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12.已知关于$x$的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$.
(1)求证:无论$p$取何值,此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=3p^2+1$,求$p$的值.
(1)求证:无论$p$取何值,此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=3p^2+1$,求$p$的值.
答案
12.(1)证明:一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$可变形为$x^2 -5x +6 -p^2 -p=0$.
$\because \Delta=(-5)^2 -4(6 -p^2 -p)=25 -24 +4p^2 +4p=4p^2 +4p +1=(2p+1)^2\ge0$,
$\therefore$无论$p$取何值,此方程总有两个实数根.
(2)解:$\because$原方程的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 +x_2=5,x_1x_2=6 -p^2 -p$.
又$\because$方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=3p^2 +1$,
$\therefore (x_1 +x_2)^2 -3x_1x_2=3p^2 +1$,
$\therefore 5^2 -3(6 -p^2 -p)=3p^2 +1$,
$\therefore 25 -18 +3p^2 +3p=3p^2 +1$,
$\therefore 3p=-6,\therefore p=-2$,
即$p$的值为$-2$.
$\because \Delta=(-5)^2 -4(6 -p^2 -p)=25 -24 +4p^2 +4p=4p^2 +4p +1=(2p+1)^2\ge0$,
$\therefore$无论$p$取何值,此方程总有两个实数根.
(2)解:$\because$原方程的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 +x_2=5,x_1x_2=6 -p^2 -p$.
又$\because$方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=3p^2 +1$,
$\therefore (x_1 +x_2)^2 -3x_1x_2=3p^2 +1$,
$\therefore 5^2 -3(6 -p^2 -p)=3p^2 +1$,
$\therefore 25 -18 +3p^2 +3p=3p^2 +1$,
$\therefore 3p=-6,\therefore p=-2$,
即$p$的值为$-2$.
解析
【分析】
(1) 要证明无论p取何值，一元二次方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需先将原方程整理为一般形式，计算判别式Δ，证明Δ≥0即可。
(2) 已知方程两根满足的代数式关系，可先根据根与系数的关系写出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入后得到关于p的方程，求解即可得到p的值。
【解析】
(1) 证明：将原方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$展开整理为一般形式：
$x^2 -5x +6 -p^2 -p=0$
计算判别式：
$\Delta=(-5)^2 -4×1×(6 -p^2 -p)=25 -24 +4p^2 +4p=4p^2 +4p +1=(2p+1)^2$
$\because$无论$p$取何值，$(2p+1)^2\ge0$恒成立，即$\Delta\ge0$
$\therefore$无论$p$取何值，此方程总有两个实数根。
(2) 解：$\because x_1,x_2$是原方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1 +x_2=5$，$x_1x_2=6 -p^2 -p$
已知$x_1^2 +x_2^2 - x_1x_2=3p^2+1$，利用完全平方公式变形得：
$x_1^2 +x_2^2 - x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=6 -p^2 -p$代入上式得：
$5^2 -3(6 -p^2 -p)=3p^2 +1$
化简计算：
$25 -18 +3p^2 +3p=3p^2 +1$
移项合并同类项得：$3p=-6$
解得：$p=-2$
【答案】
(1) 无论p取何值，此方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $p=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，既考查了利用根的判别式判断根的情况的方法，也考查了利用根与系数的关系求解参数的技巧，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，计算时注意符号的处理，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明无论p取何值，一元二次方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需先将原方程整理为一般形式，计算判别式Δ，证明Δ≥0即可。
(2) 已知方程两根满足的代数式关系，可先根据根与系数的关系写出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入后得到关于p的方程，求解即可得到p的值。
【解析】
(1) 证明：将原方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$展开整理为一般形式：
$x^2 -5x +6 -p^2 -p=0$
计算判别式：
$\Delta=(-5)^2 -4×1×(6 -p^2 -p)=25 -24 +4p^2 +4p=4p^2 +4p +1=(2p+1)^2$
$\because$无论$p$取何值，$(2p+1)^2\ge0$恒成立，即$\Delta\ge0$
$\therefore$无论$p$取何值，此方程总有两个实数根。
(2) 解：$\because x_1,x_2$是原方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1 +x_2=5$，$x_1x_2=6 -p^2 -p$
已知$x_1^2 +x_2^2 - x_1x_2=3p^2+1$，利用完全平方公式变形得：
$x_1^2 +x_2^2 - x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=6 -p^2 -p$代入上式得：
$5^2 -3(6 -p^2 -p)=3p^2 +1$
化简计算：
$25 -18 +3p^2 +3p=3p^2 +1$
移项合并同类项得：$3p=-6$
解得：$p=-2$
【答案】
(1) 无论p取何值，此方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $p=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，既考查了利用根的判别式判断根的情况的方法，也考查了利用根与系数的关系求解参数的技巧，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，计算时注意符号的处理，避免出错。
【难度系数】
0.7
13.(2025·苏州一模)某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用,成功研制出后投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为10元/件,公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于12元,不高于32元.在销售过程中发现:销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示.
