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1.图30－1－1是一幅日出美景，图中太阳、海天交界处可分别看成一个圆和一条直线，则它们的位置关系是（
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
B
）A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确直线与圆的三类位置关系的判定标准：根据直线和圆的公共点个数区分，无公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交。接下来结合题目给出的日出场景，判断作为圆的太阳和作为直线的海天交界处的公共点个数，再对应到对应的位置关系即可。
【解析】
直线与圆的位置关系共有3种，判断规则如下：
1. 若直线与圆没有公共点，位置关系为相离；
2. 若直线与圆有且只有1个公共点，位置关系为相切；
3. 若直线与圆有2个公共点，位置关系为相交。
本题中，代表圆的太阳和代表直线的海天交界处存在2个公共点，因此二者的位置关系是相交，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实景考察几何基础概念，将生活场景与数学知识结合，难度较低，只要熟练掌握直线与圆三类位置关系的判定依据即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确直线与圆的三类位置关系的判定标准：根据直线和圆的公共点个数区分，无公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交。接下来结合题目给出的日出场景，判断作为圆的太阳和作为直线的海天交界处的公共点个数，再对应到对应的位置关系即可。
【解析】
直线与圆的位置关系共有3种，判断规则如下：
1. 若直线与圆没有公共点，位置关系为相离；
2. 若直线与圆有且只有1个公共点，位置关系为相切；
3. 若直线与圆有2个公共点，位置关系为相交。
本题中，代表圆的太阳和代表直线的海天交界处存在2个公共点，因此二者的位置关系是相交，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实景考察几何基础概念，将生活场景与数学知识结合，难度较低，只要熟练掌握直线与圆三类位置关系的判定依据即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图30－1－2，若$\odot O$的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是(
A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
B
)A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
答案
2.B
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆直线与圆位置关系的判定逻辑，核心是通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小来判断位置关系。首先提取题目已知条件：⊙O的半径r=5，圆心到目标直线的距离d=2.5，接下来先比较d和r的大小，确定直线与圆的位置，再对应图中四条直线的位置即可选出答案。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；
2. 当d=r时，直线与圆相切，仅有1个公共点；
3. 当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。
由题意得r=5，d=2.5，显然2.5＜5，即d＜r，因此这条直线与⊙O相交。结合图形中四条直线与⊙O的位置，可知相交的直线为$l_2$。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是熟记d与r的大小关系对应的三种位置，无复杂计算，掌握基础判定规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先要回忆直线与圆位置关系的判定逻辑，核心是通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小来判断位置关系。首先提取题目已知条件：⊙O的半径r=5，圆心到目标直线的距离d=2.5，接下来先比较d和r的大小，确定直线与圆的位置，再对应图中四条直线的位置即可选出答案。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；
2. 当d=r时，直线与圆相切，仅有1个公共点；
3. 当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。
由题意得r=5，d=2.5，显然2.5＜5，即d＜r，因此这条直线与⊙O相交。结合图形中四条直线与⊙O的位置，可知相交的直线为$l_2$。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是熟记d与r的大小关系对应的三种位置，无复杂计算，掌握基础判定规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.【学科内综合】已知$\odot O$的圆心到直线$l$的距离是一元二次方程$x^2 - x - 20 = 0$的一个根，若$\odot O$与直线$l$相离，则$\odot O$的半径可能为(
A.4
B.5
C.6
D.7
A
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3.A
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程求解和直线与圆相离的判定条件解题，思路如下：第一步先求解给定的一元二次方程，结合距离的非负性确定圆心到直线$l$的距离$d$；第二步回忆直线与圆相离的性质：圆与直线相离时，圆的半径$r$小于圆心到直线的距离$d$，得到$r$的取值范围；第三步对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 - x - 20 = 0$：
因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
因为圆心到直线的距离为非负数，因此圆心$O$到直线$l$的距离$d=5$。
2. 结合直线与圆相离的条件判断半径范围：
若$\odot O$与直线$l$相离，则半径$r ＜ d$，即$r ＜ 5$。
3. 对照选项，只有4满足$r＜5$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的求解；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和直线与圆的位置关系两个知识点结合考查，解题核心是先确定圆心到直线的距离，再结合相离的条件得到半径的取值范围，即可快速选出答案。
【难度系数】
0.8
本题需结合一元二次方程求解和直线与圆相离的判定条件解题，思路如下：第一步先求解给定的一元二次方程，结合距离的非负性确定圆心到直线$l$的距离$d$；第二步回忆直线与圆相离的性质：圆与直线相离时，圆的半径$r$小于圆心到直线的距离$d$，得到$r$的取值范围；第三步对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 - x - 20 = 0$：
因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
因为圆心到直线的距离为非负数，因此圆心$O$到直线$l$的距离$d=5$。
2. 结合直线与圆相离的条件判断半径范围：
若$\odot O$与直线$l$相离，则半径$r ＜ d$，即$r ＜ 5$。
3. 对照选项，只有4满足$r＜5$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的求解；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和直线与圆的位置关系两个知识点结合考查，解题核心是先确定圆心到直线的距离，再结合相离的条件得到半径的取值范围，即可快速选出答案。
【难度系数】
0.8
4.【教材P149例1变式】已知$∠ AOB=60°$,点C在OA上,且$OC=4$,若以C为圆心,R为半径的圆与直线OB相交,则R的取值范围是
$R＞2\sqrt{3}$
.答案
4.$R＞2\sqrt{3}$ 点拨:画出图形,结合图形可知圆心 C 到直线 OB 的距离为 $2\sqrt{3}$,因此当$R＞2\sqrt{3}$时,$\odot C$与直线 OB 相交.
