一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C，点C叫作线段AB的，AC与AB的比叫作，等于，约为。

$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$；黄金分割；黄金分割点；黄金比；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618

【分析】
这道题考查黄金分割相关的基础概念，属于识记类题型。解题时需回忆黄金分割的定义逻辑：首先明确线段黄金分割的核心判定条件，即分割后较长线段与原线段的比等于较短线段与较长线段的比，再对应匹配后续的相关名称、黄金比的准确值和近似值即可，只要熟练记忆相关概念就能正确作答。
【解析】
根据黄金分割的标准定义：
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，其准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似值约为0.618。
【答案】
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$；黄金分割；黄金分割点；黄金比；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
1.黄金分割的定义
2.黄金分割点
3.黄金比
【点评】
本题为基础概念考察题，侧重对黄金分割相关核心定义的记忆考查，属于几何基础模块的必背内容，牢记相关概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.85

1.若点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP),则下列比例式成立的是()。

A.$\frac{PM}{PN}=\frac{PN}{MN}$
B.$\frac{MN}{PM}=\frac{PN}{MN}$
C.$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$
D.$\frac{PN}{PM}=\frac{MN}{PM}$

1.C

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值就是黄金比。本题已知点P是线段MN的黄金分割点，且MP＞NP，因此首先明确：全线段是MN，较长线段是MP，较短线段是PN，再根据黄金分割的比例关系变形，对比选项即可得到正确答案。
【解析】
∵点P是线段MN的黄金分割点，且MP＞NP，
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{MP}{MN}=\frac{PN}{MP}$，
根据比例的基本性质，交叉变形可得：$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$，
逐一对比选项，只有C选项符合上述比例式。
【答案】
C
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握黄金分割的比例关系，做题时要注意区分较长线段、较短线段和全线段，避免因混淆三条线段的对应关系选错答案。
【难度系数】
0.8

2.已知点 P 将线段 AB 黄金分割，且 AP＞BP，则下列结论不正确的是()。

A.$\frac{AP}{BP}=\frac{AB}{AP}$
B.$AP≈0.618AB$
C.$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.$BP=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)AB$

2.D

【分析】
解题的核心是先掌握黄金分割的定义：点P把线段AB分成AP和BP两段（AP＞BP），若较长段AP与全长AB的比等于较短段BP与较长段AP的比，就称AB被P黄金分割，该比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈0.618$。我们根据这个定义推导出各线段的关系，再逐一验证选项即可找到错误结论。
【解析】
已知点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，根据黄金分割定义可得：
1. 比例关系：$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，交叉变形可得$\frac{AP}{BP}=\frac{AB}{AP}$，因此A选项结论正确；
2. 黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈0.618$，因此$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB≈0.618AB$，B、C选项结论均正确；
3. 计算BP的长度：$BP=AB-AP=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{2-\sqrt{5}+1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，显然不等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，因此D选项结论错误。
题目要求选不正确的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查黄金分割相关概念，解题时要先明确哪条是较长线段、哪条是较短线段，牢记较长段、较短段与原线段的数量关系，避免混淆两类线段的计算公式即可正确解题。
【难度系数】
0.7

3.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()。

A.12.36 cm
B.13.6 cm
C.32.36 cm
D.7.64 cm

3.A

【分析】
解题时首先回忆黄金比的定义，黄金比的比值约为0.618。题目明确给出书的宽与长的比为黄金比，已知长为20cm，要求宽，只需根据“宽=长×黄金比”的关系代入计算即可，也可先根据宽小于长的常识排除大于20cm的选项C，缩小计算范围。
【解析】
首先明确黄金比的近似值为0.618，由题意可知：$\frac{宽}{长}=黄金比\approx0.618$。
已知书的长为20cm，代入得：
宽$=20×0.618=12.36\mathrm{cm}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
黄金比的概念，比例计算
【点评】
本题是黄金比在生活中的简单应用，核心是熟记黄金比的近似值，结合题目给出的比例关系代入计算即可得分，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4.如图,扇形的圆心角为α,其余部分的圆心角为β,为了使扇子的外形美观,通常情况下α与β的比按黄金比设计。若取黄金比为0.6,则α=。
（第4题）

4.$135°$

【分析】
解题首先要挖掘隐含条件：整个圆周对应的圆心角是周角，度数为360°，因此可得α+β=360°；再结合题目给出的α与β的比为0.6的条件，把β用含α的式子表示，代入角度和的关系式即可建立关于α的一元一次方程，求解即可得到α的度数。
【解析】
解：
∵ 周角的度数为360°，
∴ $α + β = 360°$ ①
由题意得，$\frac{α}{β}=0.6$，
变形得 $β=\frac{α}{0.6}$ ②
将②代入①得：
$α + \frac{α}{0.6} = 360°$
化简计算得：
$α + \frac{5}{3}α = 360°$
$\frac{8}{3}α = 360°$
$α = 360° × \frac{3}{8} = 135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
周角的概念；比例运算；黄金比应用
【点评】
本题结合生活实际考查基础的角度计算，解题关键是抓住周角为360°的隐含条件，结合题给比例关系列方程求解，计算量小，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8

