9.在$\odot O$中，直径为4，弦$AB=2\sqrt{3}$，点C是圆上不同于A，B的点，那么$∠ ACB$的度数为________.

9.$60°$或$120°$
点拨:分两种情况:①当点 C 在弦 AB 所对的优弧上时，$∠ACB=60°$；②当点 C 在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ACB=120°$.

【分析】
解题时首先连接OA、OB构造圆心角，结合已知直径与弦长，利用垂径定理和直角三角形的性质求出弦AB所对的圆心角∠AOB的度数；再根据点C的位置分类讨论：点C在AB所对的优弧上、点C在AB所对的劣弧上，分别结合圆周角定理及其相关性质计算∠ACB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D。
∵⊙O的直径为4，
∴半径OA=OB=2。
由垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
在Rt△AOD中，$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴$OD=\frac{1}{2}OA$，
∴∠OAD=30°，则∠AOD=60°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°。
分两种情况讨论：
①当点C在弦AB所对的优弧上时，根据圆周角定理，$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$；
②当点C在弦AB所对的劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ ACB=180°-60°=120°$。
综上，∠ACB的度数为60°或120°。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查圆的相关性质，易错点是忽略点C的位置有两种情况，导致漏解。解题时先通过垂径定理求出圆心角，再分情况结合圆周角的性质计算即可。
【难度系数】
0.6

10.如图29－12，在直径为10 cm的$\odot O$中，OE垂直于弦AB，垂足为点E，且OE＝4 cm，求弦AB的长。

10.解:如答图 29－1,连接 AO.
在 Rt△AOE 中，
$AE=\sqrt{AO^2-OE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$，
则弦 AB 的长为 6 cm.

【分析】
本题求解圆中弦长，首先观察到OE垂直弦AB，可结合垂径定理得到AB=2AE，因此只需计算AE的长度即可。已知圆的直径可先求出半径OA的长度，又OE⊥AB可知△AOE为直角三角形，利用勾股定理计算AE长度，进而求出AB的长。
【解析】
解：如答图29-1，连接AO。
∵⊙O的直径为10 cm，
∴半径$AO=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
∵OE垂直于弦AB，根据垂径定理可得E为AB的中点，即$AB=2AE$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AO^2-OE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3(\mathrm{cm})$
∴$AB=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
弦AB的长为6 cm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题关键是连接半径构造直角三角形，将弦长计算问题转化为直角三角形边长求解问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

1.(重庆)如图29-13，点A,B,C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是()

A.40°
B.50°
C.80°
D.100°

1.B 点拨:
∵∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°.故选B.

【分析】
解题时首先观察已知角和所求角对应的弧以及角的类型：已知∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，待求的∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，回忆圆周角定理的核心内容：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直接利用该定理即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
将$∠ AOB=100°$代入，得$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2.(湖北武汉)如图29－14，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，若$AB=6$，$CD=\sqrt{13}$，则$\odot O$的半径是()

A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5




图29－13
图29－14
图29－15
图29－16

2.A 点拨:如答图 29－2,取$\overset{\frown}{AB}$的中点 K,连接 OK 交 AB 于点 T,连接 AK,则 OT⊥AB,$AT=BT=\frac{1}{2}AB=3$,$\overset{\frown}{AK}=\overset{\frown}{BK}=\overset{\frown}{CD}$,则$AK=CD=\sqrt{13}$.在 Rt△ATK 中,由勾股定理得$TK=\sqrt{AK^2-AT^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$.连接 OA,设$\odot O$的半径为 r,则 OT=r-2.在 Rt△AOT 中,$OT^2+AT^2=AO^2$,即$(r-2)^2+3^2=r^2$,解得$r=\frac{13}{4}$.故选 A.

