4. 已知多项式$3x^2+mx+n$分解因式的结果为$(3x+2)(x-1)$，则$m$，$n$的值分别为()

A.$m=1,n=-2$
B.$m=-1,n=-2$
C.$m=-1,n=2$
D.$m=2,n=-1$

B

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，反过来，将分解后的整式乘积展开，所得的多项式应该和原多项式完全相同，因此我们只需要将$(3x+2)(x-1)$按多项式乘法法则展开，再与原多项式$3x^2+mx+n$的各项系数对应相等，即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(3x+2)(x-1)$：
$\begin{aligned}(3x+2)(x-1)&=3x· x + 3x·(-1) + 2· x + 2·(-1)\\&=3x^2 - 3x + 2x - 2\\&=3x^2 - x - 2\end{aligned}$
因为$3x^2+mx+n=(3x+2)(x-1)=3x^2 - x - 2$，两个多项式相等时对应项的系数相等，所以一次项系数$m=-1$，常数项$n=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解与整式乘法的互逆关系 2.多项式乘多项式 3.多项式系数对应相等
【点评】
本题属于因式分解章节的基础常考题，核心考查整式乘法与因式分解的互逆逻辑，只要熟练掌握多项式乘法的运算规则，注意计算时的符号问题，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

5. 把代数式$ax^2 -4ax +4a$分解因式,下列结果正确的是()

A.$a(x-2)^2$
B.$a(x+2)^2$
C.$a(x-4)^2$
D.$a(x+2)(x-2)$

A

【分析】
因式分解的一般步骤是先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，再看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构特征，若符合则用公式法继续分解，直到不能再分解为止。本题首先观察到代数式各项都含有公因式a，先提取公因式a，再判断剩余的二次三项式是否满足完全平方公式的形式，进一步分解即可得到结果，再对应选项选择正确答案。
【解析】
解：对代数式$ax^2 -4ax +4a$分解因式：
第一步，提取公因式$a$：
$ax^2 -4ax +4a = a(x^2 - 4x + 4)$
第二步，对括号内的二次三项式用完全平方差公式分解，完全平方差公式为$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，此处$m=x$，$n=2$，满足$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2 = (x-2)^2$
因此原式分解结果为$a(x-2)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是牢记因式分解的先后顺序，同时准确掌握完全平方公式的结构特征，避免混淆完全平方公式和平方差公式。
【难度系数】
0.9

6. 若$x^2+mx+4=(x+2)^2$,则常数$m$的值是()

A.4
B.-4
C.$\pm4$
D.2

A

【分析】
本题可利用完全平方公式展开等式右侧的式子，再根据等式两边同类项的系数对应相等的性质求解m的值。解题时第一步先回忆完全平方公式的展开形式，第二步展开右侧的完全平方式，第三步对比左右两边一次项的系数即可得到m的取值。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式右侧展开：
$(x+2)^2=x^2+2× x×2+2^2=x^2+4x+4$
已知$x^2+mx+4=(x+2)^2$，代入展开式可得：
$x^2+mx+4=x^2+4x+4$
等式两边多项式的同类项系数对应相等，因此一次项系数$m=4$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；多项式相等的条件
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握和应用，熟练掌握完全平方公式的展开规则是解题的关键，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9

7. 如图甲,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.小明将图甲的阴影部分拼成一个如图乙的长方形,这一过程可以验证下式中的()

A.$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$
B.$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
C.$2a^2 - 3ab + b^2 = (2a - b)(a - b)$
D.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

D

【分析】
解题可利用拼接前后阴影面积不变的思路推导：第一步先计算图甲的阴影面积，直接用大正方形面积减去空白小正方形面积即可；第二步确定图乙中拼接后长方形的长和宽，计算其面积；最后根据两个面积相等得到对应公式，对比选项选出答案即可。
【解析】
首先计算图甲阴影部分的面积：
大正方形面积为$a^2$，空白小正方形面积为$b^2$，因此$S_{\mathrm{甲阴}}=a^2 - b^2$。
再计算图乙拼接后长方形的面积：
观察可得长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此$S_{\mathrm{乙阴}}=(a+b)(a-b)$。
由于拼接前后阴影部分总面积不变，故$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，面积恒等，数形结合
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的拼接直观验证代数公式，解题核心是抓住拼接前后图形面积不变的特点，分别表示出两种图形的阴影面积建立等式即可。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 在括号内填上适当的因式：
(1)$25x^2+10x+1=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$1-2b+b^2=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$4x^2+4x+(\_\_\_\_\_\_)=(2x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$4m^2+(\_\_\_\_\_\_)+9n^2=(\_\_\_\_\_\_)^2$。

