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7.（广州期末）如图，在$△ ABC$中，AB边的垂直平分线DE分别与AB，AC交于点D，E，BC边的垂直平分线FG分别与BC，AC交于点F，G.若$△ BEG$的周长为16，且$EG=1$，则AC的长为（
A.13
B.14
C.15
D.16
B
）.A.13
B.14
C.15
D.16
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，点E在AB的垂直平分线上，点G在BC的垂直平分线上，可据此将△BEG的周长中的BE、BG转化为与AC相关的线段，再结合线段的和差关系，代入已知条件即可求出AC的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴BE = AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是BC的垂直平分线，点G在FG上
∴BG = CG（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
已知△BEG的周长为16，即$BE + BG + EG = 16$
将$BE=AE$、$BG=CG$代入上式得：$AE + CG + EG = 16$
由图可知，AC上的点按顺序为A、G、E、C，因此：
$AE = AG + EG$，$CG = CE + EG$
∴$AE + CG = AG + EG + CE + EG = (AG + EG + CE) + EG = AC + EG$
将其代入周长公式可得：$AC + EG + EG = 16$，即$AC + 2EG = 16$
又已知$EG=1$，代入得$AC = 16 - 2×1 = 14$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，线段和差计算，三角形周长计算
【点评】
本题是垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将未知边和已知条件建立关联，掌握这一性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，点E在AB的垂直平分线上，点G在BC的垂直平分线上，可据此将△BEG的周长中的BE、BG转化为与AC相关的线段，再结合线段的和差关系，代入已知条件即可求出AC的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴BE = AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是BC的垂直平分线，点G在FG上
∴BG = CG（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
已知△BEG的周长为16，即$BE + BG + EG = 16$
将$BE=AE$、$BG=CG$代入上式得：$AE + CG + EG = 16$
由图可知，AC上的点按顺序为A、G、E、C，因此：
$AE = AG + EG$，$CG = CE + EG$
∴$AE + CG = AG + EG + CE + EG = (AG + EG + CE) + EG = AC + EG$
将其代入周长公式可得：$AC + EG + EG = 16$，即$AC + 2EG = 16$
又已知$EG=1$，代入得$AC = 16 - 2×1 = 14$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，线段和差计算，三角形周长计算
【点评】
本题是垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将未知边和已知条件建立关联，掌握这一性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O.
(1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若$∠ BAC=110°$，求$∠ BOC$的度数.
(1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若$∠ BAC=110°$，求$∠ BOC$的度数.
答案
8. 解：(1)点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上. 理由如下：连接 $OA$，$OB$，$OC$. $\because DM$，$EN$ 分别是 $AB$，$AC$ 的垂直平分线，$\therefore OA=OB$，$OA=OC$. $\therefore OB=OC$. $\therefore$ 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
(2)$\because OM$，$ON$ 分别垂直平分 $AB$，$AC$，$\therefore △ ABO$，$△ ACO$ 均为轴对称图形. $\therefore ∠ BOM=∠ AOM$，$∠ CON=∠ AON$. $\because OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，$\therefore ∠ AMO=∠ ANO=90°$. $\because ∠ BAC=110°$，$\therefore ∠ MON = 360° - ∠ AMO - ∠ ANO - ∠ BAC = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°$. $\therefore ∠ BOC = ∠ BOM + ∠ AOM + ∠ AON + ∠ CON = 2∠ MON = 140°$.
(2)$\because OM$，$ON$ 分别垂直平分 $AB$，$AC$，$\therefore △ ABO$，$△ ACO$ 均为轴对称图形. $\therefore ∠ BOM=∠ AOM$，$∠ CON=∠ AON$. $\because OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，$\therefore ∠ AMO=∠ ANO=90°$. $\because ∠ BAC=110°$，$\therefore ∠ MON = 360° - ∠ AMO - ∠ ANO - ∠ BAC = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°$. $\therefore ∠ BOC = ∠ BOM + ∠ AOM + ∠ AON + ∠ CON = 2∠ MON = 140°$.
