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3. 请从下列各式中,任选两个作差,并将得到的式子进行因式分解.
$a^4,4a^2,16,(a-1)^2$
$a^4,4a^2,16,(a-1)^2$
答案
解：选取$a^4$与$16$作差，
$\begin{aligned}a^4 - 16&=(a^2)^2 - 4^2\\&=(a^2 + 4)(a^2 - 4)\\&=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
注：本题选取方式不唯一，任选两个式子作差并正确因式分解均符合要求。
$\begin{aligned}a^4 - 16&=(a^2)^2 - 4^2\\&=(a^2 + 4)(a^2 - 4)\\&=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
注：本题选取方式不唯一，任选两个式子作差并正确因式分解均符合要求。
解析
【分析】
本题属于开放类因式分解题目，解题思路可分为三步：第一步，从给出的4个式子中任选两个，列出作差的式子；第二步，观察差式的结构特征，优先判断是否符合平方差、完全平方公式的形式，选择对应的因式分解方法；第三步，因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。我们可以优先选择结构明显符合平方差形式的两个式子，比如$a^4$和16，二者都是平方项、符号相反，可直接用平方差公式分解。
【解析】
选取$a^4$与$16$作差，因式分解过程如下：
$\begin{aligned}a^4 - 16&=(a^2)^2 - 4^2\\&=(a^2 + 4)(a^2 - 4)\\&=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
注：本题选取方式不唯一，任选两个式子作差并正确因式分解均符合要求。
【答案】
示例：$a^4 - 16=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是开放性习题，既考查整式的减法运算，也考查因式分解方法的灵活运用，解题时需注意因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
本题属于开放类因式分解题目，解题思路可分为三步：第一步，从给出的4个式子中任选两个，列出作差的式子；第二步，观察差式的结构特征，优先判断是否符合平方差、完全平方公式的形式，选择对应的因式分解方法；第三步，因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。我们可以优先选择结构明显符合平方差形式的两个式子，比如$a^4$和16，二者都是平方项、符号相反，可直接用平方差公式分解。
【解析】
选取$a^4$与$16$作差，因式分解过程如下：
$\begin{aligned}a^4 - 16&=(a^2)^2 - 4^2\\&=(a^2 + 4)(a^2 - 4)\\&=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
注：本题选取方式不唯一，任选两个式子作差并正确因式分解均符合要求。
【答案】
示例：$a^4 - 16=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是开放性习题，既考查整式的减法运算，也考查因式分解方法的灵活运用，解题时需注意因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
4*. 试证明:对于任意整数$n$,多项式$(4n^2+5)^2 -9$总能被8整除.
答案
证明：
对多项式利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(4n^2+5)^2 -9&=(4n^2+5)^2 - 3^2\\&=(4n^2+5+3)(4n^2+5-3)\\&=(4n^2+8)(4n^2+2)\\&=4(n^2+2)· 2(2n^2+1)\\&=8(n^2+2)(2n^2+1)\end{aligned}$
因为n是任意整数，所以$n^2+2$和$2n^2+1$均为整数，因此$(n^2+2)(2n^2+1)$是整数。
即多项式$(4n^2+5)^2 -9$是8的整数倍，故对于任意整数n，该多项式总能被8整除。
对多项式利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(4n^2+5)^2 -9&=(4n^2+5)^2 - 3^2\\&=(4n^2+5+3)(4n^2+5-3)\\&=(4n^2+8)(4n^2+2)\\&=4(n^2+2)· 2(2n^2+1)\\&=8(n^2+2)(2n^2+1)\end{aligned}$
因为n是任意整数，所以$n^2+2$和$2n^2+1$均为整数，因此$(n^2+2)(2n^2+1)$是整数。
即多项式$(4n^2+5)^2 -9$是8的整数倍，故对于任意整数n，该多项式总能被8整除。
解析
【分析】
要证明多项式能被8整除，核心是将多项式变形为“8×整数”的形式。首先观察原式是平方减平方的结构，符合平方差公式的特征，因此第一步先用平方差公式因式分解，再对分解后的式子提取公因式，整理出系数为8的乘积形式，最后结合n是整数的条件，证明剩余因式的乘积为整数，即可完成证明。
【解析】
证明：对多项式利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(4n^2+5)^2 -9&=(4n^2+5)^2 - 3^2\\&=(4n^2+5+3)(4n^2+5-3)\\&=(4n^2+8)(4n^2+2)\\&=4(n^2+2)· 2(2n^2+1)\\&=8(n^2+2)(2n^2+1)\end{aligned}$
因为n是任意整数，所以$n^2+2$和$2n^2+1$均为整数，因此$(n^2+2)(2n^2+1)$是整数。
即多项式$(4n^2+5)^2 -9$是8的整数倍，故对于任意整数n，该多项式总能被8整除。
【答案】
对于任意整数n，多项式$(4n^2+5)^2 -9$总能被8整除。
