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1.(2025·宿迁泗阳县期末)方程$x^2 -4x -45=0$的根是 （
A.$x_1=5,x_2=9$
B.$x_1=5,x_2=-9$
C.$x_1=-5,x_2=9$
D.$x_1=-5,x_2=-9$
C
）A.$x_1=5,x_2=9$
B.$x_1=5,x_2=-9$
C.$x_1=-5,x_2=9$
D.$x_1=-5,x_2=-9$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，我们可以优先选择因式分解法简化计算：首先观察方程左边的二次三项式$x^2-4x-45$，尝试用十字相乘法分解，找到两个数满足乘积为常数项$-45$、和为一次项系数$-4$，分解后令每个因式等于0即可求出根；如果不熟悉十字相乘法，也可以用配方法或求根公式法计算。
【解析】
我们用因式分解法求解：
1. 对等式左边的二次三项式因式分解：寻找两个数，乘积为$-45$，相加为$-4$，可得这两个数是$-9$和$5$，因此$x^2-4x-45=(x-9)(x+5)$，原方程转化为：$(x-9)(x+5)=0$。
2. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：$x-9=0$ 或 $x+5=0$。
3. 分别解两个一元一次方程，得$x_1=9$，$x_2=-5$。
也可用公式法验证：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，这里$a=1,b=-4,c=-45$，判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×(-45)=196$，则$x=\frac{4\pm14}{2}$，计算得$x_1=9,x_2=-5$，结果一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、公式法等常用求解方法即可快速作答，使用因式分解法能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程的求解，我们可以优先选择因式分解法简化计算：首先观察方程左边的二次三项式$x^2-4x-45$，尝试用十字相乘法分解，找到两个数满足乘积为常数项$-45$、和为一次项系数$-4$，分解后令每个因式等于0即可求出根；如果不熟悉十字相乘法，也可以用配方法或求根公式法计算。
【解析】
我们用因式分解法求解：
1. 对等式左边的二次三项式因式分解：寻找两个数，乘积为$-45$，相加为$-4$，可得这两个数是$-9$和$5$，因此$x^2-4x-45=(x-9)(x+5)$，原方程转化为：$(x-9)(x+5)=0$。
2. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：$x-9=0$ 或 $x+5=0$。
3. 分别解两个一元一次方程，得$x_1=9$，$x_2=-5$。
也可用公式法验证：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，这里$a=1,b=-4,c=-45$，判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×(-45)=196$，则$x=\frac{4\pm14}{2}$，计算得$x_1=9,x_2=-5$，结果一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、公式法等常用求解方法即可快速作答，使用因式分解法能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2.(2025·苏州太仓期末)一元二次方程$x^2 -7x +4=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-7$
B.$x_1+x_2=4$
C.$x_1x_2=7$
D.$x_1x_2=4$
D
）A.$x_1+x_2=-7$
B.$x_1+x_2=4$
C.$x_1x_2=7$
D.$x_1x_2=4$
答案
2.D
解析
【分析】
拿到这道题首先明确题目考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路如下：第一步回忆韦达定理内容：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两个实数根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步从题干给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，注意要带符号；第三步分别代入公式计算两根和、两根积的结果；第四步将计算结果和四个选项逐一比对，选出正确结论即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2-7x+4=0$，对应可得$a=1$，$b=-7$，$c=4$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7$，$x_1x_2=\frac{4}{1}=4$
逐一比对选项：
A选项$x_1+x_2=-7$，计算结果不符，错误；
B选项$x_1+x_2=4$，计算结果不符，错误；
C选项$x_1x_2=7$，计算结果不符，错误；
D选项$x_1x_2=4$，计算结果相符，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查对韦达定理的掌握程度，解题时要注意准确识别方程的各项系数，代入公式计算时不要弄错一次项系数的符号，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确题目考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路如下：第一步回忆韦达定理内容：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两个实数根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步从题干给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，注意要带符号；第三步分别代入公式计算两根和、两根积的结果；第四步将计算结果和四个选项逐一比对，选出正确结论即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2-7x+4=0$，对应可得$a=1$，$b=-7$，$c=4$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7$，$x_1x_2=\frac{4}{1}=4$
逐一比对选项：
A选项$x_1+x_2=-7$，计算结果不符，错误；
B选项$x_1+x_2=4$，计算结果不符，错误；
C选项$x_1x_2=7$，计算结果不符，错误；