解析
【分析】
(1) 要判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明OB=OC即可。我们可以连接OA、OB、OC，利用已知的AB、AC的垂直平分线的性质，得到OA=OB、OA=OC，等量代换得到OB=OC，即可证明结论。
(2) 求∠BOC的度数时，先看已知∠BAC位于四边形AMON中，该四边形有两个直角，结合四边形内角和为360°，可先算出∠MON的度数。再根据垂直平分线的轴对称性，得到∠BOM=∠AOM、∠CON=∠AON，因此∠BOC可转化为2倍的∠MON，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接OA、OB、OC。
∵ DM、EN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得$OA=OB$，$OA=OC$，
∴ $OB=OC$，
根据线段垂直平分线的判定，可知点O在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ OM、ON分别垂直平分AB、AC，
∴ $△ABO$、$△ACO$均为轴对称图形，
∴ $∠BOM=∠AOM$，$∠CON=∠AON$。
∵ $OM⊥AB$，$ON⊥AC$，
∴ $∠AMO=∠ANO=90°$，
在四边形AMON中，内角和为360°，
∴ $∠MON = 360° - ∠AMO - ∠ANO - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°$，
∴ $∠BOC = ∠BOM + ∠AOM + ∠AON + ∠CON = 2(∠AOM+∠AON)=2∠MON = 2×70°=140°$。
【答案】
(1) 点O在BC的垂直平分线上；
(2) $\boldsymbol{∠BOC=140°}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质与判定
2. 四边形内角和定理
3. 角的和差计算
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线相关基础性质的应用，解题时需要根据待证结论合理添加辅助线，结合内角和定理完成角的等量转化，能够很好地检验学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明OB=OC即可。我们可以连接OA、OB、OC，利用已知的AB、AC的垂直平分线的性质，得到OA=OB、OA=OC，等量代换得到OB=OC，即可证明结论。
(2) 求∠BOC的度数时，先看已知∠BAC位于四边形AMON中，该四边形有两个直角，结合四边形内角和为360°，可先算出∠MON的度数。再根据垂直平分线的轴对称性，得到∠BOM=∠AOM、∠CON=∠AON，因此∠BOC可转化为2倍的∠MON，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接OA、OB、OC。
∵ DM、EN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得$OA=OB$，$OA=OC$，
∴ $OB=OC$，
根据线段垂直平分线的判定，可知点O在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ OM、ON分别垂直平分AB、AC，
∴ $△ABO$、$△ACO$均为轴对称图形，
∴ $∠BOM=∠AOM$，$∠CON=∠AON$。
∵ $OM⊥AB$，$ON⊥AC$，
∴ $∠AMO=∠ANO=90°$，
在四边形AMON中，内角和为360°，
∴ $∠MON = 360° - ∠AMO - ∠ANO - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°$，
∴ $∠BOC = ∠BOM + ∠AOM + ∠AON + ∠CON = 2(∠AOM+∠AON)=2∠MON = 2×70°=140°$。
【答案】
(1) 点O在BC的垂直平分线上；
(2) $\boldsymbol{∠BOC=140°}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质与判定
2. 四边形内角和定理
3. 角的和差计算
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线相关基础性质的应用，解题时需要根据待证结论合理添加辅助线，结合内角和定理完成角的等量转化，能够很好地检验学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
9.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离大小如何判断呢？
【自主研究】
(1)如图①，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，点$ P $在直线$ l $的左侧，经测量，$ PA＜PB $，请证明这个结论；
【迁移研究】
(2)如图②，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，点$ C $在直线$ l $外，且与点$ A $在直线$ l $的同侧，$ D $是直线$ l $上的任意一点，连接$ AD $，$ BC $，$ CD $，试判断$ BC $和$ AD + CD $之间的大小关系，并说明理由。
【自主研究】
(1)如图①，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，点$ P $在直线$ l $的左侧，经测量，$ PA＜PB $，请证明这个结论；
【迁移研究】
(2)如图②，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，点$ C $在直线$ l $外，且与点$ A $在直线$ l $的同侧，$ D $是直线$ l $上的任意一点，连接$ AD $，$ BC $，$ CD $，试判断$ BC $和$ AD + CD $之间的大小关系，并说明理由。
答案
9. (1)证明：
，连接 $PB$ 交直线 $l$ 于点 $M$，连接 $PA$，$AM$. $\because$ 直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AM=BM$. $\therefore PB = PM + BM = PM + AM$. $\because$ 在 $△ PAM$ 中，$PM+AM＞PA$，$\therefore PA＜PB$.(2)解：$AD+CD≥ BC$. 理由如下：