解析
【分析】
解决本题首先要明确直线与圆相交的判定规则：若圆心到直线的距离为d，圆半径为R，当d＜R时，直线与圆相交。因此我们需要先求出圆心C到直线OB的距离d：已知∠AOB=60°、OC=4，过C作OB的垂线段，该垂线段的长度即为d，可通过直角三角形的边角关系求出d，再结合相交的判定条件即可得到R的取值范围。
【解析】
过点C作CD⊥OB，垂足为D，CD即为圆心C到直线OB的距离。
在Rt△OCD中，∠COD=∠AOB=60°，OC=4，
∴ $CD = OC·\sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
根据直线与圆相交的条件：半径大于圆心到直线的距离，可得当R＞CD时，$\odot C$与直线OB相交，即$R＞2\sqrt{3}$。
【答案】
$R＞2\sqrt{3}$
【知识点】
直线与圆相交的判定、解直角三角形
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用，解题核心是先求出圆心到直线的距离，再对应相交的判定条件推导半径范围，需要熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的d和R的大小关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确直线与圆相交的判定规则：若圆心到直线的距离为d，圆半径为R，当d＜R时，直线与圆相交。因此我们需要先求出圆心C到直线OB的距离d：已知∠AOB=60°、OC=4，过C作OB的垂线段，该垂线段的长度即为d，可通过直角三角形的边角关系求出d，再结合相交的判定条件即可得到R的取值范围。
【解析】
过点C作CD⊥OB，垂足为D，CD即为圆心C到直线OB的距离。
在Rt△OCD中，∠COD=∠AOB=60°，OC=4，
∴ $CD = OC·\sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
根据直线与圆相交的条件：半径大于圆心到直线的距离，可得当R＞CD时，$\odot C$与直线OB相交，即$R＞2\sqrt{3}$。
【答案】
$R＞2\sqrt{3}$
【知识点】
直线与圆相交的判定、解直角三角形
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用，解题核心是先求出圆心到直线的距离，再对应相交的判定条件推导半径范围，需要熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的d和R的大小关系。
【难度系数】
0.8
1. 如图30－1－3，在半径为5 cm的⊙O中，直线l交⊙O于A，B两点，且弦AB＝8 cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移（
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
B
）A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题的核心是先求出当前圆心到直线l的距离，再结合直线与圆相切的性质计算平移距离。具体思考路径：①过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半；②在直角三角形中用勾股定理算出圆心到直线l的现有距离；③直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，两者的差值就是需要向下平移的距离。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此AC = ½AB = ½×8 = 4 cm。
已知⊙O半径OA = 5 cm，在Rt△AOC中，由勾股定理可得：
OC = √(OA² - AC²) = √(5² - 4²) = √9 = 3 cm。
当直线l与⊙O相切时，圆心O到直线l的距离等于半径5 cm，因此直线l需要向下平移的距离为5 - 3 = 2 cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆相切的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础综合题，解题关键是利用垂径定理和勾股定理求出圆心到直线的现有距离，再结合相切的条件计算平移距离，能较好地考查学生对圆的性质和直线与圆位置关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先求出当前圆心到直线l的距离，再结合直线与圆相切的性质计算平移距离。具体思考路径：①过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半；②在直角三角形中用勾股定理算出圆心到直线l的现有距离；③直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，两者的差值就是需要向下平移的距离。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此AC = ½AB = ½×8 = 4 cm。