D选项$x_1x_2=4$，计算结果相符，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查对韦达定理的掌握程度，解题时要注意准确识别方程的各项系数，代入公式计算时不要弄错一次项系数的符号，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.(2025·泰州泰兴期末)若关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+4x+1=0$有实数根，则实数k的取值范围是（
A.$k≤5$
B.$k＜5$
C.$k≤5$且$k≠1$
D.$k＜5$且$k≠1$
C
）A.$k≤5$
B.$k＜5$
C.$k≤5$且$k≠1$
D.$k＜5$且$k≠1$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题需要同时满足两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再求解两个不等式的公共解集，即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+4x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-1$，$b=4$，$c=1$
代入得：$4^2 - 4×(k-1)×1 ≥ 0$
计算得：$16 - 4(k-1) ≥ 0$
去括号：$16 - 4k + 4 ≥ 0$
合并同类项：$20 - 4k ≥ 0$
移项化简：$4k ≤ 20$，即$k ≤ 5$
综上，k的取值范围是$k ≤ 5$且$k≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常见基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提条件，漏掉$k≠1$的限制错选A选项，解题时要先明确方程的类型，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题需要同时满足两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再求解两个不等式的公共解集，即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+4x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-1$，$b=4$，$c=1$
代入得：$4^2 - 4×(k-1)×1 ≥ 0$
计算得：$16 - 4(k-1) ≥ 0$
去括号：$16 - 4k + 4 ≥ 0$
合并同类项：$20 - 4k ≥ 0$
移项化简：$4k ≤ 20$，即$k ≤ 5$
综上，k的取值范围是$k ≤ 5$且$k≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常见基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提条件，漏掉$k≠1$的限制错选A选项，解题时要先明确方程的类型，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.7
4.某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（
A.$256(1-x)^2=196$
B.$196(1-x)^2=256$
C.$256(1-x^2)=196$
D.$256(1-2x)=196$
A
）A.$256(1-x)^2=196$
B.$196(1-x)^2=256$
C.$256(1-x^2)=196$
D.$256(1-2x)=196$
答案
4.A
解析
【分析】
这是平均下降率类的列方程问题，解题时需明确每次降价的基准量：第一次降价是在原价256元的基础上降x，第一次降价后的价格为原价乘(1-x)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘(1-x)，即原价乘(1-x)的平方，最终结果等于降价后的单价196元，据此列方程匹配选项即可。
【解析】
解：已知芯片原价为256元，每次降价百分率为x。
第一次降价后的单价为：$256(1 - x)$元
第二次降价以第一次降价后的单价为基准，因此第二次降价后的单价为：
$256(1 - x) × (1 - x) = 256(1 - x)^2$元
由题意得两次降价后单价为196元，因此可列方程：$256(1 - x)^2 = 196$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平均下降率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率类基础应用题，解题核心是明确每次变化的基准量，注意区分变化前后的数值，避免出现前后量颠倒、直接将两次变化率相加等常见错误。
【难度系数】
0.8
这是平均下降率类的列方程问题，解题时需明确每次降价的基准量：第一次降价是在原价256元的基础上降x，第一次降价后的价格为原价乘(1-x)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘(1-x)，即原价乘(1-x)的平方，最终结果等于降价后的单价196元，据此列方程匹配选项即可。
【解析】
解：已知芯片原价为256元，每次降价百分率为x。
第一次降价后的单价为：$256(1 - x)$元
第二次降价以第一次降价后的单价为基准，因此第二次降价后的单价为：
$256(1 - x) × (1 - x) = 256(1 - x)^2$元
由题意得两次降价后单价为196元，因此可列方程：$256(1 - x)^2 = 196$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平均下降率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率类基础应用题，解题核心是明确每次变化的基准量，注意区分变化前后的数值，避免出现前后量颠倒、直接将两次变化率相加等常见错误。
【难度系数】
0.8
5.(2025·宿迁模拟)已知α,β是方程$x^2 +2023x +1=0$的两个根,则代数式$(1+2024α +α^2)(1+2025β +β^2)$的值为（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到α、β满足的等式，再对所求代数式中的两个括号分别变形，把二次项用一次项替换实现降次化简，最后结合韦达定理求出两根之积，代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
∵α，β是方程$x^2 +2023x +1=0$的两个根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$α^2 + 2023α +1=0$，$β^2 +2023β +1=0$；
根据韦达定理可得：$αβ=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
对所求代数式变形化简：
$1+2024α +α^2 = (α^2 +2023α +1) + α = 0 + α = α$；
$1+2025β +β^2 = (β^2 +2023β +1) + 2β = 0 + 2β = 2β$。