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法，整除判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题关键是熟练运用平方差公式和提公因式法对多项式变形，凑出因数8后结合整数性质即可求证，是因式分解结合数论性质的基础考查题。
【难度系数】
0.7
要证明多项式能被8整除，核心是将多项式变形为“8×整数”的形式。首先观察原式是平方减平方的结构，符合平方差公式的特征，因此第一步先用平方差公式因式分解，再对分解后的式子提取公因式，整理出系数为8的乘积形式，最后结合n是整数的条件，证明剩余因式的乘积为整数，即可完成证明。
【解析】
证明：对多项式利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(4n^2+5)^2 -9&=(4n^2+5)^2 - 3^2\\&=(4n^2+5+3)(4n^2+5-3)\\&=(4n^2+8)(4n^2+2)\\&=4(n^2+2)· 2(2n^2+1)\\&=8(n^2+2)(2n^2+1)\end{aligned}$
因为n是任意整数，所以$n^2+2$和$2n^2+1$均为整数，因此$(n^2+2)(2n^2+1)$是整数。
即多项式$(4n^2+5)^2 -9$是8的整数倍，故对于任意整数n，该多项式总能被8整除。
【答案】
对于任意整数n，多项式$(4n^2+5)^2 -9$总能被8整除。
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法，整除判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题关键是熟练运用平方差公式和提公因式法对多项式变形，凑出因数8后结合整数性质即可求证，是因式分解结合数论性质的基础考查题。
【难度系数】
0.7
1. 下列分解因式正确的是()
A.$-ma - m = -m(a - 1)$
B.$a^2 - 1 = (a - 1)^2$
C.$a^2 + 3a + 9 = (a + 3)^2$
D.$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$
A.$-ma - m = -m(a - 1)$
B.$a^2 - 1 = (a - 1)^2$
C.$a^2 + 3a + 9 = (a + 3)^2$
D.$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$
答案
D
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，需满足两个核心条件：一是结果必须是几个整式乘积的形式，二是左右两边代数式恒等。本题可通过两种方法验证：一是对每个选项左边的多项式直接因式分解，对比是否与右边一致；二是将选项右边的乘积展开，对比是否与左边的多项式相等，逐个排查选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对左边提取公因式$-m$，得$-ma - m = -m(a + 1)$，右边$-m(a-1)$展开为$-ma + m$，与左边不相等，故A错误；
B选项：左边$a^2 - 1$是平方差形式，分解得$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$，右边$(a - 1)^2$展开为$a^2 - 2a + 1$，与左边不相等，故B错误；
C选项：右边$(a + 3)^2$展开为$a^2 + 6a + 9$，与左边$a^2 + 3a + 9$不相等，且左边无法分解为$(a + 3)^2$，故C错误；
D选项：左边$a^2 - 6a + 9$符合完全平方公式的结构特征，即$a^2 - 2· a· 3 + 3^2 = (a - 3)^2$，右边展开也与左边完全相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是熟练掌握提公因式法和平方差、完全平方公式的结构特征，验证时展开右边式子比对左边的方法更不容易出错，要注意区分平方差公式和完全平方公式的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，需满足两个核心条件：一是结果必须是几个整式乘积的形式，二是左右两边代数式恒等。本题可通过两种方法验证：一是对每个选项左边的多项式直接因式分解，对比是否与右边一致；二是将选项右边的乘积展开，对比是否与左边的多项式相等，逐个排查选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对左边提取公因式$-m$，得$-ma - m = -m(a + 1)$，右边$-m(a-1)$展开为$-ma + m$，与左边不相等，故A错误；
B选项：左边$a^2 - 1$是平方差形式，分解得$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$，右边$(a - 1)^2$展开为$a^2 - 2a + 1$，与左边不相等，故B错误；
C选项：右边$(a + 3)^2$展开为$a^2 + 6a + 9$，与左边$a^2 + 3a + 9$不相等，且左边无法分解为$(a + 3)^2$，故C错误；
D选项：左边$a^2 - 6a + 9$符合完全平方公式的结构特征，即$a^2 - 2· a· 3 + 3^2 = (a - 3)^2$，右边展开也与左边完全相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是熟练掌握提公因式法和平方差、完全平方公式的结构特征，验证时展开右边式子比对左边的方法更不容易出错，要注意区分平方差公式和完全平方公式的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 将多项式$4x^2+1$再加上一项，使它能分解因式成$(a+b)^2$的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是()
A.$2x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$4x$
A.$2x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$4x$
