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2. 如图，在$△ ABC$中，分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点P，连接AP。已知P是BC的中点，BC=12，则AP的长是
6
。答案
2. 6
解析
【分析】
首先根据题目描述的尺规作图方法，判断出直线MN是线段AB的垂直平分线；再回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可得AP=BP；最后结合P是BC中点的条件，求出BP的长度即可得到AP的长。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点P在直线MN上，根据线段垂直平分线的性质，
∴AP=BP。
∵P是BC的中点，BC=12，
∴$BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
∴$AP=BP=6$。
【答案】
6
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作图，中点的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对尺规作图的识别和线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是先判断出MN是AB的垂直平分线，再结合已知条件推导计算。
【难度系数】
0.8
首先根据题目描述的尺规作图方法，判断出直线MN是线段AB的垂直平分线；再回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可得AP=BP；最后结合P是BC中点的条件，求出BP的长度即可得到AP的长。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点P在直线MN上，根据线段垂直平分线的性质，
∴AP=BP。
∵P是BC的中点，BC=12，
∴$BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
∴$AP=BP=6$。
【答案】
6
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作图，中点的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对尺规作图的识别和线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是先判断出MN是AB的垂直平分线，再结合已知条件推导计算。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 20°$，根据尺规作图的痕迹，$∠ α =$
55
°答案
3. 55
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形两锐角互余的性质算出∠BAC的度数，再识别图中的尺规作图痕迹：一是作∠BAC的角平分线，二是作AB的垂直平分线。由角平分线的定义可得角平分线与AB的夹角大小，由垂直平分线的性质可知垂直平分线与AB夹角为90°，最后结合直角三角形两锐角互余即可求出∠α的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC=90°-∠ B=90°-20°=70°$。
由尺规作图痕迹可知：
1. 斜向射线是$∠ BAC$的角平分线，因此它与AB的夹角为$\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$；
2. 竖直直线是AB的垂直平分线，因此它与AB的夹角为$90°$。
观察图形，$∠ α$是垂直平分线与角平分线的夹角，在二者与AB构成的直角三角形中，$∠ α =90°-35°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图的识别与三角形角度计算，解题核心是准确识别角平分线、线段垂直平分线的作图痕迹，再结合直角三角形的性质求解，需要熟练掌握常见尺规作图的特征。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据直角三角形两锐角互余的性质算出∠BAC的度数，再识别图中的尺规作图痕迹：一是作∠BAC的角平分线，二是作AB的垂直平分线。由角平分线的定义可得角平分线与AB的夹角大小，由垂直平分线的性质可知垂直平分线与AB夹角为90°，最后结合直角三角形两锐角互余即可求出∠α的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC=90°-∠ B=90°-20°=70°$。
由尺规作图痕迹可知：
1. 斜向射线是$∠ BAC$的角平分线，因此它与AB的夹角为$\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$；
2. 竖直直线是AB的垂直平分线，因此它与AB的夹角为$90°$。
观察图形，$∠ α$是垂直平分线与角平分线的夹角，在二者与AB构成的直角三角形中，$∠ α =90°-35°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图的识别与三角形角度计算，解题核心是准确识别角平分线、线段垂直平分线的作图痕迹，再结合直角三角形的性质求解，需要熟练掌握常见尺规作图的特征。
【难度系数】
0.7
4. (广州节选)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$. 尺规作图：作AC边上的中线BO. (保留作图痕迹，不写作法)
答案
解：
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于AC所在直线的两侧，过两弧的交点作直线，交AC于点O，连接BO，线段BO即为所求的AC边上的中线，保留全部尺规作图的圆弧痕迹即可。