∴原式$=α × 2β =2αβ=2×1=2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，核心是利用根的定义对高次代数式降次化简，避免了直接求解方程根的复杂运算，是一元二次方程部分的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到α、β满足的等式，再对所求代数式中的两个括号分别变形，把二次项用一次项替换实现降次化简，最后结合韦达定理求出两根之积，代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
∵α，β是方程$x^2 +2023x +1=0$的两个根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$α^2 + 2023α +1=0$，$β^2 +2023β +1=0$；
根据韦达定理可得：$αβ=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
对所求代数式变形化简：
$1+2024α +α^2 = (α^2 +2023α +1) + α = 0 + α = α$；
$1+2025β +β^2 = (β^2 +2023β +1) + 2β = 0 + 2β = 2β$。
∴原式$=α × 2β =2αβ=2×1=2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，核心是利用根的定义对高次代数式降次化简，避免了直接求解方程根的复杂运算，是一元二次方程部分的典型考法。
【难度系数】
0.7
二、填空题
6.(2025·宿迁泗洪县期中)关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
6.(2025·宿迁泗洪县期中)关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
4
。答案
6.4
解析
【分析】
首先，题目给出的是关于x的一元二次方程，且明确有两个相等的实数根，我们可以联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：当判别式Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。接下来只需确定方程中对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=0的等式，解关于m的一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4$，常数项$c=m$。
∵ 该方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
代入系数得：$4^2 - 4× 1 × m = 0$
计算得：$16 - 4m = 0$
移项解得：$m = 4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系是解题的关键，这类题型是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
首先，题目给出的是关于x的一元二次方程，且明确有两个相等的实数根，我们可以联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：当判别式Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。接下来只需确定方程中对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=0的等式，解关于m的一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4$，常数项$c=m$。
∵ 该方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
代入系数得：$4^2 - 4× 1 × m = 0$
计算得：$16 - 4m = 0$
移项解得：$m = 4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系是解题的关键，这类题型是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
7.(2025·宿迁宿豫区期中)已知关于$x$的一元二次方程$3x^2 - x + c = 0$的一个根为1，另一个根为$m$，则$m+1$的值为
$\frac{1}{3}$
。答案
7.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：方法一利用一元二次方程根与系数的关系，已知方程两根为1和m，所求的m+1恰好为两根之和，直接代入两根之和公式即可快速得到结果，无需计算参数c；方法二先将x=1代入原方程求出c的值，再解一元二次方程得到另一个根m，最后计算m+1的值，两种方法均符合要求，其中根与系数的关系法更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$3x^2 - x + c = 0$中，$a=3$，$b=-1$，两个根分别为1和m，代入公式得：
$1+m=-\frac{-1}{3}=\frac{1}{3}$，即$m+1=\frac{1}{3}$。
方法二（代入求根法）：
将$x=1$代入原方程得：$3×1^2 -1 +c=0$，解得$c=-2$。
原方程变为$3x^2 -x -2=0$，因式分解得$(3x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$，即$m=-\frac{2}{3}$。
因此$m+1=-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，两种解题方法都需熟练掌握，运用根与系数的关系可简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：方法一利用一元二次方程根与系数的关系，已知方程两根为1和m，所求的m+1恰好为两根之和，直接代入两根之和公式即可快速得到结果，无需计算参数c；方法二先将x=1代入原方程求出c的值，再解一元二次方程得到另一个根m，最后计算m+1的值，两种方法均符合要求，其中根与系数的关系法更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$3x^2 - x + c = 0$中，$a=3$，$b=-1$，两个根分别为1和m，代入公式得：
$1+m=-\frac{-1}{3}=\frac{1}{3}$，即$m+1=\frac{1}{3}$。
方法二（代入求根法）：
将$x=1$代入原方程得：$3×1^2 -1 +c=0$，解得$c=-2$。
原方程变为$3x^2 -x -2=0$，因式分解得$(3x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$，即$m=-\frac{2}{3}$。
因此$m+1=-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，两种解题方法都需熟练掌握，运用根与系数的关系可简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
