3. ⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d和r是方程$2x^2 - 17x + 36 = 0$的两个根，则直线和圆的位置关系是。

3.相交或相离 点拨:此题是直线与圆的位置关系和解一元二次方程的综合题. 通过解方程得出 d 与 r 的值,再进行判断. 要注意此题存在两种情况:$d＞r$ 和 $d＜r$.

【分析】
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。本题中d和r是给定一元二次方程的两个根，因此解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程得到两个根，第二步由于题目未指定d、r分别对应哪个根，需分两种情况讨论二者的大小关系，最终判断位置关系即可。
【解析】
首先求解一元二次方程$2x^2 - 17x + 36 = 0$：
用十字相乘法因式分解得：$(2x-9)(x-4)=0$
解得方程的两个根为$x_1=4$，$x_2=\frac{9}{2}=4.5$
已知d、r是方程的两个根，分两种情况讨论：
1. 当$d=4$，$r=4.5$时，$d＜r$，此时直线l与⊙O相交；
2. 当$d=4.5$，$r=4$时，$d＞r$，此时直线l与⊙O相离。
综上，直线和圆的位置关系为相交或相离。
【答案】
相交或相离
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是注意题目未明确d和r对应的根，需要分类讨论两种可能的情况，避免因漏看条件导致漏解。
【难度系数】
0.7

4.如图30－1－5，直线AB，CD相交于点O，$∠ AOC=30°$，半径为1 cm的$\odot P$的圆心在直线AB上，开始时，$PO=6$ cm.如果$\odot P$以1 cm/s的速度沿AB方向移动，那么s后$\odot P$与直线CD相切。


图30－1－5
图30－1－6

4.4或8 点拨:对于动点问题我们应结合图形进行分析、判断,本题存在两种情况.

【分析】
要解决本题，首先明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。已知∠AOC=30°，⊙P半径为1cm，先计算出相切时圆心P到点O的距离，再结合P的初始位置和移动速度，分P在O点左侧、P在O点右侧两种情况讨论，分别计算移动时间即可。
【解析】
解：当⊙P与直线CD相切时，圆心P到直线CD的距离等于半径1cm。
过点P作PE⊥CD于点E，则PE=1cm。
在Rt△POE中，∠AOC=30°，根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”可得：
$OP=2PE=2×1=2\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当圆心P移动到点O左侧时：
初始$PO=6\mathrm{cm}$，此时需要移动的距离为$6-2=4\mathrm{cm}$，
移动速度为1cm/s，故所需时间$t_1=4÷1=4\mathrm{s}$。
2. 当圆心P移动到点O右侧时：
此时需要移动的距离为$6+2=8\mathrm{cm}$，
所需时间$t_2=8÷1=8\mathrm{s}$。
综上，4s或8s后⊙P与直线CD相切。
【答案】
4或8
【知识点】
直线与圆相切的判定；含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论
【点评】
本题是动点与直线和圆位置关系结合的典型题，解题关键是牢记相切的判定条件，注意分析动点的所有可能位置，避免漏解，结合特殊直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6

5.如图30－1－6，已知$\odot P$的半径为2，圆心$P$在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -1$上运动，当$\odot P$与$x$轴相切时，圆心$P$的坐标为.

5.$(\sqrt{6},2)或(-\sqrt{6},2)$

【分析】
解题时首先回忆直线和圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与x轴相切，因此圆心P到x轴的距离等于半径2，而点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，由此可得到圆心P的纵坐标的可能值；再结合圆心P在抛物线上，将纵坐标代入抛物线解析式即可求出横坐标，注意要验证纵坐标是否在抛物线的取值范围内，舍去无意义的解。
【解析】
解：
∵⊙P与x轴相切，⊙P的半径为2，
∴圆心P到x轴的距离为2，即点P的纵坐标满足|y|=2，
∴y=2或y=-2。
∵圆心P在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -1$上，
①当y=2时，代入解析式得：$\frac{1}{2}x^2 -1=2$，
整理得：$\frac{1}{2}x^2=3$，即$x^2=6$，
解得：$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$；
②当y=-2时，代入解析式得：$\frac{1}{2}x^2 -1=-2$，
整理得：$\frac{1}{2}x^2=-1$，该方程无实数解，故舍去。
综上，圆心P的坐标为$(\sqrt{6},2)$或$(-\sqrt{6},2)$。
【答案】
$(\sqrt{6},2)或(-\sqrt{6},2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合切线的性质确定圆心纵坐标的取值，求解后要注意结合二次函数的取值范围排除不符合题意的解，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

1. 如图30－1－7，P为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$图象上的一个动点，$\odot P$的半径为3，设$P(x,y)$。
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点P的坐标；
(2)直接写出$\odot P$与直线$x=2$相离、相交时，$x$的取值范围。

1. 解:(1)当$\odot P$与直线 $x=2$ 相切时,$|x-2|=3$,即 $x-2=\pm 3$,$\therefore x=5$ 或 $x=-1$.
将 $x=5$ 代入 $y=\frac{3}{2}x$,得 $y=\frac{15}{2}$;
将 $x=-1$ 代入 $y=\frac{3}{2}x$,得 $y=-\frac{3}{2}$.
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$.
(2)当$\odot P$ 与直线 $x=2$ 相离时,$x$ 的取值范围为 $x＜-1$ 或 $x＞5$.
当$\odot P$ 与直线 $x=2$ 相交时,$x$ 的取值范围为 $-1＜x＜5$.