(1)求y(万件)与销售价格x(元/件)之间的函数表达式;
(2)求销售这种电子产品的售价是每件多少元时,利润为85万元?(利润=总售价-总成本-研发费用)
(1)求y(万件)与销售价格x(元/件)之间的函数表达式;
(2)求销售这种电子产品的售价是每件多少元时,利润为85万元?(利润=总售价-总成本-研发费用)
答案
13.解:(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$,将$(12,20),(32,0)$代入,得
$\begin{cases}12k +b=20,\\32k +b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=32.\end{cases}$
$\therefore y$(万件)与销售价格$x$(元/件)之间的函数表达式为$y=-x+32$.
(2)根据题意,得$(x-10)y -20=85$,即$(x-10)(-x+32)-20=85$,
整理,得$x^2 -42x +425=0$,解得$x_1=25,x_2=17$.
答:销售这种电子产品的售价是25元/件或17元/件时,利润为85万元.
$\begin{cases}12k +b=20,\\32k +b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=32.\end{cases}$
$\therefore y$(万件)与销售价格$x$(元/件)之间的函数表达式为$y=-x+32$.
(2)根据题意,得$(x-10)y -20=85$,即$(x-10)(-x+32)-20=85$,
整理,得$x^2 -42x +425=0$,解得$x_1=25,x_2=17$.
答:销售这种电子产品的售价是25元/件或17元/件时,利润为85万元.
解析
【分析】
(1) 观察图像可知销售量y与销售价格x是一次函数关系，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$，再将图像给出的两个已知点$(12,20)$和$(32,0)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式，同时注意x的取值范围为$12≤ x≤32$。
(2) 利用题目给出的利润计算公式，先表示出扣除生产成本后的毛利润，再减去研发费用，令总利润等于85万元列出方程，将(1)中求得的y的表达式代入方程，整理为一元二次方程的标准形式求解，最后检验所得解是否符合售价的取值范围即可。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$，
将$(12,20)$、$(32,0)$代入解析式，得：
$\begin{cases}12k +b=20\\32k +b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=32\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+32\quad(12≤ x≤32)$。
(2) 根据题意列方程：
$(x-10)y -20=85$
将$y=-x+32$代入上式，得：
$(x-10)(-x+32)-20=85$
整理，得$x^2 -42x +425=0$
因式分解得$(x-17)(x-25)=0$
解得$x_1=17$，$x_2=25$，两个解均满足$12≤ x≤32$，符合题意。
【答案】
(1) $y=-x+32$；
(2) 17元/件或25元/件
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程的应用，利润问题计算
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，解题核心是先从图像中提取信息求出一次函数解析式，再结合利润的等量关系列方程求解，解题时需注意检验方程的解是否符合实际取值要求。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图像可知销售量y与销售价格x是一次函数关系，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$，再将图像给出的两个已知点$(12,20)$和$(32,0)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式，同时注意x的取值范围为$12≤ x≤32$。
(2) 利用题目给出的利润计算公式，先表示出扣除生产成本后的毛利润，再减去研发费用，令总利润等于85万元列出方程，将(1)中求得的y的表达式代入方程，整理为一元二次方程的标准形式求解，最后检验所得解是否符合售价的取值范围即可。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$，
将$(12,20)$、$(32,0)$代入解析式，得：
$\begin{cases}12k +b=20\\32k +b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=32\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+32\quad(12≤ x≤32)$。
(2) 根据题意列方程：
$(x-10)y -20=85$
将$y=-x+32$代入上式，得：
$(x-10)(-x+32)-20=85$
整理，得$x^2 -42x +425=0$
因式分解得$(x-17)(x-25)=0$
解得$x_1=17$，$x_2=25$，两个解均满足$12≤ x≤32$，符合题意。
【答案】
(1) $y=-x+32$；
(2) 17元/件或25元/件
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程的应用，利润问题计算
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，解题核心是先从图像中提取信息求出一次函数解析式，再结合利润的等量关系列方程求解，解题时需注意检验方程的解是否符合实际取值要求。
【难度系数】
0.7
14.在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中,中国组合击败朝鲜组合夺冠,这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌,填补了国乒在奥运会混双项目上的空白,标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖.