8.(2025·绥化)已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根,则$(m+1)(n+1)=$
2027
.答案
8.2027
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：m、n是给定一元二次方程的两个根，遇到此类求关于两根的代数式值的问题，优先考虑一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。第一步先将所求代数式$(m+1)(n+1)$利用多项式乘多项式法则展开，整理为含有$m+n$和$mn$的形式，再根据韦达定理求出$m+n$与$mn$的值，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m，n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴$m+n=2025$，$mn=1$。
将$(m+1)(n+1)$展开得：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$，
把$m+n=2025$，$mn=1$代入上式得：
原式$=1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题是一元二次方程中根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握韦达定理的内容，并且能将所求代数式合理变形为两根和与两根积的组合形式，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：m、n是给定一元二次方程的两个根，遇到此类求关于两根的代数式值的问题，优先考虑一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。第一步先将所求代数式$(m+1)(n+1)$利用多项式乘多项式法则展开，整理为含有$m+n$和$mn$的形式，再根据韦达定理求出$m+n$与$mn$的值，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m，n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴$m+n=2025$，$mn=1$。
将$(m+1)(n+1)$展开得：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$，
把$m+n=2025$，$mn=1$代入上式得：
原式$=1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题是一元二次方程中根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握韦达定理的内容，并且能将所求代数式合理变形为两根和与两根积的组合形式，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
9.(2025·上海)一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么$m$的取值范围是
$m＞\frac{1}{8}$
。答案
9.$m＞\frac{1}{8}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：一元二次方程没有实数根等价于判别式小于0。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式得到关于m的一元一次不等式，解这个不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中一元二次方程为$2x^2 + x + m = 0$，因此$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，代入得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$8m ＞ 1$
两边同时除以8，得：$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要准确识别方程各项系数，代入判别式后正确解不等式即可，注意移项时不等号方向不要弄错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：一元二次方程没有实数根等价于判别式小于0。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式得到关于m的一元一次不等式，解这个不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中一元二次方程为$2x^2 + x + m = 0$，因此$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，代入得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$8m ＞ 1$
两边同时除以8，得：$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要准确识别方程各项系数，代入判别式后正确解不等式即可，注意移项时不等号方向不要弄错。
【难度系数】
0.8
10.(2025·宿迁宿豫区期末)在小华的某个微信群中,若每人给其他成员都发一个红包,该微信群共发了72个红包,那么这个微信群共有
9
人.答案
10.9
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先设微信群共有x人，由于每人需要给除自己之外的其他成员发红包，因此每人需发送(x-1)个红包；总红包数等于人数乘每人发送的红包数，据此可列出等量关系，再求解方程，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设这个微信群共有$ x $人。
由题意可知，每人需给其他$ (x-1) $名成员各发一个红包，因此总红包数满足：
$ x(x-1)=72 $
整理方程得：
$ x^2 - x -72 = 0 $
因式分解得：
$ (x-9)(x+8)=0 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=-8 $
由于人数不能为负数，因此舍去$ x=-8 $，即$ x=9 $。
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程的应用，因式分解法解方程，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程应用的常规题型，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先设微信群共有x人，由于每人需要给除自己之外的其他成员发红包，因此每人需发送(x-1)个红包；总红包数等于人数乘每人发送的红包数，据此可列出等量关系，再求解方程，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设这个微信群共有$ x $人。
