登录
1. 已知$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$，则$\frac{x-y}{y}$的值为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$-\frac{1}{5}$
A
）A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$-\frac{1}{5}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题是已知比例式求分式值的基础题，有两种常用解题思路：思路一：先将所求分式$\frac{x-y}{y}$拆分为同分母分式相减的形式，转化为含$\frac{x}{y}$的式子，再代入已知条件直接计算；思路二：遇到比例式时可通过设参数的方法，将x、y用含同一参数的代数式表示，再代入所求分式约分计算即可得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式法
根据分式的减法法则拆分所求式子：
$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$
已知$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$，代入上式计算：
原式$=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$
方法二：参数法
由$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$，设$x=5k$，$y=4k$（$k≠0$），将其代入所求式子：
$\frac{x-y}{y}=\frac{5k-4k}{4k}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查比例相关的计算，两种常规解法都较为简单，熟练掌握后可快速得出答案，计算时注意不要混淆分子的运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
本题是已知比例式求分式值的基础题，有两种常用解题思路：思路一：先将所求分式$\frac{x-y}{y}$拆分为同分母分式相减的形式，转化为含$\frac{x}{y}$的式子，再代入已知条件直接计算；思路二：遇到比例式时可通过设参数的方法，将x、y用含同一参数的代数式表示，再代入所求分式约分计算即可得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式法
根据分式的减法法则拆分所求式子：
$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$
已知$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$，代入上式计算：
原式$=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$
方法二：参数法
由$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$，设$x=5k$，$y=4k$（$k≠0$），将其代入所求式子：
$\frac{x-y}{y}=\frac{5k-4k}{4k}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查比例相关的计算，两种常规解法都较为简单，熟练掌握后可快速得出答案，计算时注意不要混淆分子的运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
2. 如图，直线AD，BC相交于点O，AB//EF//CD，若BO=2，OE=1，EC=2，则$\frac{AF}{FD}$的值为 （
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{5}$
A
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
题目给出一组平行线$AB// EF// CD$，要求线段比值$\frac{AF}{FD}$，可利用平行线分线段成比例定理（或平行线判定相似三角形的性质）求解。首先分别根据$AB// EF$、$EF// CD$，找到$BC$线段上的已知线段长度与$AD$线段上对应线段的比例关系，再以公共线段$OF$为中间量，分别表示出$AF$和$FD$的长度，最终计算比值即可。
【解析】
解：$\because AB// EF$
$\therefore \frac{AO}{OF}=\frac{BO}{OE}$（平行线分线段成比例，或由$△ AOB∽ △ FOE$可得）
已知$BO=2$，$OE=1$，代入得：$\frac{AO}{OF}=\frac{2}{1}$，即$AO=2OF$。
$\because EF// CD$
$\therefore \frac{OF}{FD}=\frac{OE}{EC}$（平行线分线段成比例，或由$△ FOE∽ △ DOC$可得）
已知$OE=1$，$EC=2$，代入得：$\frac{OF}{FD}=\frac{1}{2}$，即$FD=2OF$。
又$\because AF=AO+OF=2OF+OF=3OF$
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{3OF}{2OF}=\frac{3}{2}$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、比例计算
【点评】
本题是平行线与比例结合的基础题，核心是利用平行线得到成比例的对应线段，通过中间量关联未知线段，进而求出目标比值，解题时要注意对应线段不要找错。
【难度系数】
0.7
题目给出一组平行线$AB// EF// CD$，要求线段比值$\frac{AF}{FD}$，可利用平行线分线段成比例定理（或平行线判定相似三角形的性质）求解。首先分别根据$AB// EF$、$EF// CD$，找到$BC$线段上的已知线段长度与$AD$线段上对应线段的比例关系，再以公共线段$OF$为中间量，分别表示出$AF$和$FD$的长度，最终计算比值即可。
【解析】
解：$\because AB// EF$