【分析】
解决本题的核心是利用直线与圆的位置关系的判定规则：圆心到直线的距离d与半径r的大小关系对应不同位置关系，即d=r时相切，d＞r时相离，d＜r时相交。首先明确直线x=2是垂直于x轴的直线，圆心P(x,y)到该直线的距离为横坐标差的绝对值|x-2|，已知圆半径r=3。第一问相切时令|x-2|=3，解出x后代入正比例函数解析式即可求出对应y值，得到P点坐标；第二问分别根据相离、相交对应的d与r的大小关系列不等式，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 圆心P(x,y)到直线x=2的距离为$\left|x-2\right|$，已知$\odot P$的半径为3。
当$\odot P$与直线$x=2$相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$\left|x-2\right|=3$，
去绝对值可得$x-2=3$或$x-2=-3$，解得$x=5$或$x=-1$。
∵点P在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
将$x=5$代入解析式得：$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$；
将$x=-1$代入解析式得：$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
∴此时点P的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=2$相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$\left|x-2\right|＞3$，
解不等式得：$x-2＞3$或$x-2＜-3$，即$x＞5$或$x＜-1$；
当$\odot P$与直线$x=2$相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$\left|x-2\right|＜3$，
解不等式得：$-3＜x-2＜3$，即$-1＜x＜5$。
【答案】
(1) 点P的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$；
(2) 相离时$x＜-1$或$x＞5$，相交时$-1＜x＜5$。
【知识点】
直线与圆的位置判定；正比例函数的性质；绝对值运算
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础应用题，结合正比例函数的性质进行考查，解题的关键是准确求出圆心到竖直直线的距离，再根据位置关系对应的数量关系列式求解，注意绝对值运算时不要漏解。
【难度系数】
0.7

2. 已知$∠ MAN=30°$，$O$为$AN$上一点，以$O$为圆心，2为半径作$\odot O$，交$AN$于$D$，$E$两点，设$AD=x$.
(1)如图30－1－8①所示，当$x$为何值时，$\odot O$与$AM$相切？
(2)如图30－1－8②所示，当$x$为何值时，$\odot O$与$AM$相交于$B$，$C$两点，且$∠ BOC=90°$？

2. 解:(1)假设$\odot O$与 $AM$ 相切于点 $F$,如答图 30－1－1①所示,
连接 $OF$,则 $OF=2$.
又$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAF$ 中,$∠ A=30°$,
$\therefore OA=2OF=2× 2=4$.
$\therefore x=AD=OA-OD=4-2=2$.
即 $x=2$ 时,$\odot O$ 与 $AM$ 相切.
(2)如答图 30－1－1②所示,
过 $O$ 作 $OF⊥ BC$,垂足为 $F$.
$\because OB=OC$,且$∠ BOC=90°$,
$\therefore △ BOC$ 为等腰直角三角形,
$\therefore OF=BF=CF=\frac{1}{2}BC$.
$\because BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore OF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$.
又$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中,$∠ OAF=30°$,
$\therefore AO=2OF$.
$\therefore x+2=2\sqrt{2}$,$\therefore x=2\sqrt{2}-2$.
$\therefore$ 当 $x=2\sqrt{2}-2$ 时,$\odot O$ 与 $AM$ 相交于$B,C$两点,且$∠ BOC=90°$.

答图 30－1－1

【分析】
(1) 若$\odot O$与$AM$相切，根据切线的性质，圆心$O$到$AM$的距离等于半径2。我们过$O$作$AM$的垂线得到切点，构造含$30°$角的直角三角形，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”求出$OA$的长度，再结合$AD=OA-OD$（$OD$为$\odot O$半径）即可求出$x$的值。
(2) 当$\odot O$与$AM$交于$B、C$且$∠ BOC=90°$时，$△ BOC$是腰长为2的等腰直角三角形，过$O$作$BC$的垂线，根据垂径定理，该垂线平分$BC$，可求出圆心$O$到$AM$的距离；再在含$30°$角的$\mathrm{Rt}△ AOF$中求出$OA$的长度，结合$OA=AD+OD$即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 设$\odot O$与$AM$相切于点$F$，连接$OF$，则$OF⊥ AM$，$OF=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore OA=2OF=2×2=4$，
又$\because OD=2$，
$\therefore x=AD=OA-OD=4-2=2$。
(2) 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$。
$\because OB=OC=2$，$∠ BOC=90°$，
$\therefore △ BOC$是等腰直角三角形，
$\therefore BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
由垂径定理得$F$为$BC$中点，
$\therefore OF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$∠ A=30°$，
$\therefore OA=2OF=2\sqrt{2}$，
又$\because OA=AD+OD=x+2$，
$\therefore x+2=2\sqrt{2}$，解得$x=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=2\sqrt{2}-2$

【知识点】
切线的性质，垂径定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题围绕直线与圆的位置关系设题，解题时需要结合切线性质、垂径定理以及特殊直角三角形的边角关系计算线段长度，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，将位置关系转化为线段长度的数量关系求解。
【难度系数】
0.7