由题意可知，每人需给其他$ (x-1) $名成员各发一个红包，因此总红包数满足：
$ x(x-1)=72 $
整理方程得：
$ x^2 - x -72 = 0 $
因式分解得：
$ (x-9)(x+8)=0 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=-8 $
由于人数不能为负数，因此舍去$ x=-8 $，即$ x=9 $。
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程的应用，因式分解法解方程，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程应用的常规题型，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11.用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 - x - 3 = x$；
(2)$3x(x - 1) = 2 - 2x$；
(3)$(x - 5)^2 + 8x = 40$；
(4)$(x + 4)(500 - 10x) = 4400$。
11.用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 - x - 3 = x$；
(2)$3x(x - 1) = 2 - 2x$；
(3)$(x - 5)^2 + 8x = 40$；
(4)$(x + 4)(500 - 10x) = 4400$。
答案
11.(1)$x_1=3,x_2=-1$ (2)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
(3)$x_1=5,x_2=-3$ (4)$x_1=6,x_2=40$
(3)$x_1=5,x_2=-3$ (4)$x_1=6,x_2=40$
解析
【分析】
解一元二次方程常用方法有因式分解法、公式法、配方法等，解题时可先对方程做整理变形，优先观察是否能通过提公因式、十字相乘等方式因式分解，若可以优先选择因式分解法，计算更简便。各小题具体思考方向：(1)先移项合并同类项得到一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解；(2)方程右侧可变形为含(x-1)的因式，移项后提取公因式即可求解；(3)将方程左侧的一次项和常数项合并变形，可提取公因式(x-5)，无需完全展开平方项；(4)先化简方程，整理为一般形式后再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 移项合并同类项得：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
解得 $x_1=3, x_2=-1$。
(2) 移项变形得：$3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$，
提取公因式得：$(x - 1)(3x + 2) = 0$，
$\therefore x - 1 = 0$ 或 $3x + 2 = 0$，
解得 $x_1=1, x_2=-\frac{2}{3}$。
(3) 变形原式得：$(x - 5)^2 + 8(x - 5) = 0$，
提取公因式得：$(x - 5)(x - 5 + 8) = 0$，即 $(x - 5)(x + 3) = 0$，
$\therefore x - 5 = 0$ 或 $x + 3 = 0$，
解得 $x_1=5, x_2=-3$。
(4) 化简原方程：两边同时除以10得 $(x + 4)(50 - x) = 440$，
展开并整理得：$x^2 - 46x + 240 = 0$，
因式分解得：$(x - 6)(x - 40) = 0$，
$\therefore x - 6 = 0$ 或 $x - 40 = 0$，
解得 $x_1=6, x_2=40$。
【答案】
11.(1)$x_1=3,x_2=-1$ (2)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
(3)$x_1=5,x_2=-3$ (4)$x_1=6,x_2=40$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的化简、提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时要先观察方程特征，优先选择简便的因式分解法，既可以提升解题速度，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程常用方法有因式分解法、公式法、配方法等，解题时可先对方程做整理变形，优先观察是否能通过提公因式、十字相乘等方式因式分解，若可以优先选择因式分解法，计算更简便。各小题具体思考方向：(1)先移项合并同类项得到一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解；(2)方程右侧可变形为含(x-1)的因式，移项后提取公因式即可求解；(3)将方程左侧的一次项和常数项合并变形，可提取公因式(x-5)，无需完全展开平方项；(4)先化简方程，整理为一般形式后再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 移项合并同类项得：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
解得 $x_1=3, x_2=-1$。
(2) 移项变形得：$3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$，
提取公因式得：$(x - 1)(3x + 2) = 0$，
$\therefore x - 1 = 0$ 或 $3x + 2 = 0$，
解得 $x_1=1, x_2=-\frac{2}{3}$。
(3) 变形原式得：$(x - 5)^2 + 8(x - 5) = 0$，
提取公因式得：$(x - 5)(x - 5 + 8) = 0$，即 $(x - 5)(x + 3) = 0$，
$\therefore x - 5 = 0$ 或 $x + 3 = 0$，
解得 $x_1=5, x_2=-3$。
(4) 化简原方程：两边同时除以10得 $(x + 4)(50 - x) = 440$，
展开并整理得：$x^2 - 46x + 240 = 0$，
因式分解得：$(x - 6)(x - 40) = 0$，
$\therefore x - 6 = 0$ 或 $x - 40 = 0$，
解得 $x_1=6, x_2=40$。
【答案】
11.(1)$x_1=3,x_2=-1$ (2)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
(3)$x_1=5,x_2=-3$ (4)$x_1=6,x_2=40$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的化简、提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时要先观察方程特征，优先选择简便的因式分解法，既可以提升解题速度，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.8