$\therefore \frac{AO}{OF}=\frac{BO}{OE}$（平行线分线段成比例，或由$△ AOB∽ △ FOE$可得）
已知$BO=2$，$OE=1$，代入得：$\frac{AO}{OF}=\frac{2}{1}$，即$AO=2OF$。
$\because EF// CD$
$\therefore \frac{OF}{FD}=\frac{OE}{EC}$（平行线分线段成比例，或由$△ FOE∽ △ DOC$可得）
已知$OE=1$，$EC=2$，代入得：$\frac{OF}{FD}=\frac{1}{2}$，即$FD=2OF$。
又$\because AF=AO+OF=2OF+OF=3OF$
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{3OF}{2OF}=\frac{3}{2}$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、比例计算
【点评】
本题是平行线与比例结合的基础题，核心是利用平行线得到成比例的对应线段，通过中间量关联未知线段，进而求出目标比值，解题时要注意对应线段不要找错。
【难度系数】
0.7
3. 已知 P 是线段 AB 上的一点,线段 AP 是 PB 和 AB 的比例中项线段,下列结论中,正确的是（
A.$\frac{PB}{AP}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{AP}{PB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C
）A.$\frac{PB}{AP}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{AP}{PB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据比例中项的定义，可得到AP、PB、AB三者的数量关系$AP^2=PB· AB$。为了简化计算，我们可以设AB的长度为1，AP的长度为x，那么PB的长度为$1-x$，代入数量关系即可得到关于x的一元二次方程，解出正根后再分别计算各选项的比值，和选项内容对比即可选出正确答案。
【解析】
解：设$AB=1$，$AP=x$，则$PB=AB-AP=1-x$。
∵AP是PB和AB的比例中项，
∴$AP^2 = PB· AB$，即$x^2 = (1-x)×1$，
整理得$x^2 + x - 1 = 0$，
由求根公式得$x = \frac{-1\pm\sqrt{1^2+4×1×1}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段长度为正数，
∴$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
逐一验证选项：
A选项：$\frac{PB}{AP} = \frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，错误；
B选项：$\frac{PB}{AB} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，错误；
C选项：$\frac{AP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ÷1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，正确；
D选项：$\frac{AP}{PB} = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，错误。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例中项，黄金分割，一元二次方程的解法
【点评】
本题将比例中项的性质和线段比值计算相结合，设参数转化为方程求解是这类问题的常用解题思路，熟练掌握黄金分割的相关结论可以进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据比例中项的定义，可得到AP、PB、AB三者的数量关系$AP^2=PB· AB$。为了简化计算，我们可以设AB的长度为1，AP的长度为x，那么PB的长度为$1-x$，代入数量关系即可得到关于x的一元二次方程，解出正根后再分别计算各选项的比值，和选项内容对比即可选出正确答案。
【解析】
解：设$AB=1$，$AP=x$，则$PB=AB-AP=1-x$。
∵AP是PB和AB的比例中项，
∴$AP^2 = PB· AB$，即$x^2 = (1-x)×1$，
整理得$x^2 + x - 1 = 0$，
由求根公式得$x = \frac{-1\pm\sqrt{1^2+4×1×1}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段长度为正数，
∴$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
逐一验证选项：
A选项：$\frac{PB}{AP} = \frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，错误；
B选项：$\frac{PB}{AB} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，错误；
C选项：$\frac{AP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ÷1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，正确；
D选项：$\frac{AP}{PB} = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，错误。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例中项，黄金分割，一元二次方程的解法
【点评】
本题将比例中项的性质和线段比值计算相结合，设参数转化为方程求解是这类问题的常用解题思路，熟练掌握黄金分割的相关结论可以进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，点M在边AB上，且$AM=\frac{2}{5}AB$，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；