解：
(1) 根据完全平方公式，$25x^2+10x+1=(5x)^2+2·5x·1+1^2=(5x+1)^2$，括号内填$\boldsymbol{5x+1}$；
(2) 根据完全平方公式，$1-2b+b^2=1^2-2·1· b+b^2=(1-b)^2$，括号内填$\boldsymbol{1-b}$（或$b-1$）；
(3) 根据完全平方公式，$(2x+1)^2=4x^2+4x+1$，两个括号依次填$\boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{1}$；
(4) 根据完全平方公式，$(2m\pm3n)^2=4m^2\pm12mn+9n^2$，两个括号依次填$\boldsymbol{\pm12mn}$、$\boldsymbol{2m\pm3n}$。

【分析】
本题所有小题均考查完全平方公式的应用，完全平方公式的形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，结构特点为：左侧是三项式，包含两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，右侧是这两个数和或差的平方。解题时先把已知式子和公式结构对应，先确定对应$a^2$和$b^2$的项，再推导对应$2ab$的项，补全缺失部分即可。
【解析】
(1) 将已知式子变形：$25x^2+10x+1=(5x)^2+2·5x·1+1^2$，对应完全平方公式，其中$a=5x$，$b=1$，因此原式$=(5x+1)^2$；
(2) 将已知式子变形：$1-2b+b^2=1^2-2·1· b+b^2$，对应完全平方公式，其中$a=1$，$b=b$，因此原式$=(1-b)^2$，也可写作$(b-1)^2$，二者平方后结果相等；
(3) 设右侧完全平方式为$(2x+a)^2$，展开得$4x^2+4ax+a^2$，对比左侧已知的$4x^2+4x$，可得$4a=4$，解得$a=1$，因此缺失的常数项为$a^2=1$，即$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$；
(4) 已知$4m^2=(2m)^2$，$9n^2=(3n)^2$，中间项为$\pm2·2m·3n=\pm12mn$，因此可得$4m^2\pm12mn+9n^2=(2m\pm3n)^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5x+1}$；(2) $\boldsymbol{1-b}$（或$b-1$）；(3) $\boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{1}$；(4) $\boldsymbol{\pm12mn}$、$\boldsymbol{2m\pm3n}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，完全平方式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，注意完全平方有“和”与“差”两种形式，遇到中间项系数可正可负的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式:$3x(x-2)+(2-x)=$.

$\boldsymbol{(x-2)(3x-1)}$

【分析】
观察待分解的式子，发现两项分别含有因式$(x-2)$和$(2-x)$，二者互为相反数，可先将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，此时两项有共同的公因式$(x-2)$，再用提公因式法提取公因式，最后整理剩余部分即可完成因式分解，注意要确认分解结果不能再继续分解。
【解析】
解：$3x(x-2)+(2-x)$
$=3x(x-2)-(x-2)$ （将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，统一公因式）
$=(x-2)(3x-1)$ （提取公因式$(x-2)$，合并剩余部分）
【答案】
$\boldsymbol{(x-2)(3x-1)}$
【知识点】
提公因式法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的关键是识别出互为相反数的因式，准确提取公因式，需特别注意变形时的符号问题，避免因符号写错失分。
【难度系数】
0.85

3. 填空：$x^2 -6x + \_\_\_\_\_\_ = (\_\_\_\_\_\_)^2$

解：
根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，
对比多项式$x^2 -6x + \_\_\_\_\_\_$，可得$a=x$，由$2ab=6x$得$2· x · b=6x$，解得$b=3$，
因此$b^2=3^2=9$，
即$x^2 -6x + \boldsymbol{9} = (\boldsymbol{x-3})^2$。

【分析】
本题需要利用完全平方公式求解，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，第一步先确定公式中的$a$：已知式子中$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；第二步根据中间项$-6x$对应公式里的$-2ab$，代入$a=x$即可算出$b$的值；第三步计算$b^2$填入第一个空，再将$a、b$代入$(a-b)^2$得到第二个空的结果。
【解析】
根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，对比多项式$x^2 -6x + \_\_\_\_\_\_$：
1. 由$a^2=x^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$-6x=-2ab$，将$a=x$代入得$-2·x·b=-6x$，解得$b=3$；
3. 因此第一个空缺项为$b^2=3^2=9$，第二个空缺项为$a-b=x-3$。
【答案】
9；$x-3$
【知识点】
完全平方公式，配方法，因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的掌握，属于基础题型，熟记完全平方公式的形式，准确对应各项即可快速解题，是整式变形类题目的基础考点。
【难度系数】
0.9

4. 填上适当的整式,使等式成立:$(x-y)^2+$$=(x+y)^2.$

$\boldsymbol{4xy}$

【分析】
我们可以根据“一个加数=和-另一个加数”的运算关系，将问题转化为整式的减法运算，即所求整式等于$(x+y)^2$减去$(x-y)^2$，再利用完全平方公式分别展开两个式子，最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
设需要填的整式为$A$，根据题意可得：
$A=(x+y)^2 - (x-y)^2$
根据完全平方公式展开两个完全平方式：
$A=(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)$
去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号：
$A=x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2$
合并同类项后得：
$A=4xy$
【答案】
$4xy$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题考查对完全平方公式的掌握和整式运算的应用，通过移项将求未知项转化为整式减法是解题的突破口，计算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

5. 一个正方形的面积是$(a^2+8a+16)\ \mathrm{cm}^2$,则此正方形的边长是cm.