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于AC所在直线的两侧，过两弧的交点作直线，交AC于点O，连接BO，线段BO即为所求的AC边上的中线，保留全部尺规作图的圆弧痕迹即可。
解析
【分析】
要作出AC边上的中线BO，首先需明确三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此解题的核心是先找到AC边的中点O。我们已学过用尺规作线段垂直平分线的方法，线段垂直平分线与线段的交点就是线段的中点，因此先作AC的垂直平分线得到中点O，再连接BO即可得到所求中线。
【解析】
1. 作线段AC的垂直平分线：分别以点A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在AC所在直线的两侧各有一个交点；
2. 过两个交点作直线，该直线与AC的交点即为AC的中点O；
3. 连接BO，保留所有作图的圆弧痕迹，线段BO即为所求的AC边上的中线。
【答案】
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于AC所在直线的两侧，过两弧的交点作直线，交AC于点O，连接BO，线段BO即为所求的AC边上的中线，保留全部尺规作图的圆弧痕迹即可。
【知识点】
三角形中线定义，尺规作图，线段垂直平分线作法
【点评】
本题属于基础作图类题目，将作三角形中线的问题转化为作线段中点的问题是解题的关键，需要熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法，牢记三角形中线的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要作出AC边上的中线BO，首先需明确三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此解题的核心是先找到AC边的中点O。我们已学过用尺规作线段垂直平分线的方法，线段垂直平分线与线段的交点就是线段的中点，因此先作AC的垂直平分线得到中点O，再连接BO即可得到所求中线。
【解析】
1. 作线段AC的垂直平分线：分别以点A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在AC所在直线的两侧各有一个交点；
2. 过两个交点作直线，该直线与AC的交点即为AC的中点O；
3. 连接BO，保留所有作图的圆弧痕迹，线段BO即为所求的AC边上的中线。
【答案】
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于AC所在直线的两侧，过两弧的交点作直线，交AC于点O，连接BO，线段BO即为所求的AC边上的中线，保留全部尺规作图的圆弧痕迹即可。
【知识点】
三角形中线定义，尺规作图，线段垂直平分线作法
【点评】
本题属于基础作图类题目，将作三角形中线的问题转化为作线段中点的问题是解题的关键，需要熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法，牢记三角形中线的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，先以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，作直线MN交AB于点E，连接AD，DE。若$△ ADE$的周长为21，$AC=9$，则AB的长为
12
。答案
5. 12
解析
【分析】
首先根据作图步骤分析对应的几何性质：第一步以A为圆心、AC为半径作弧交BC于D，可得到AD=AC；第二步作直线MN的过程是尺规作线段BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得点E到B、D的距离相等，即ED=EB。再将△ADE的周长通过等量代换转化为AB与AC的和，代入已知数值即可求出AB的长度。
【解析】
1. 由作图可知，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，因此$AD=AC=9$。
2. 由分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，交点连线MN，可知MN是线段BD的垂直平分线。
3. 因为点E在MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$ED=EB$。
4. 已知$△ ADE$的周长为21，即$AE+DE+AD=21$，将$DE$替换为$EB$，$AD$替换为9，可得：
$AE+EB+9=21$，又因为$AE+EB=AB$，因此$AB+9=21$，解得$AB=21-9=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图的应用
3. 等量代换
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别尺规作图对应的几何结论，将未知周长通过性质转化为已知线段和待求线段的和，需要熟练掌握基本尺规作图的操作含义和相关几何性质。
【难度系数】
0.7
首先根据作图步骤分析对应的几何性质：第一步以A为圆心、AC为半径作弧交BC于D，可得到AD=AC；第二步作直线MN的过程是尺规作线段BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得点E到B、D的距离相等，即ED=EB。再将△ADE的周长通过等量代换转化为AB与AC的和，代入已知数值即可求出AB的长度。
【解析】
1. 由作图可知，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，因此$AD=AC=9$。
