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例1 如图，在$△ ABC$中，用直尺和圆规作出AC边上的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
解：
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧在AC的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线交AB于点D，交AC于点E，直线DE即为AC边上的垂直平分线，完整保留所有画弧的作图痕迹即可。
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧在AC的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线交AB于点D，交AC于点E，直线DE即为AC边上的垂直平分线，完整保留所有画弧的作图痕迹即可。
解析
【分析】
我们的目标是作出AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只要找到两个到A、C距离相等的点，连接两点就能得到AC的垂直平分线。作图时首先要确定半径，必须取大于$\frac{1}{2}AC$的长度作为半径，否则分别以A、C为圆心画的弧不会相交，无法得到交点；得到AC两侧的两个交点后，过这两点作直线，确认直线与AB交于D、与AC交于E即可，所有画弧的痕迹都要保留，不能擦除。
【解析】
1. 选取长度大于$\frac{1}{2}AC$的线段作为半径，分别以点A、点C为圆心，在线段AC的两侧画弧，两弧分别交于两个不同的点；
2. 过上述两个交点作直线，该直线与AB边交于点D，与AC边交于点E，完整保留所有画弧的痕迹，所得直线DE就是AC边上的垂直平分线。
【答案】
按上述步骤作出直线DE，保留完整作图痕迹即可（作图略）。
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，重点考查线段垂直平分线的作图规范，作图时需注意半径要大于线段长度的一半，且要保留完整的作图痕迹，是几何作图中的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
我们的目标是作出AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只要找到两个到A、C距离相等的点，连接两点就能得到AC的垂直平分线。作图时首先要确定半径，必须取大于$\frac{1}{2}AC$的长度作为半径，否则分别以A、C为圆心画的弧不会相交，无法得到交点；得到AC两侧的两个交点后，过这两点作直线，确认直线与AB交于D、与AC交于E即可，所有画弧的痕迹都要保留，不能擦除。
【解析】
1. 选取长度大于$\frac{1}{2}AC$的线段作为半径，分别以点A、点C为圆心，在线段AC的两侧画弧，两弧分别交于两个不同的点；
2. 过上述两个交点作直线，该直线与AB边交于点D，与AC边交于点E，完整保留所有画弧的痕迹，所得直线DE就是AC边上的垂直平分线。
【答案】
按上述步骤作出直线DE，保留完整作图痕迹即可（作图略）。
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，重点考查线段垂直平分线的作图规范，作图时需注意半径要大于线段长度的一半，且要保留完整的作图痕迹，是几何作图中的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
例2 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$. 尺规作图：作$AD⊥ BC$，垂足为D.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
解：
按过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图规则完成作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧交直线BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BC另一侧一点，连接该点与点A，所得线段与BC的交点记为D，线段AD即为所求的垂线，保留所有作图圆弧痕迹，标注垂足D处的直角符号。
按过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图规则完成作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧交直线BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BC另一侧一点，连接该点与点A，所得线段与BC的交点记为D，线段AD即为所求的垂线，保留所有作图圆弧痕迹，标注垂足D处的直角符号。
解析
【分析】
本题要求过直线BC外的点A作BC的垂线段，属于尺规基本作图题型。我们可以利用垂直平分线的性质构思作图步骤：首先在BC上截取一段线段，使点A在该线段的垂直平分线上，再确定另一个也在这条垂直平分线上的点，两点连线即为该线段的垂直平分线，与BC垂直，连线与BC的交点就是垂足D，即可得到所求的垂线段AD。
【解析】
作图操作如下：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，使弧与直线BC交于两个不同的点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在BC的另一侧交于一点；
3. 连接该交点与点A，连线与BC的交点即为D，此时AD⊥BC，AD即为所求。
作图过程中要保留所有圆弧痕迹，在垂足D处标注直角符号。
【答案】
按过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图规则完成作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧交直线BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BC另一侧一点，连接该点与点A，所得线段与BC的交点记为D，线段AD即为所求的垂线，保留所有作图圆弧痕迹，标注垂足D处的直角符号。
【知识点】
