5.(浙江)如图29－17,矩形ABCD内接于$\odot O$,E是$\overset{\frown}{AD}$上一点,连接EB,EC分别交AD于点F,G.若$AF=1$,$EG=FG=3$,则$\odot O$的直径为.


图29－17
图29－18

5.$2\sqrt{14}$ 点拨:如答图 29－3,连接 AC 交 BE 于点 H,
∵EG=FG=3,
∴∠BEC=∠GFE=∠AFB.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BEC=∠BAC.
∴∠AFB=∠BAC.
∴∠AHB=∠DAC+∠AFB=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°.
∴∠DAC=90°-∠BAC=∠ABE.
∵$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$,
∴∠ABE=∠ACE.
∴∠DAC=∠ACE.
∴CG=AG=AF+FG=1+3=4.
∵四边形 ABCD 是矩形,且矩形 ABCD 的外接圆为$\odot O$,
∴AC 是$\odot O$的直径(提示:矩形的对角线即其外接圆的一条直径,可根据圆周角定理的推论得出).
∴∠AEG=90°.
∴∠CDG=∠AEG.又∠CGD=∠AGE,CG=AG,
∴△CDG≌△AEG.
∴DG=EG=3.
∴AD=AG+DG=4+3=7,$CD=\sqrt{CG^2-DG^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,
∴$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+(\sqrt{7})^2}=2\sqrt{14}$.
∴$\odot O$的直径为$2\sqrt{14}$.

【分析】
解题核心目标是求⊙O的直径，由矩形内接于圆的性质可知，矩形的对角线AC就是⊙O的直径，因此只需计算AC的长度即可。首先从已知等线段EG=FG入手，利用等腰三角形等边对等角得到等角，再结合同弧所对圆周角相等完成角的等量转化，推导出AG=CG；接着利用直径所对圆周角为直角的性质，证明三角形全等得到DG的长度；最后分别求出矩形的边长AD、CD，用勾股定理计算AC即可。
【解析】
解：连接AC交BE于点H，
∵EG=FG=3，
∴∠BEC=∠GFE，
∵∠GFE=∠AFB（对顶角相等），且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BEC=∠BAC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠AFB=∠BAC。
∵∠AHB=∠DAC+∠AFB=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°（矩形内角为直角），
∴∠DAC=90°-∠AFB，∠ABE=90°-∠BAC，
∴∠DAC=∠ABE。
∵$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$，
∴∠ABE=∠ACE（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAC=∠ACE，
∴CG=AG=AF+FG=1+3=4。
∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴AC是⊙O的直径（90°圆周角所对的弦为直径），
∴∠AEC=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠AEG=∠CDG=90°。
在△CDG和△AEG中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDG=∠ AEG\\ ∠ CGD=∠ AGE（对顶角相等）\\ CG=AG\end{array} $
∴△CDG≌△AEG（AAS），
∴DG=EG=3，
∴AD=AG+DG=4+3=7。
在Rt△CDG中，$CD=\sqrt{CG^2-DG^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+(\sqrt{7})^2}=2\sqrt{14}$。
【答案】
$2\sqrt{14}$
【知识点】
圆周角定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的综合题，解题关键是通过角的等量转化得到线段相等关系，结合全等三角形的性质求出矩形边长，对几何逻辑推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.3

6.(四川成都)如图29－18，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点，若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为。

6.$\frac{π}{6}$ 点拨:如答图 29－4,连接 OB,交 AC 于点 D.
∵四边形 OABC 为平行四边形,且 OA=OC,
∴平行四边形 OABC 是菱形.
∴OA=OB=AB.
∴△AOB 是等边三角形.
∴∠AOB=60°.又
∵$S_{△AOD}=S_{△CBD}$(提示:菱形的对角线互相垂直且平分),
∴$S_{阴影}=S_{扇形OAB}=\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$.

【分析】
要求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法将其转化为规则图形的面积计算。首先结合已知条件：⊙O的半径均相等，四边形OABC是平行四边形，可先判定四边形OABC的形状，再推导对应圆心角的度数，最后通过等积变换将阴影面积转化为扇形面积即可求解。
【解析】
解：如答图29-4，连接OB，交AC于点D。
∵ 四边形OABC为平行四边形，且OA=OC（⊙O的半径相等），
∴ 平行四边形OABC是菱形，
∴ AB=OA，AD=DC，OD=DB。
又
∵ OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
在△AOD和△CBD中，$\{\begin{array}{l}AD=DC\\ ∠ ADO=∠ CDB\\ OD=DB\end{array} $，
∴ △AOD≌△CBD（SAS），即$S_{△ AOD}=S_{△ CBD}$，
∴ 阴影部分的面积可转化为扇形OAB的面积。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=60°$，半径$r=1$，
得$S_{阴影}=S_{扇形OAB}=\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$

【知识点】
菱形的判定与性质，等边三角形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题核心是利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，结合特殊四边形和等边三角形的性质推导圆心角度数即可求解，是圆中面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6

7.(辽宁)如图29－19,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径作⊙O,与AC相交于点D.连接OC,与⊙O相交于点E.
(1)如图29－19①,连接DE,求∠ADE的度数.
(2)如图29－19②,若点D为AC的中点,且AC=6,求$\overset{\frown}{DE}$的长.