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，公式包含两个同号的平方项和一个±2倍的两底数乘积项。我们可以将已知的$4x^2$和$1$分别对应完全平方中的平方项，或者其中一项对应中间乘积项，计算出需要添加的项，再逐一验证选项即可判断对错。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证各选项：
1. 若将$4x^2$看作$a^2$，$1$看作$b^2$，则$a=2x$，$b=1$，缺失的中间项为$\pm2ab=\pm2×2x×1=\pm4x$：
加$-4x$时，$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，故B选项正确；
加$4x$时，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，故D选项正确；
2. 若将$4x^2$看作中间项$2ab$，$1$看作$b^2$，则$b=1$，可得$a=2x^2$，缺失的平方项为$a^2=(2x^2)^2=4x^4$：
加$4x^4$时，$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，故C选项正确；
3. 加$2x$时，多项式为$4x^2+2x+1$，不符合完全平方公式的结构，无法分解为$(a+b)^2$的形式，故A选项错误。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论已知项在完全平方公式中的不同角色，熟练掌握完全平方公式的三项结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，公式包含两个同号的平方项和一个±2倍的两底数乘积项。我们可以将已知的$4x^2$和$1$分别对应完全平方中的平方项，或者其中一项对应中间乘积项，计算出需要添加的项，再逐一验证选项即可判断对错。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证各选项：
1. 若将$4x^2$看作$a^2$，$1$看作$b^2$，则$a=2x$，$b=1$，缺失的中间项为$\pm2ab=\pm2×2x×1=\pm4x$：
加$-4x$时，$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，故B选项正确；
加$4x$时，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，故D选项正确；
2. 若将$4x^2$看作中间项$2ab$，$1$看作$b^2$，则$b=1$，可得$a=2x^2$，缺失的平方项为$a^2=(2x^2)^2=4x^4$：
加$4x^4$时，$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，故C选项正确；
3. 加$2x$时，多项式为$4x^2+2x+1$，不符合完全平方公式的结构，无法分解为$(a+b)^2$的形式，故A选项错误。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论已知项在完全平方公式中的不同角色，熟练掌握完全平方公式的三项结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 已知$m+n=3$，则$m^2+2mn+n^2-6$的值为()
A.12
B.6
C.3
D.0
A.12
B.6
C.3
D.0
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现前三项$m^2+2mn+n^2$刚好符合完全平方和公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式对前三项因式分解，再将已知条件$m+n=3$整体代入变形后的式子计算，不需要单独求解m、n的值，能简化计算过程。
【解析】
首先对所求代数式进行变形：
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$
因此原式可改写为：
$\begin{aligned}原式&=(m+n)^2 - 6\\\end{aligned}$
将$m+n=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=3^2 - 6\\&=9-6\\&=3\end{aligned}$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
3. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的形式，通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的结构，再用整体代入法快速求出结果，避免了分别求解m、n的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，发现前三项$m^2+2mn+n^2$刚好符合完全平方和公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式对前三项因式分解，再将已知条件$m+n=3$整体代入变形后的式子计算，不需要单独求解m、n的值，能简化计算过程。
【解析】
首先对所求代数式进行变形：
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$
因此原式可改写为：
$\begin{aligned}原式&=(m+n)^2 - 6\\\end{aligned}$
将$m+n=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=3^2 - 6\\&=9-6\\&=3\end{aligned}$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
3. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的形式，通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的结构，再用整体代入法快速求出结果，避免了分别求解m、n的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