【分析】
本题已知弧的倍数关系和对应弦长，求圆的半径，解题思路如下：第一步，根据$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，可将$\overset{\frown}{AB}$平分得到两段与$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，利用“等弧对等弦”得到长度等于CD的弦；第二步，结合垂径定理，圆心与弧中点的连线垂直平分对应弦，可构造两个直角三角形；第三步，设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：取$\overset{\frown}{AB}$的中点K，连接OK交AB于点T，连接AK、OA。
根据垂径定理可得：$OT⊥ AB$，$AT=BT=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，K为$\overset{\frown}{AB}$中点，
∴$\overset{\frown}{AK}=\overset{\frown}{BK}=\overset{\frown}{CD}$，
根据等弧对等弦得：$AK=CD=\sqrt{13}$。
在$Rt△ ATK$中，由勾股定理得：
$TK=\sqrt{AK^2-AT^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=r$，$OT=OK-TK=r-2$。
在$Rt△ AOT$中，由勾股定理得：$OT^2+AT^2=AO^2$，
代入得：$(r-2)^2+3^2=r^2$，
展开整理：$r^2-4r+4+9=r^2$，
即$-4r=-13$，解得$r=\frac{13}{4}$。
【答案】A

【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是通过拆分等弧将已知条件建立关联，结合垂径定理构造直角三角形，运用方程思想求解未知量，能很好地考察对圆的基本性质的掌握程度和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6

3.(湖北)如图29－15，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ BAC=30°$，分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交$\odot O$于点E，连接OA，OE，则$∠ AOE$的度数是()

A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$

3.C 点拨:由作图可知,MN是线段 AB 的垂直平分线.
∵点 D 是 AC 与 MN 的交点,
∴DA=DB(提示:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
∴∠DBA=∠DAB=30°,
∴∠AOE=2∠ABE=2×30°=60°.故选 C.

【分析】
解题时首先识别题目中的尺规作图类型：以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，过两弧交点作直线的作法，是作线段AB的垂直平分线，由此可得MN上的点D到A、B两端点的距离相等，推出$△ DAB$是等腰三角形得到等角，再结合圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可求出$∠ AOE$的度数。
【解析】
解：由尺规作图的作法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$DA=DB$。
∴$∠ DBA=∠ BAC=30°$，即$∠ ABE=30°$。
∵$∠ AOE$是弧$AE$所对的圆心角，$∠ ABE$是弧$AE$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠ AOE=2∠ ABE=2×30°=60°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线；2. 线段垂直平分线的性质；3. 圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，考查对尺规作图的识别以及基础几何性质的应用，熟练掌握基本作图的含义和对应几何定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4.(广东深圳)如图29－16，以矩形ABCD的顶点B为圆心，BC的长为半径作$\odot B$，交AB于点F，E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在$\odot B$上，且F为EG的中点.若$AF=1$，$AE=3$，则CD的长为.

4.6 点拨:设$\odot B$的半径为 r,则 BC=BF=r.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,CD=AB,∠A=∠D=90°,
∵AF=1,AE=3,
∴DE=r-3,CD=r+1,$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
∵F 是 EG 的中点,
∴EG=2EF=2$\sqrt{10}$.根据旋转的性质可得 CE=EG=2$\sqrt{10}$.在 Rt△CDE 中,$CD^2+DE^2=CE^2$,
∴$(r+1)^2+(r-3)^2=(2\sqrt{10})^2$,
∴$r^2-2r-15=0$,解得$r_1=-3$(舍去),$r_2=5$,
∴CD=6.

【分析】
这是一道几何综合题，解题时可按以下思路推导：1. 先设$\odot B$的半径为$r$，利用矩形的性质将相关边长用含$r$的代数式表示；2. 在$Rt△ AEF$中用勾股定理求出$EF$的长度，结合$F$是$EG$中点、旋转的性质得到$CE$的长度；3. 最后在$Rt△ CDE$中利用勾股定理列方程求解$r$，即可算出$CD$的长度。
【解析】
设$\odot B$的半径为$r$，则$BC=BF=r$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=r$，$CD=AB$，$∠ A=∠ D=90°$，
∵$AF=1$，$AE=3$，
∴$AB=AF+BF=r+1$，即$CD=r+1$，$DE=AD-AE=r-3$，
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵$F$是$EG$的中点，
∴$EG=2EF=2\sqrt{10}$，
由旋转的性质可得$CE=EG=2\sqrt{10}$，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得$CD^2+DE^2=CE^2$，
代入边长得：$(r+1)^2+(r-3)^2=(2\sqrt{10})^2$，
整理得$r^2-2r-15=0$，
解得$r_1=-3$（半径为正数，舍去），$r_2=5$，
∴$CD=r+1=5+1=6$。
【答案】
6
【知识点】
矩形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题综合了几何性质应用与方程思想的考查，解题关键是合理设未知数，将几何边长关系转化为方程求解，能有效检验学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6