$\boldsymbol{a+4}$

【分析】
要解决这个问题，首先明确正方形的面积等于边长的平方，因此需要将给出的面积代数式转化为某个整式的平方形式，即可得到边长。第一步先回忆完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上两数乘积的2倍，等于两数和的平方，观察给出的二次三项式$a^2+8a+16$，判断其符合完全平方式的结构，通过因式分解写成平方形式后，结合边长为正数的性质，就能得到正方形的边长。
【解析】
设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式可得：
$x^2 = a^2+8a+16$
对等式右边的多项式用完全平方公式因式分解：
$a^2+8a+16 = a^2 + 2· a·4 + 4^2 = (a+4)^2$
因此$x^2=(a+4)^2$，由于正方形边长为正数，所以$x = a+4$。
【答案】
$a+4$
【知识点】
完全平方公式因式分解；正方形面积公式
【点评】
本题是基础应用题，将几何图形的面积公式与因式分解的知识结合考查，核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能够准确对完全平方式进行因式分解，同时注意结合实际意义取正的结果。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 分解因式：
(1) $-4x^3 + 16x^2 - 24x$；
(2) $4x^2 - 12xy + 9y^2$；
(3) $(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$；
(4) $9x^2y + y^3 - 6xy^2$；
(5) $4a(a - 1)^2 + (a - 1)$；
(6) $(x + 2)(x - 4) + 9$。

解：
(1)
$\begin{aligned}-4x^3 + 16x^2 - 24x&=-4x· x^2 + (-4x)·(-4x) + (-4x)·6\\&=-4x(x^2 - 4x + 6)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}4x^2 - 12xy + 9y^2&=(2x)^2 - 2·2x·3y + (3y)^2\\&=(2x - 3y)^2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2&=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2\\&=(x^2 + y^2 - 2xy)(x^2 + y^2 + 2xy)\\&=(x - y)^2(x + y)^2\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}9x^2y + y^3 - 6xy^2&=y(9x^2 + y^2 - 6xy)\\&=y[(3x)^2 - 2·3x· y + y^2]\\&=y(3x - y)^2\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}4a(a - 1)^2 + (a - 1)&=(a - 1)[4a(a - 1) + 1]\\&=(a - 1)(4a^2 - 4a + 1)\\&=(a - 1)(2a - 1)^2\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}(x + 2)(x - 4) + 9&=x^2 - 4x + 2x - 8 + 9\\&=x^2 - 2x + 1\\&=(x - 1)^2\end{aligned}$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的基本思路：①先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式（首项为负时通常提取负号，公因式可以是单项式也可以是多项式）；②再根据剩余多项式的项数选择公式：两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；③最后检查是否分解到不能再分解为止。
各小问具体思考路径：(1)各项有公因式-4x，提取后剩余二次式无法继续分解即可；(2)三项式符合完全平方公式特征，直接套用公式；(3)整体为两项，符合平方差公式，分解后得到的两个因式又分别是完全平方形式，需继续分解；(4)先提取公因式y，剩余三项式符合完全平方公式，继续分解；(5)两项有公因式(a-1)，提取后整理剩余式子，发现是完全平方形式，继续分解；(6)先展开整式乘积、合并同类项得到三项式，再套用完全平方公式分解。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}-4x^3 + 16x^2 - 24x&=-4x· x^2 + (-4x)·(-4x) + (-4x)·6\\&=-4x(x^2 - 4x + 6)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}4x^2 - 12xy + 9y^2&=(2x)^2 - 2·2x·3y + (3y)^2\\&=(2x - 3y)^2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2&=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2\\&=(x^2 + y^2 - 2xy)(x^2 + y^2 + 2xy)\\&=(x - y)^2(x + y)^2\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}9x^2y + y^3 - 6xy^2&=y(9x^2 + y^2 - 6xy)\\&=y[(3x)^2 - 2·3x· y + y^2]\\&=y(3x - y)^2\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}4a(a - 1)^2 + (a - 1)&=(a - 1)[4a(a - 1) + 1]\\&=(a - 1)(4a^2 - 4a + 1)\\&=(a - 1)(2a - 1)^2\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}(x + 2)(x - 4) + 9&=x^2 - 4x + 2x - 8 + 9\\&=x^2 - 2x + 1\\&=(x - 1)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-4x(x^2 - 4x + 6)}$
(2) $\boxed{(2x - 3y)^2}$
(3) $\boxed{(x - y)^2(x + y)^2}$
(4) $\boxed{y(3x - y)^2}$
(5) $\boxed{(a - 1)(2a - 1)^2}$
(6) $\boxed{(x - 1)^2}$
【知识点】
提公因式法因式分解、公式法因式分解、整式乘法运算
【点评】
这是因式分解的常规训练题，熟练掌握公因式提取方法、平方差与完全平方公式的形式特征，牢记“先提公因式、再套公式、最后检查分解彻底”的流程，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.75