②以点M为圆心，以BD长为半径画弧，交MA于点$D'$；
③以点$D'$为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点$E'$；
④连结$ME'$并延长，交AC于点N，如图所示。
根据以上作图，一定可以推得的结论是（
A.$\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$
B.$\frac{AN}{NC}=\frac{2}{5}$
C.$\frac{MN}{BC}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{MN}{BC}=\frac{3}{5}$
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；
②以点M为圆心，以BD长为半径画弧，交MA于点$D'$；
③以点$D'$为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点$E'$；
④连结$ME'$并延长，交AC于点N，如图所示。
根据以上作图，一定可以推得的结论是（
A
）A.$\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$
B.$\frac{AN}{NC}=\frac{2}{5}$
C.$\frac{MN}{BC}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{MN}{BC}=\frac{3}{5}$
答案
4. A
解析
【分析】
首先识别作图本质：该尺规作图是作∠AMN=∠B，根据同位角相等可推出MN//BC，进而得到△AMN∽△ABC；再结合已知$AM=\frac{2}{5}AB$，利用平行线分线段成比例结论和相似三角形性质，分别计算各选项对应的线段比例，判断正误即可。
【解析】
由作图步骤可知，所作$∠ AMN=∠ B$，
$\therefore MN// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore △ AMN ∽ △ ABC$，且根据平行线分线段成比例可得$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}$。
已知$AM=\frac{2}{5}AB$，则$MB=AB-AM=\frac{3}{5}AB$，
$\therefore \frac{AM}{MB}=\frac{\frac{2}{5}AB}{\frac{3}{5}AB}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$，故A正确，B错误；
由相似三角形的性质得$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}$，故C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何作图与相似三角形结合的典型考题，解题核心是先通过尺规作图特征判断出MN//BC，再结合线段比例的相关性质求解。
【难度系数】
0.7
首先识别作图本质：该尺规作图是作∠AMN=∠B，根据同位角相等可推出MN//BC，进而得到△AMN∽△ABC；再结合已知$AM=\frac{2}{5}AB$，利用平行线分线段成比例结论和相似三角形性质，分别计算各选项对应的线段比例，判断正误即可。
【解析】
由作图步骤可知，所作$∠ AMN=∠ B$，
$\therefore MN// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore △ AMN ∽ △ ABC$，且根据平行线分线段成比例可得$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}$。
已知$AM=\frac{2}{5}AB$，则$MB=AB-AM=\frac{3}{5}AB$，
$\therefore \frac{AM}{MB}=\frac{\frac{2}{5}AB}{\frac{3}{5}AB}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$，故A正确，B错误；
由相似三角形的性质得$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}$，故C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何作图与相似三角形结合的典型考题，解题核心是先通过尺规作图特征判断出MN//BC，再结合线段比例的相关性质求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在三角形ABC中,高BD,CE交于点O,则下列结论错误的是 (
A.$CO · CE = CD · CA$
B.$OE · CD = OD · BE$
C.$AD · AC = AE · AB$
D.$CO · DO = BO · AO$
D
)A.$CO · CE = CD · CA$
B.$OE · CD = OD · BE$
C.$AD · AC = AE · AB$
D.$CO · DO = BO · AO$
答案
5. D
解析
【分析】
本题可通过相似三角形的判定与性质逐一验证选项：首先由BD、CE是△ABC的高可得多组直角，结合公共角、对顶角相等可证出多组相似三角形；再将各选项的乘积式转化为比例式，判断比例式是否符合相似三角形对应边成比例的性质即可，不符合的即为错误结论。
【解析】
已知BD⊥AC，CE⊥AB，因此$∠ ADB=∠ AEC=∠ CDO=∠ BEO=90°$，逐一分析选项：
1. 验证选项A：
将$CO · CE = CD · CA$转化为比例式得$\frac{CO}{CA}=\frac{CD}{CE}$。
在$△ CDO$和$△ CEA$中，$\begin{cases}∠ CDO=∠ CEA=90° \\ ∠ DCO=∠ ECA（公共角）\end{cases}$，故$△ CDO ∽ △ CEA$，可得$\frac{CD}{CE}=\frac{CO}{CA}$，交叉相乘得$CO · CE = CD · CA$，A结论正确。