尺规作垂线；垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础作图题，考查常见尺规作图的操作规范，解题时需熟练掌握过直线外一点作已知直线垂线的步骤，注意保留作图痕迹并按要求标注对应符号。
【难度系数】
0.8
本题要求过直线BC外的点A作BC的垂线段，属于尺规基本作图题型。我们可以利用垂直平分线的性质构思作图步骤：首先在BC上截取一段线段，使点A在该线段的垂直平分线上，再确定另一个也在这条垂直平分线上的点，两点连线即为该线段的垂直平分线，与BC垂直，连线与BC的交点就是垂足D，即可得到所求的垂线段AD。
【解析】
作图操作如下：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，使弧与直线BC交于两个不同的点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在BC的另一侧交于一点；
3. 连接该交点与点A，连线与BC的交点即为D，此时AD⊥BC，AD即为所求。
作图过程中要保留所有圆弧痕迹，在垂足D处标注直角符号。
【答案】
按过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图规则完成作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧交直线BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BC另一侧一点，连接该点与点A，所得线段与BC的交点记为D，线段AD即为所求的垂线，保留所有作图圆弧痕迹，标注垂足D处的直角符号。
【知识点】
尺规作垂线；垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础作图题，考查常见尺规作图的操作规范，解题时需熟练掌握过直线外一点作已知直线垂线的步骤，注意保留作图痕迹并按要求标注对应符号。
【难度系数】
0.8
1. 如图，要在街道$l$上修建自来水站，向居民区$A$，$B$提供自来水，自来水站应建在什么位置，才能使两个居民区到它的距离相等？在图上标出它的位置.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
解：
连接点A、B，作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道l的交点记为点P，点P即为所求的自来水站的位置，此时PA=PB，满足两个居民区到自来水站的距离相等，保留作垂直平分线的圆弧作图痕迹即可。
连接点A、B，作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道l的交点记为点P，点P即为所求的自来水站的位置，此时PA=PB，满足两个居民区到自来水站的距离相等，保留作垂直平分线的圆弧作图痕迹即可。
解析
【分析】
要找到街道$l$上到$A$、$B$两个居民区距离相等的点，可结合线段垂直平分线的判定思考：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此所有满足到$A$、$B$距离相等的点都在线段$AB$的垂直平分线上。由于自来水站需建在街道$l$上，因此只需找到线段$AB$的垂直平分线与直线$l$的交点，该交点就同时满足两个条件，即为所求的自来水站位置。
【解析】
1. 用直尺连接点$A$和点$B$，得到线段$AB$；
2. 用尺规作线段$AB$的垂直平分线，作图时保留垂直平分线对应的圆弧作图痕迹；
3. 线段$AB$的垂直平分线与街道$l$的交点记为点$P$，该点即为所求位置，此时$PA=PB$，满足两个居民区到自来水站距离相等的要求。
【答案】
连接$A$、$B$，作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与街道$l$的交点即为所求自来水站的位置，作图保留垂直平分线的圆弧痕迹即可。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作图；实际问题几何转化
【点评】
本题是基础的几何作图应用题，将生活中的选址问题和线段垂直平分线的性质相结合，既考查了学生对基础几何定理的掌握应用能力，也考查了尺规作图的实操能力，解题关键是明确到两点距离相等的点的轨迹。
【难度系数】
0.8
要找到街道$l$上到$A$、$B$两个居民区距离相等的点，可结合线段垂直平分线的判定思考：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此所有满足到$A$、$B$距离相等的点都在线段$AB$的垂直平分线上。由于自来水站需建在街道$l$上，因此只需找到线段$AB$的垂直平分线与直线$l$的交点，该交点就同时满足两个条件，即为所求的自来水站位置。
【解析】
1. 用直尺连接点$A$和点$B$，得到线段$AB$；
2. 用尺规作线段$AB$的垂直平分线，作图时保留垂直平分线对应的圆弧作图痕迹；
3. 线段$AB$的垂直平分线与街道$l$的交点记为点$P$，该点即为所求位置，此时$PA=PB$，满足两个居民区到自来水站距离相等的要求。
【答案】
连接$A$、$B$，作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与街道$l$的交点即为所求自来水站的位置，作图保留垂直平分线的圆弧痕迹即可。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作图；实际问题几何转化
【点评】
本题是基础的几何作图应用题，将生活中的选址问题和线段垂直平分线的性质相结合，既考查了学生对基础几何定理的掌握应用能力，也考查了尺规作图的实操能力，解题关键是明确到两点距离相等的点的轨迹。
【难度系数】
0.8
2.（教材改编）如图，已知直线AB和AB上一点C. 尺规作图：作AB的垂线MN，使它经过点C.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
解：
按要求保留尺规作图痕迹，最终得到的直线MN即为所求作的垂线：
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，交直线AB于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径，在直线AB的同侧（或两侧）画弧，两弧交于点M；
3. 过点M、C作直线，在直线上点C的另一侧标注点N，所得直线MN⊥AB，且经过点C，即为所求。
按要求保留尺规作图痕迹，最终得到的直线MN即为所求作的垂线：