7.解:(1)如答图 29－5①,连接 BD(巧作辅助线:连接弦,将∠ADE 分为∠ADB 和∠BDE,为应用圆周角定理及其推论求角的大小提供条件).
∵AC=BC,OA=OB,
∴OC⊥AB(提示:等腰三角形“三线合一”).
∴∠BOC=∠AOC=90°.
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°(提示:圆周角定理).
∵AB 是$\odot O$的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+45°=135°.
(2)如答图 29－5②,连接 OD(巧作辅助线:连接线段,构造直角三角形斜边的中线,为应用直角三角形的性质提供条件,并且构造出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角,为应用弧长公式做准备).
∵∠AOC=90°,点 D 为 AC 的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=3(提示:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),AD=$\frac{1}{2}$AC.
∴OD=AD.
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD.
即△AOD 是等边三角形.
∴∠AOD=60°.
∴∠DOE=∠AOC-∠AOD=90°-60°=30°.
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30×π×3}{180}=\frac{π}{2}$.

【分析】
(1) 求∠ADE的度数时，可将其拆分为∠ADB与∠BDE的和求解。首先AB是⊙O直径，由直径所对圆周角为直角，可得∠ADB=90°；再结合AC=BC、O是AB中点，由等腰三角形三线合一得OC⊥AB，即圆心角∠BOC=90°，根据圆周角定理可求出对应的圆周角∠BDE=45°，两个角相加即可得到∠ADE的度数。
(2) 求$\overset{\frown}{DE}$的长需用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，因此要先确定弧DE对应的圆心角度数和⊙O的半径。连接OD，在Rt△AOC中，D是AC中点，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OD=AD=OA，即△AOD为等边三角形，得到∠AOD=60°；结合∠AOC=90°可算出∠DOE=30°，再由AC=6得半径为3，代入公式即可求出弧长。
【解析】
(1) 如答图29-5①，连接BD。
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一），
∴∠BOC=∠AOC=90°。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得$∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+45°=135°。
(2) 如答图29-5②，连接OD。
∵∠AOC=90°，点D为AC的中点，
∴$OD=\frac{1}{2}AC=3$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），$AD=\frac{1}{2}AC=3$。
∴OD=AD，又
∵OA=OD（⊙O的半径相等），
∴OA=OD=AD，即△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=∠AOC-∠AOD=90°-60°=30°。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30×π×3}{180}=\frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{π}{2}}$

【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，弧长计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题核心是通过作辅助线建立已知条件和所求量的联系，灵活运用等腰三角形、直角三角形和圆的基本性质转化问题，考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

8.(广西)如图29－20，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(1)求证：△BOC≌△DOC。
(2)求∠ABD的度数。

8.(1)证明:
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠BOC=∠DOC.
在$\odot O$中,OB=OD,OC=OC,
∴△BOC≌△DOC(SAS).
(2)解:
∵∠ABC=65°,OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=65°.
∴∠DOC=∠BOC=180°-2×65°=50°.
∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC=180°-50°-50°=80°.
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×80°=40°.

【分析】
(1)要证明△BOC≌△DOC，首先结合已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得∠BOC=∠DOC；再利用圆的半径都相等的性质，得到OB=OD，且OC为两个三角形的公共边，即可通过SAS判定定理证明全等。
(2)要求∠ABD的度数，先根据OB=OC可知△OBC为等腰三角形，结合已知∠ABC=65°可求出∠BOC的度数；再由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得∠DOC=∠BOC，进而求出∠AOD的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可算出∠ABD的度数。
【解析】
(1)证明:
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠BOC=∠DOC.
在$\odot O$中,OB=OD,OC=OC,
∴△BOC≌△DOC(SAS).
(2)解:
∵∠ABC=65°,OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=65°.
∴∠DOC=∠BOC=180°-2×65°=50°.
∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC=180°-50°-50°=80°.
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
【答案】
(1)△BOC≌△DOC得证；(2)∠ABD的度数为40°
【知识点】
弧与圆心角的关系、全等三角形的判定、圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础题，综合考查了圆的基本性质、全等三角形判定、等腰三角形性质和圆周角定理，解题的关键是挖掘圆中半径相等、等弧对等圆心角的隐含条件，逐步推导得到所需结论。
【难度系数】
0.75