2. 由分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，交点连线MN，可知MN是线段BD的垂直平分线。
3. 因为点E在MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$ED=EB$。
4. 已知$△ ADE$的周长为21，即$AE+DE+AD=21$，将$DE$替换为$EB$，$AD$替换为9，可得：
$AE+EB+9=21$，又因为$AE+EB=AB$，因此$AB+9=21$，解得$AB=21-9=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图的应用
3. 等量代换
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别尺规作图对应的几何结论，将未知周长通过性质转化为已知线段和待求线段的和，需要熟练掌握基本尺规作图的操作含义和相关几何性质。
【难度系数】
0.7
6. 如图，某市有A，B两所高级中学，在其不远处有C，D两所初级中学，现要在它们之间建一个篮球场P，使篮球场到A，B的距离相等，同时到C，D的距离也相等. 请在图中标出篮球场P的位置.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
解：
连接AB，作线段AB的垂直平分线；
连接CD，作线段CD的垂直平分线；
两条垂直平分线的交点即为所求的篮球场P的位置，保留尺规作图的对应痕迹，标注点P即可。
连接AB，作线段AB的垂直平分线；
连接CD，作线段CD的垂直平分线；
两条垂直平分线的交点即为所求的篮球场P的位置，保留尺规作图的对应痕迹，标注点P即可。
解析
【分析】
解题时先拆解题目要求：①篮球场P到A、B距离相等，根据线段垂直平分线的判定，满足该条件的所有点都在线段AB的垂直平分线上，因此P一定在AB的垂直平分线上；②P到C、D距离相等，同理P也在线段CD的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是两条垂直平分线的交点，因此只需作出两条垂直平分线找到交点即可。
【解析】
1. 连接点A和点B，用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线；
2. 连接点C和点D，用尺规作图法作出线段CD的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点就是所求的篮球场P的位置，标注点P并保留所有尺规作图痕迹即可。
【答案】
连接AB，作线段AB的垂直平分线；连接CD，作线段CD的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为所求的篮球场P的位置，保留尺规作图的对应痕迹，标注点P即可。
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础几何作图应用题，核心是将实际距离要求转化为线段垂直平分线的几何特征，只需熟练掌握垂直平分线的判定和尺规作图方法即可快速解决。
【难度系数】
0.8
解题时先拆解题目要求：①篮球场P到A、B距离相等，根据线段垂直平分线的判定，满足该条件的所有点都在线段AB的垂直平分线上，因此P一定在AB的垂直平分线上；②P到C、D距离相等，同理P也在线段CD的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是两条垂直平分线的交点，因此只需作出两条垂直平分线找到交点即可。
【解析】
1. 连接点A和点B，用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线；
2. 连接点C和点D，用尺规作图法作出线段CD的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点就是所求的篮球场P的位置，标注点P并保留所有尺规作图痕迹即可。
【答案】
连接AB，作线段AB的垂直平分线；连接CD，作线段CD的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为所求的篮球场P的位置，保留尺规作图的对应痕迹，标注点P即可。
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础几何作图应用题，核心是将实际距离要求转化为线段垂直平分线的几何特征，只需熟练掌握垂直平分线的判定和尺规作图方法即可快速解决。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在长方形ABCD中，连接AC. 尺规作图：在边AD上作一点P，连接PC，使$PD+PC=AD$.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
7. 解：如图①所示.
解析
【分析】
要在AD上找点P满足$PD+PC=AD$，首先观察AD的线段组成：$AD=AP+PD$，将其代入条件可得$PD+PC=AP+PD$，化简后得到$PC=AP$。根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点P在AC的垂直平分线上，因此只需作AC的垂直平分线，与AD的交点即为所求的点P。
【解析】
1. 推导P点满足的条件：
∵ 点P在AD上，
∴ $AD = AP + PD$，
又
∵ 要求$PD + PC = AD$，
∴ 代入得$AP + PD = PD + PC$，化简得$AP = PC$。
2. 确定P点位置：
根据垂直平分线的判定，到A、C两点距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，因此作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AD的交点即为所求点P，保留作垂直平分线时的两段弧痕迹即可。
【答案】
如图①所示.