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，交直线AB于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径，在直线AB的同侧（或两侧）画弧，两弧交于点M；
3. 过点M、C作直线，在直线上点C的另一侧标注点N，所得直线MN⊥AB，且经过点C，即为所求。
解析
【分析】
要过直线AB上的点C作AB的垂线，可借助线段垂直平分线的性质推导作图思路：首先在AB上截取以C为中点的等长线段，再作该线段的垂直平分线，即可得到过C且垂直于AB的直线。第一步先以C为圆心、适当长度为半径画弧，在AB上得到两个到C距离相等的点D、E；第二步找一个到D、E距离相等的点M，因此分别以D、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径画弧，交点M满足到D、E距离相等，根据等腰三角形三线合一的性质，MC与AB垂直；最后连接M、C并延长，就得到所求垂线。
【解析】
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，交直线AB于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径，在直线AB的同侧（或两侧）画弧，两弧交于点M；
3. 过点M、C作直线，在直线上点C的另一侧标注点N，所得直线MN就是过点C且垂直于AB的直线，作图时保留所有画弧的痕迹即可。
【答案】
按照上述步骤作出的、保留对应作图痕迹的直线MN即为所求。
【知识点】
尺规作图；过直线上一点作垂线；线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础的尺规作图类题目，考查基本作图操作能力，该作图是后续复杂几何作图的基础，需熟练掌握作图步骤和背后的原理。
【难度系数】
0.8
要过直线AB上的点C作AB的垂线，可借助线段垂直平分线的性质推导作图思路：首先在AB上截取以C为中点的等长线段，再作该线段的垂直平分线，即可得到过C且垂直于AB的直线。第一步先以C为圆心、适当长度为半径画弧，在AB上得到两个到C距离相等的点D、E；第二步找一个到D、E距离相等的点M，因此分别以D、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径画弧，交点M满足到D、E距离相等，根据等腰三角形三线合一的性质，MC与AB垂直；最后连接M、C并延长，就得到所求垂线。
【解析】
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，交直线AB于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径，在直线AB的同侧（或两侧）画弧，两弧交于点M；
3. 过点M、C作直线，在直线上点C的另一侧标注点N，所得直线MN就是过点C且垂直于AB的直线，作图时保留所有画弧的痕迹即可。
【答案】
按照上述步骤作出的、保留对应作图痕迹的直线MN即为所求。
【知识点】
尺规作图；过直线上一点作垂线；线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础的尺规作图类题目，考查基本作图操作能力，该作图是后续复杂几何作图的基础，需熟练掌握作图步骤和背后的原理。
【难度系数】
0.8
1. 如图，已知点A和直线MN，用直尺和圆规作直线MN的垂线，使它经过点A，下列作法中错误的是(
A
)。答案
1. A
解析
【分析】
要判断各作法是否正确，首先回忆过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图标准步骤：①以点A为圆心，取大于点A到直线MN距离的长度为半径画弧，交直线MN于两个交点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧会交于直线MN的另一侧一点；③过点A和该交点作直线，这条直线就是过点A且垂直于MN的直线。接下来对照该步骤逐一判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：该作法仅以直线MN和竖线的交点为圆心画弧，没有按照标准步骤先得到MN上的两个交点、再作两弧交点确定垂线，无法保证所作直线与MN垂直，作法错误。
选项B：先以A为圆心画弧交MN于两点，再分别以两点为圆心画弧交于MN下方一点，过A和该点作直线，符合尺规作垂线的步骤，作法正确。
选项C：先得到MN上的两个交点后，分别以两点为圆心画弧，得到MN上下的两个交点，过交点和A作直线，符合要求，作法正确。
选项D：在MN上取两点，分别以两点为圆心作弧得到上下两个交点，过交点作直线，若该直线过A，则也满足是MN的垂线，作法正确。
综上，作法错误的是A。
【答案】
A
【知识点】
1. 尺规作图 2. 过直线外一点作已知直线的垂线
【点评】
本题考查尺规作垂线的基本操作，属于基础作图类题目，需要熟练掌握作图的标准步骤，明确每一步操作的原理，避免因遗漏步骤出现错误。
【难度系数】
0.7
要判断各作法是否正确，首先回忆过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图标准步骤：①以点A为圆心，取大于点A到直线MN距离的长度为半径画弧，交直线MN于两个交点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧会交于直线MN的另一侧一点；③过点A和该交点作直线，这条直线就是过点A且垂直于MN的直线。接下来对照该步骤逐一判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：该作法仅以直线MN和竖线的交点为圆心画弧，没有按照标准步骤先得到MN上的两个交点、再作两弧交点确定垂线，无法保证所作直线与MN垂直，作法错误。
选项B：先以A为圆心画弧交MN于两点，再分别以两点为圆心画弧交于MN下方一点，过A和该点作直线，符合尺规作垂线的步骤，作法正确。
选项C：先得到MN上的两个交点后，分别以两点为圆心画弧，得到MN上下的两个交点，过交点和A作直线，符合要求，作法正确。
选项D：在MN上取两点，分别以两点为圆心作弧得到上下两个交点，过交点作直线，若该直线过A，则也满足是MN的垂线，作法正确。
综上，作法错误的是A。
【答案】
A
【知识点】
1. 尺规作图 2. 过直线外一点作已知直线的垂线
【点评】
本题考查尺规作垂线的基本操作，属于基础作图类题目，需要熟练掌握作图的标准步骤，明确每一步操作的原理，避免因遗漏步骤出现错误。
【难度系数】
0.7