已知⊙O半径OA = 5 cm，在Rt△AOC中，由勾股定理可得：
OC = √(OA² - AC²) = √(5² - 4²) = √9 = 3 cm。
当直线l与⊙O相切时，圆心O到直线l的距离等于半径5 cm，因此直线l需要向下平移的距离为5 - 3 = 2 cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆相切的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础综合题，解题关键是利用垂径定理和勾股定理求出圆心到直线的现有距离，再结合相切的条件计算平移距离，能较好地考查学生对圆的性质和直线与圆位置关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
2.如图30－1－4，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，$\odot O$的半径为1，若将$\odot O$绕点C按顺时针方向旋转$360°$，在旋转过程中，$\odot O$与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现了（
A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
C
）A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
答案
2.C
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步先计算旋转时圆心O到旋转中心C的距离，明确O的运动轨迹；第二步结合直线与圆相切的判定条件，逐一分析⊙O与等边三角形三条边（线段）只有一个公共点（即相切）的情况，最后统计总次数即可。首先由已知线段长可得OC=OD-CD=5，因此旋转时O的轨迹是以C为圆心、半径为5的圆；⊙O半径为1，因此相切时圆心O到对应边的距离等于1，据此分析每条边的相切次数。
【解析】
1. 计算OC长度与圆心轨迹：
已知OD=11，CD=6，点O在DC延长线上，因此$OC=OD-CD=11-6=5$。将⊙O绕C旋转时，圆心O的运动轨迹是以C为圆心、半径为5的圆。
2. 分边分析相切次数：
⊙O半径为1，当⊙O与三角形的边相切时，圆心O到该边的距离恰好等于1：
① 与AB边相切：CD是等边三角形的高，因此C到AB的距离为6，圆心O到AB的最小距离为$6-OC=1$，恰好等于半径，仅当O旋转到线段CD上（C、D之间）时⊙O与AB相切，共1次。
② 与AC边相切：到AC距离为1的两条平行线（分处AC两侧）与O的轨迹圆有2个交点，且对应的切点都在线段AC上，因此共2次相切。
③ 与BC边相切：与AC边同理，到BC距离为1的直线与轨迹圆有2个符合条件的交点，对应2次相切。
3. 总次数统计：$1+2+2=5$次。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，旋转的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何动态类问题，解题关键是明确旋转过程中圆心的运动轨迹，结合相切的判定条件逐一分析各边的相切情况，注意三角形的边是线段而非直线，避免多算延长线上的无效相切情况。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：第一步先计算旋转时圆心O到旋转中心C的距离，明确O的运动轨迹；第二步结合直线与圆相切的判定条件，逐一分析⊙O与等边三角形三条边（线段）只有一个公共点（即相切）的情况，最后统计总次数即可。首先由已知线段长可得OC=OD-CD=5，因此旋转时O的轨迹是以C为圆心、半径为5的圆；⊙O半径为1，因此相切时圆心O到对应边的距离等于1，据此分析每条边的相切次数。
【解析】
1. 计算OC长度与圆心轨迹：
已知OD=11，CD=6，点O在DC延长线上，因此$OC=OD-CD=11-6=5$。将⊙O绕C旋转时，圆心O的运动轨迹是以C为圆心、半径为5的圆。
2. 分边分析相切次数：
⊙O半径为1，当⊙O与三角形的边相切时，圆心O到该边的距离恰好等于1：
① 与AB边相切：CD是等边三角形的高，因此C到AB的距离为6，圆心O到AB的最小距离为$6-OC=1$，恰好等于半径，仅当O旋转到线段CD上（C、D之间）时⊙O与AB相切，共1次。
② 与AC边相切：到AC距离为1的两条平行线（分处AC两侧）与O的轨迹圆有2个交点，且对应的切点都在线段AC上，因此共2次相切。
③ 与BC边相切：与AC边同理，到BC距离为1的直线与轨迹圆有2个符合条件的交点，对应2次相切。
3. 总次数统计：$1+2+2=5$次。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，旋转的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何动态类问题，解题关键是明确旋转过程中圆心的运动轨迹，结合相切的判定条件逐一分析各边的相切情况，注意三角形的边是线段而非直线，避免多算延长线上的无效相切情况。
【难度系数】
0.6
