AB，即∠BAC=90°；第二步，在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠C=50°，求出∠ABC的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，代入数值即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，A为切点，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=50°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-50°=40°，
∵∠ABC是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠AOD=2∠ABC=2×40°=80°。
【答案】
80
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，先通过直角三角形的内角关系求出圆周角的度数，再转化得到对应圆心角的度数。
【难度系数】
0.8
6.如图30－1－18，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AD＝2，AC＝√5，求AB的长.
图30－1－18
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AD＝2，AC＝√5，求AB的长.
图30－1－18
答案
6.(1)证明:连接BC,OC,则∠ACB=90°,
即∠B+∠CAB=90°.
∵直线CD是⊙O的切线,
∴∠DCO=90°,
即∠DCA+∠ACO=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠B=∠ACD.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC.
∵∠B+∠BAC=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,
∴AD⊥CD.
(2)解:过C作CE⊥AB.
∴CD=CE.
在Rt△ADC与Rt△AEC中,
AC=AC,CD=CE,
∴Rt△ADC≌Rt△AEC.
∴AD=AE.
∵AD=2,AC=√5,
∴CD=√(AC²-AD²)=1,
∴AE=2,CE=1.
设BE=x,
在Rt△BCE中,BC²=CE²+BE²=1+x².
在Rt△ABC中,BC²=AB²-AC²=(2+x)²-(√5)².
∴1+x²=(2+x)²-(√5)²,解得x=0.5.
∴AB=AE+BE=2.5.
即∠B+∠CAB=90°.
∵直线CD是⊙O的切线,
∴∠DCO=90°,
即∠DCA+∠ACO=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠B=∠ACD.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC.
∵∠B+∠BAC=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,
∴AD⊥CD.
(2)解:过C作CE⊥AB.
∴CD=CE.
在Rt△ADC与Rt△AEC中,
AC=AC,CD=CE,
∴Rt△ADC≌Rt△AEC.
∴AD=AE.
∵AD=2,AC=√5,
∴CD=√(AC²-AD²)=1,
∴AE=2,CE=1.
设BE=x,
在Rt△BCE中,BC²=CE²+BE²=1+x².
在Rt△ABC中,BC²=AB²-AC²=(2+x)²-(√5)².
∴1+x²=(2+x)²-(√5)²,解得x=0.5.
∴AB=AE+BE=2.5.
解析
【分析】
(1)要证明AD⊥CD，即证∠ADC=90°。首先连接OC、BC，利用切线性质可得OC⊥CD，直径所对圆周角为直角可得∠ACB=90°；再结合等腰三角形等边对等角、角平分线的定义，通过角的等量代换，推导得出∠DAC+∠ACD=90°，即可得到∠ADC=90°。
(2)要求AB的长，可过点C作CE⊥AB，利用角平分线的性质得CD=CE，证明Rt△ADC≌Rt△AEC得到AE=AD；先用勾股定理求出CD的长度，再设BE=x，分别在Rt△BCE和Rt△ABC中用勾股定理表示出BC²，列方程求解x，即可得到AB的长度。
【解析】
(1)证明：连接BC，OC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即$∠ B+∠ CAB=90°$。
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴$∠ DCO=90°$，即$∠ DCA+∠ ACO=90°$。
∵OA=OC，
∴$∠ OAC=∠ OCA$。
∴$∠ B=∠ ACD$。
∵AC平分∠DAB，
∴$∠ DAC=∠ BAC$。
∵$∠ B+∠ BAC=90°$，
∴$∠ DAC+∠ ACD=90°$，
∴$∠ ADC=90°$，即AD⊥CD。
(2)解：过点C作CE⊥AB于点E。
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，
∴CD=CE。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中，
$\begin{cases} AC=AC \\ CD=CE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ AEC(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
∴$CE=1$。
设$BE=x$，则$AB=AE+BE=2+x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC^2=CE^2+BE^2=1+x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC^2=AB^2-AC^2=(2+x)^2-(\sqrt{5})^2$，
∴$1+x^2=(2+x)^2-5$，
解得$x=0.5$，
∴$AB=2+0.5=2.5$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AB=\frac{5}{2}$（或2.5）
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题关键是正确添加辅助线，灵活运用圆的性质、角平分线性质、全等三角形判定及勾股定理进行推理计算，能有效考查逻辑推理能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.65
(1)要证明AD⊥CD，即证∠ADC=90°。首先连接OC、BC，利用切线性质可得OC⊥CD，直径所对圆周角为直角可得∠ACB=90°；再结合等腰三角形等边对等角、角平分线的定义，通过角的等量代换，推导得出∠DAC+∠ACD=90°，即可得到∠ADC=90°。
(2)要求AB的长，可过点C作CE⊥AB，利用角平分线的性质得CD=CE，证明Rt△ADC≌Rt△AEC得到AE=AD；先用勾股定理求出CD的长度，再设BE=x，分别在Rt△BCE和Rt△ABC中用勾股定理表示出BC²，列方程求解x，即可得到AB的长度。
【解析】
(1)证明：连接BC，OC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即$∠ B+∠ CAB=90°$。
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴$∠ DCO=90°$，即$∠ DCA+∠ ACO=90°$。
∵OA=OC，
∴$∠ OAC=∠ OCA$。
∴$∠ B=∠ ACD$。
∵AC平分∠DAB，
∴$∠ DAC=∠ BAC$。
∵$∠ B+∠ BAC=90°$，
∴$∠ DAC+∠ ACD=90°$，
∴$∠ ADC=90°$，即AD⊥CD。
(2)解：过点C作CE⊥AB于点E。
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，
∴CD=CE。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中，
$\begin{cases} AC=AC \\ CD=CE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ AEC(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
∴$CE=1$。
设$BE=x$，则$AB=AE+BE=2+x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC^2=CE^2+BE^2=1+x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC^2=AB^2-AC^2=(2+x)^2-(\sqrt{5})^2$，
∴$1+x^2=(2+x)^2-5$，
解得$x=0.5$，
∴$AB=2+0.5=2.5$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AB=\frac{5}{2}$（或2.5）
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题关键是正确添加辅助线，灵活运用圆的性质、角平分线性质、全等三角形判定及勾股定理进行推理计算，能有效考查逻辑推理能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.65