2. 验证选项B：
将$OE · CD = OD · BE$转化为比例式得$\frac{OE}{OD}=\frac{BE}{CD}$。
在$△ BEO$和$△ CDO$中，$\begin{cases}∠ BEO=∠ CDO=90° \\ ∠ BOE=∠ COD（对顶角相等）\end{cases}$，故$△ BEO ∽ △ CDO$，可得$\frac{OE}{OD}=\frac{BE}{CD}$，交叉相乘得$OE · CD = OD · BE$，B结论正确。
3. 验证选项C：
将$AD · AC = AE · AB$转化为比例式得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，$\begin{cases}∠ ADB=∠ AEC=90° \\ ∠ A=∠ A（公共角）\end{cases}$，故$△ ABD ∽ △ ACE$，可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，交叉相乘得$AD · AC = AE · AB$，C结论正确。
4. 验证选项D：
将$CO · DO = BO · AO$转化为比例式得$\frac{CO}{BO}=\frac{AO}{DO}$，图中无已知条件可证明该比例式对应的三角形相似，因此该结论不成立，D错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形高的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题核心是将乘积式转化为比例式，结合图形中的直角、公共角、对顶角等条件证明三角形相似，再通过相似三角形的性质验证结论是否成立。
【难度系数】
0.7
本题可通过相似三角形的判定与性质逐一验证选项：首先由BD、CE是△ABC的高可得多组直角，结合公共角、对顶角相等可证出多组相似三角形；再将各选项的乘积式转化为比例式，判断比例式是否符合相似三角形对应边成比例的性质即可，不符合的即为错误结论。
【解析】
已知BD⊥AC，CE⊥AB，因此$∠ ADB=∠ AEC=∠ CDO=∠ BEO=90°$，逐一分析选项：
1. 验证选项A：
将$CO · CE = CD · CA$转化为比例式得$\frac{CO}{CA}=\frac{CD}{CE}$。
在$△ CDO$和$△ CEA$中，$\begin{cases}∠ CDO=∠ CEA=90° \\ ∠ DCO=∠ ECA（公共角）\end{cases}$，故$△ CDO ∽ △ CEA$，可得$\frac{CD}{CE}=\frac{CO}{CA}$，交叉相乘得$CO · CE = CD · CA$，A结论正确。
2. 验证选项B：
将$OE · CD = OD · BE$转化为比例式得$\frac{OE}{OD}=\frac{BE}{CD}$。
在$△ BEO$和$△ CDO$中，$\begin{cases}∠ BEO=∠ CDO=90° \\ ∠ BOE=∠ COD（对顶角相等）\end{cases}$，故$△ BEO ∽ △ CDO$，可得$\frac{OE}{OD}=\frac{BE}{CD}$，交叉相乘得$OE · CD = OD · BE$，B结论正确。
3. 验证选项C：
将$AD · AC = AE · AB$转化为比例式得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，$\begin{cases}∠ ADB=∠ AEC=90° \\ ∠ A=∠ A（公共角）\end{cases}$，故$△ ABD ∽ △ ACE$，可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，交叉相乘得$AD · AC = AE · AB$，C结论正确。
4. 验证选项D：
将$CO · DO = BO · AO$转化为比例式得$\frac{CO}{BO}=\frac{AO}{DO}$，图中无已知条件可证明该比例式对应的三角形相似，因此该结论不成立，D错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形高的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题核心是将乘积式转化为比例式，结合图形中的直角、公共角、对顶角等条件证明三角形相似，再通过相似三角形的性质验证结论是否成立。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$□ ABCD$中,E为AD上一点,延长DC至点F,连结AF,EF。若$AF=10,AE=8,∠ AFE=∠ B$,则BC的长为（
A.$10$
B.$\frac{25}{2}$
C.$10\sqrt{2}$
D.$\frac{45}{4}$
B
）A.$10$
B.$\frac{25}{2}$
C.$10\sqrt{2}$
D.$\frac{45}{4}$
答案
6. B
解析
【分析】
首先根据平行四边形的性质，可得∠B=∠D、BC=AD，因此求BC的长度可转化为求AD的长度。已知∠AFE=∠B，等量代换得∠AFE=∠D，观察△AFE和△ADF，二者有公共角∠FAE=∠DAF，根据两角对应相等可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD的长，进而得到BC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，BC=AD。
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠D。
又
∵∠FAE=∠DAF（公共角），
∴△AFE∽△ADF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AF}{AD}$。
将AF=10，AE=8代入得：$\frac{8}{10}=\frac{10}{AD}$，
解得$AD=\frac{10×10}{8}=\frac{25}{2}$，
∴BC=AD=$\frac{25}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的常规题型，解题的关键是通过角的等量关系识别出相似三角形，将未知边的求解转化为利用相似三角形对应边成比例计算，是相似章节的典型考查题。