5.东方明珠塔高约468 m，上球体A是塔身的黄金分割点(如图)，则上球体A到塔顶部的距离约是。(精确到0.1 m)

5.178.8 m

【分析】
首先明确黄金分割的定义：若点将一条线段分为较长线段和较短线段，且较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，则该点为线段的黄金分割点。本题中塔总高468m为原线段长度，上球体A是黄金分割点，可知A到塔底部的距离为较长线段，占总高度的0.618，因此A到塔顶部的距离为较短线段，用总高度乘以较短线段对应的占比$1-0.618$，代入数值计算即可得到结果，最后按要求精确到0.1m。
【解析】
根据黄金分割的性质，较短线段与原线段的比值为$1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx1-0.618=0.382$。
已知塔高为468m，上球体A到塔顶部的距离为黄金分割后的较短线段，因此该距离为：
$468×0.382\approx178.8(\mathrm{m})$
【答案】
178.8 m
【知识点】
黄金分割；近似数计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用问题，解题的核心是准确判断黄金分割点对应的长短线段，选择正确的比值代入计算，同时要注意按要求保留计算结果的精确度。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$△ ABC$中,已知$AB=AC=3$,$BC=4$。若$D,E$是边$BC$的两个黄金分割点,则$△ ADE$的面积为()。

A.$10 - 4\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5} -5$
C.$\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$
D.$20 -8\sqrt{5}$

6.A

【分析】
要计算△ADE的面积，需先确定它的底DE的长度和对应底边上的高。首先△ABC是等腰三角形，可利用三线合一作出BC边上的高，通过勾股定理求出高的长度；再根据黄金分割的定义求出BD、EC的长度，进而得到DE的长度；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC=3，BC=4，AF⊥BC，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC=2（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
∵D、E是边BC的两个黄金分割点，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴较长线段$DC=BE=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，
∴$BD=BC-DC=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$，同理$EC=6-2\sqrt{5}$，
∴$DE=BC-BD-EC=4-2×(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$，
∴△ADE的面积$S=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质、黄金分割、勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、黄金分割定义和勾股定理的应用，解题核心是明确黄金分割中较长线段与整条线段的比例关系，结合等腰三角形的对称性可简化计算，需注意不要混淆黄金分割的长短段避免出错。
【难度系数】
0.6

7.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体。若舞台AB的长为20 m，则主持人应走到离点A处比较得体。

7.$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{m}$或$(30-10\sqrt{5})\mathrm{m}$

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：线段上的黄金分割点将线段分为较长段和较短段，较长段与全长的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。其次要注意，一条线段共有2个黄金分割点，因此本题需要分两种情况讨论：一是主持人离A点的距离为较长段的长度，二是主持人离A点的距离为较短段的长度，分别结合黄金比计算即可得到结果。
【解析】
已知黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，线段$AB=20\mathrm{m}$，分两种情况计算：
1. 若离A点的距离为较长段长度：此时较长段与$AB$的比值等于黄金比，因此离A点的距离为$20×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=10\sqrt{5}-10$（$\mathrm{m}$）；
2. 若离A点的距离为较短段长度：此时较长段长度为$20×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=10\sqrt{5}-10$（$\mathrm{m}$），因此离A点的距离为$20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}$（$\mathrm{m}$）。
综上，主持人应走到离点A对应长度的位置即可。
【答案】
$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{m}$或$(30-10\sqrt{5})\mathrm{m}$
【知识点】
1. 黄金分割
2. 分类讨论
3. 线段长度计算
【点评】
本题结合生活场景考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的取值，同时要注意一条线段有两个黄金分割点，避免因考虑不全面出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6

8.顶角为$36°$的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。如图，已知$△ ABC$，$△ BDC$，$△ DEC$都是黄金三角形，$AB=4$，则$DE=$。

8.$6-2\sqrt{5}$

【分析】
解题时先抓住黄金三角形的核心性质：顶角为36°，底与腰的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合等腰三角形等角对等边的性质逐层推导边长。第一步先确定△ABC的腰为AB、AC，已知AB=4，先计算底BC的长度；第二步以BC为△BDC的腰，计算出DC的长度；第三步根据△DEC的边角关系得到DE=DC，即可求出DE的值。
【解析】
解：
∵△ABC是顶角为36°的黄金三角形，顶角$∠ A=36°$，
∴AB=AC=4为腰长，底BC与腰AB的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 4×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2\sqrt{5} - 2$。
∵△BDC是顶角为36°的黄金三角形，顶角$∠ DBC=36°$，
∴腰长为BC，底DC与腰BC的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$DC = BC × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = (2\sqrt{5} - 2)×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\sqrt{5} -1)^2 = 6 - 2\sqrt{5}$。
又
∵△DEC是顶角为36°的黄金三角形，顶角$∠ EDC=36°$，
∴△DEC中$∠ C=∠ DEC=72°$，根据等角对等边可得$DE=DC$，
∴$DE=6-2\sqrt{5}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
黄金三角形性质；等腰三角形性质；二次根式运算
【点评】
本题围绕黄金三角形的性质命题，需要学生理清每个三角形的腰和底的对应关系，兼顾了几何性质推导和代数计算能力的考查，是同类知识点的典型习题。
【难度系数】
0.6