，连接 $BD$. $\because$ 直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AD=BD$. 当点 $D$ 不在线段 $BC$ 上时，$\because$ 在 $△ BCD$ 中，$BD+CD＞BC$，$\therefore AD+CD＞BC$. 当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，$AD+CD=BD+CD=BC$. 综上所述，$AD+CD≥ BC$.解析
【分析】
(1) 要证明$PA＜PB$，可借助线段垂直平分线的性质对$PB$做等量转化：先连接$PB$交直线$l$于点$M$，再连接$AM$，利用直线$l$是$AB$的垂直平分线可得$AM=BM$，将$PB$转化为$PM+AM$，再结合三角形“两边之和大于第三边”的性质，即可推出$PA＜PB$。
(2) 要判断$AD+CD$和$BC$的大小关系，同样先利用线段垂直平分线的性质将$AD$转化为$BD$，则$AD+CD$可转化为$BD+CD$；再分两种情况讨论：当点$D$不在线段$BC$上时，用三角形三边关系判断大小，当点$D$在线段$BC$上时二者相等，综合两种情况即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：连接$PB$交直线$l$于点$M$，连接$PA$、$AM$。
∵ 直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AM=BM$。
∴ $PB = PM + BM = PM + AM$。
∵ 在$△ PAM$中，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，即$PM+AM＞PA$，
∴ $PA＜PB$。
(2) 解：$AD+CD≥BC$，理由如下：
连接$BD$。
∵ 直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$。
分两种情况讨论：
① 当点$D$不在线段$BC$上时，在$△ BCD$中，根据三角形三边关系得$BD+CD＞BC$，因此$AD+CD＞BC$；
② 当点$D$在线段$BC$上时，$AD+CD=BD+CD=BC$。
综上，$AD+CD≥BC$。
【答案】
(1)证明：，连接 $PB$ 交直线 $l$ 于点 $M$，连接 $PA$，$AM$. $\because$ 直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AM=BM$. $\therefore PB = PM + BM = PM + AM$. $\because$ 在 $△ PAM$ 中，$PM+AM＞PA$，$\therefore PA＜PB$.
(2)解：$AD+CD≥ BC$. 理由如下：，连接 $BD$. $\because$ 直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AD=BD$. 当点 $D$ 不在线段 $BC$ 上时，$\because$ 在 $△ BCD$ 中，$BD+CD＞BC$，$\therefore AD+CD＞BC$. 当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，$AD+CD=BD+CD=BC$. 综上所述，$AD+CD≥ BC$.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线性质的灵活应用，通过构造辅助线对待比较线段做等量转化，结合三角形三边关系解决线段大小比较问题，同时需要考虑点共线的特殊情况，能够有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$PA＜PB$，可借助线段垂直平分线的性质对$PB$做等量转化：先连接$PB$交直线$l$于点$M$，再连接$AM$，利用直线$l$是$AB$的垂直平分线可得$AM=BM$，将$PB$转化为$PM+AM$，再结合三角形“两边之和大于第三边”的性质，即可推出$PA＜PB$。
(2) 要判断$AD+CD$和$BC$的大小关系，同样先利用线段垂直平分线的性质将$AD$转化为$BD$，则$AD+CD$可转化为$BD+CD$；再分两种情况讨论：当点$D$不在线段$BC$上时，用三角形三边关系判断大小，当点$D$在线段$BC$上时二者相等，综合两种情况即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：连接$PB$交直线$l$于点$M$，连接$PA$、$AM$。
∵ 直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AM=BM$。
∴ $PB = PM + BM = PM + AM$。
∵ 在$△ PAM$中，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，即$PM+AM＞PA$，
∴ $PA＜PB$。
(2) 解：$AD+CD≥BC$，理由如下：
连接$BD$。
∵ 直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$。
分两种情况讨论：
① 当点$D$不在线段$BC$上时，在$△ BCD$中，根据三角形三边关系得$BD+CD＞BC$，因此$AD+CD＞BC$；
② 当点$D$在线段$BC$上时，$AD+CD=BD+CD=BC$。
综上，$AD+CD≥BC$。
【答案】
(1)证明：
，连接 $PB$ 交直线 $l$ 于点 $M$，连接 $PA$，$AM$. $\because$ 直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AM=BM$. $\therefore PB = PM + BM = PM + AM$. $\because$ 在 $△ PAM$ 中，$PM+AM＞PA$，$\therefore PA＜PB$.(2)解：$AD+CD≥ BC$. 理由如下：
，连接 $BD$. $\because$ 直线 $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AD=BD$. 当点 $D$ 不在线段 $BC$ 上时，$\because$ 在 $△ BCD$ 中，$BD+CD＞BC$，$\therefore AD+CD＞BC$. 当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，$AD+CD=BD+CD=BC$. 综上所述，$AD+CD≥ BC$.【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线性质的灵活应用，通过构造辅助线对待比较线段做等量转化，结合三角形三边关系解决线段大小比较问题，同时需要考虑点共线的特殊情况，能够有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