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作图，等量代换
【点评】
本题属于尺规作图的应用类题目，解题核心是通过等量代换将题目给出的线段和的条件，转化为点到线段两端点距离相等的关系，从而结合垂直平分线的判定确定点的位置，能有效考查学生的条件转化能力和作图实践能力。
【难度系数】
0.7
要在AD上找点P满足$PD+PC=AD$，首先观察AD的线段组成：$AD=AP+PD$，将其代入条件可得$PD+PC=AP+PD$，化简后得到$PC=AP$。根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点P在AC的垂直平分线上，因此只需作AC的垂直平分线，与AD的交点即为所求的点P。
【解析】
1. 推导P点满足的条件：
∵ 点P在AD上，
∴ $AD = AP + PD$，
又
∵ 要求$PD + PC = AD$，
∴ 代入得$AP + PD = PD + PC$，化简得$AP = PC$。
2. 确定P点位置：
根据垂直平分线的判定，到A、C两点距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，因此作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AD的交点即为所求点P，保留作垂直平分线时的两段弧痕迹即可。
【答案】
如图①所示.
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作图，等量代换
【点评】
本题属于尺规作图的应用类题目，解题核心是通过等量代换将题目给出的线段和的条件，转化为点到线段两端点距离相等的关系，从而结合垂直平分线的判定确定点的位置，能有效考查学生的条件转化能力和作图实践能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在公路$l_1$同侧、$l_2$异侧有A，B两个城镇. 相关部门要修建一座信号发射塔C，按照设计要求，发射塔C到A，B两个城镇的距离相等，到公路$l_1$，$l_2$的距离也相等，发射塔C应修建在什么位置？请找出所有符合条件的点，并注明点C的位置.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
8. 解：如图②，点$C_1$，$C_2$即为所求.
解析
【分析】
要确定发射塔C的位置，需分别拆解两个限定条件对应的点的轨迹：①到A、B两城镇距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点在线段AB的垂直平分线上；②到公路$l_1$、$l_2$的距离相等，根据角平分线的性质，满足该条件的点在$l_1$与$l_2$相交所成角的角平分线上，两条相交直线共有2条角平分线。两类线的交点就是同时满足两个条件的点，共2个。
【解析】
1. 首先作出线段AB的垂直平分线，该线上所有点到A、B的距离都相等；
2. 再作出$l_1$、$l_2$相交所形成的两个角的角平分线，共2条，这两条线上所有点到$l_1$、$l_2$的距离都相等；
3. 2条角平分线与AB的垂直平分线的交点，就是同时满足两个设计要求的点，即图中的$C_1$、$C_2$。
【答案】
如图②，点$C_1$，$C_2$即为所求.
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用类问题，采用“双轨迹法”解题即可，解题时要注意两条相交直线的角平分线有2条，避免遗漏其中一个符合条件的点。
【难度系数】
0.7
要确定发射塔C的位置，需分别拆解两个限定条件对应的点的轨迹：①到A、B两城镇距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点在线段AB的垂直平分线上；②到公路$l_1$、$l_2$的距离相等，根据角平分线的性质，满足该条件的点在$l_1$与$l_2$相交所成角的角平分线上，两条相交直线共有2条角平分线。两类线的交点就是同时满足两个条件的点，共2个。
【解析】
1. 首先作出线段AB的垂直平分线，该线上所有点到A、B的距离都相等；
2. 再作出$l_1$、$l_2$相交所形成的两个角的角平分线，共2条，这两条线上所有点到$l_1$、$l_2$的距离都相等；
3. 2条角平分线与AB的垂直平分线的交点，就是同时满足两个设计要求的点，即图中的$C_1$、$C_2$。
【答案】
如图②，点$C_1$，$C_2$即为所求.
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用类问题，采用“双轨迹法”解题即可，解题时要注意两条相交直线的角平分线有2条，避免遗漏其中一个符合条件的点。
【难度系数】
0.7