【难度系数】
0.7
首先根据平行四边形的性质，可得∠B=∠D、BC=AD，因此求BC的长度可转化为求AD的长度。已知∠AFE=∠B，等量代换得∠AFE=∠D，观察△AFE和△ADF，二者有公共角∠FAE=∠DAF，根据两角对应相等可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD的长，进而得到BC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，BC=AD。
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠D。
又
∵∠FAE=∠DAF（公共角），
∴△AFE∽△ADF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AF}{AD}$。
将AF=10，AE=8代入得：$\frac{8}{10}=\frac{10}{AD}$，
解得$AD=\frac{10×10}{8}=\frac{25}{2}$，
∴BC=AD=$\frac{25}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的常规题型，解题的关键是通过角的等量关系识别出相似三角形，将未知边的求解转化为利用相似三角形对应边成比例计算，是相似章节的典型考查题。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a=4,b=16$,则$a,b$的比例中项是
±8
。答案
7. ±8
解析
【分析】
首先明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足比例关系a:c=c:b，根据比例的基本性质可推导得到c²=ab。本题未明确说明a、b为线段长度，因此比例中项可正可负，计算时不能遗漏负根。解题步骤为：先设比例中项为x，根据定义列等式，代入a、b的值计算ab，再开平方得到结果即可。
【解析】
解：设a，b的比例中项为x。
根据比例中项的定义可得：$x^2 = ab$
将$a=4$，$b=16$代入得：
$x^2 = 4×16 = 64$
对等式两边开平方得：$x = \pm\sqrt{64} = \pm8$
【答案】
±8
【知识点】
比例中项的定义，平方根的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略比例中项的负数情况，若题干限定为线段的比例中项则结果仅取正值，没有限定时要考虑正负两种结果。
【难度系数】
0.7
首先明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足比例关系a:c=c:b，根据比例的基本性质可推导得到c²=ab。本题未明确说明a、b为线段长度，因此比例中项可正可负，计算时不能遗漏负根。解题步骤为：先设比例中项为x，根据定义列等式，代入a、b的值计算ab，再开平方得到结果即可。
【解析】
解：设a，b的比例中项为x。
根据比例中项的定义可得：$x^2 = ab$
将$a=4$，$b=16$代入得：
$x^2 = 4×16 = 64$
对等式两边开平方得：$x = \pm\sqrt{64} = \pm8$
【答案】
±8
【知识点】
比例中项的定义，平方根的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略比例中项的负数情况，若题干限定为线段的比例中项则结果仅取正值，没有限定时要考虑正负两种结果。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$△ ABC ∽ △ ACP$，若$∠ A = 60°$，$∠ APC = 75°$，则$∠ B$的大小为
45°
。答案
8. $45°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知的相似三角形关系，利用相似三角形对应角相等的性质，找到与∠APC对应的∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠A的度数，即可计算出∠B的大小。解题时要注意先明确相似三角形的对应角，避免对应关系混淆出错。
【解析】
解：
∵△ABC∽△ACP，根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠ACB=∠APC=75°，
又
∵三角形内角和为180°，在△ABC中，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-75°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
相似三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确识别相似三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，需要注意相似三角形的顶点对应顺序，避免找错对应角。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据已知的相似三角形关系，利用相似三角形对应角相等的性质，找到与∠APC对应的∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠A的度数，即可计算出∠B的大小。解题时要注意先明确相似三角形的对应角，避免对应关系混淆出错。
【解析】
解：
∵△ABC∽△ACP，根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠ACB=∠APC=75°，
又
∵三角形内角和为180°，在△ABC中，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-75°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
相似三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确识别相似三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，需要注意相似三角形的顶点对应顺序，避免找错对应角。
【难度系数】
0.8