(1)据市场调研发现,某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升,已知6月共销售乒乓球拍500副,每月的月销售增长率相同,8月共销售720副,求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率.
(2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售40副,每副盈利40元,每副的售价每下降2元,则每天可多售10副,该乒乓球拍的日销售利润能否达到3000元?如果能,请求出每副乒乓球拍的售价;如果不能,请说明理由.
(1)据市场调研发现,某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升,已知6月共销售乒乓球拍500副,每月的月销售增长率相同,8月共销售720副,求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率.
(2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售40副,每副盈利40元,每副的售价每下降2元,则每天可多售10副,该乒乓球拍的日销售利润能否达到3000元?如果能,请求出每副乒乓球拍的售价;如果不能,请说明理由.
答案
14.解:(1)设该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$x$,根据题意,得
$500(1+x)^2=720$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$20\%$.
(2)不能,理由:设每副乒乓球拍降价$y$元,则每副乒乓球拍盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(40+10×\frac{y}{2})$副,
根据题意,得$(40-y)(40+10×\frac{y}{2})=3000$,
整理,得$y^2 -32y +280=0$,
$\because \Delta=32^2 -4×280=-96＜0$,$\therefore$此方程无实数解.
$\therefore$乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元.
$500(1+x)^2=720$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$20\%$.
(2)不能,理由:设每副乒乓球拍降价$y$元,则每副乒乓球拍盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(40+10×\frac{y}{2})$副,
根据题意,得$(40-y)(40+10×\frac{y}{2})=3000$,
整理,得$y^2 -32y +280=0$,
$\because \Delta=32^2 -4×280=-96＜0$,$\therefore$此方程无实数解.
$\therefore$乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元.
解析
【分析】
(1) 本题属于增长率类应用题，解题时先明确等量关系：初始销售量×(1+月平均增长率)^增长月数=最终销售量。6月销售量为初始量500副，到8月共增长2次，最终销量为720副，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
(2) 本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总销售利润=单件利润×销售总量。先设每副降价y元，分别表示出降价后的单件利润、日销售量，代入总利润为3000元的条件列方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数解，即可判断能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$x$，根据题意得：
$500(1+x)^2=720$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 不能达到3000元，理由如下：
设每副乒乓球拍降价$y$元，则降价后每副盈利$(40-y)$元，平均每天可售出的数量为$(40+10×\frac{y}{2})$副。
根据总利润等量关系列方程得：
$(40-y)(40+10×\frac{y}{2})=3000$
整理得：$y^2 -32y +280=0$
计算根的判别式：$\Delta=32^2 -4×1×280=1024-1120=-96＜0$
因此该一元二次方程无实数解，即不存在符合条件的降价金额，所以乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元。
【答案】
(1) 该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$20\%$；
(2) 乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题结合奥运热点设置场景，贴近生活实际，是一元二次方程实际应用的典型题型。解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义检验解的合理性，第二问利用根的判别式判断方程解的存在性，是对一元二次方程相关知识的综合考查。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于增长率类应用题，解题时先明确等量关系：初始销售量×(1+月平均增长率)^增长月数=最终销售量。6月销售量为初始量500副，到8月共增长2次，最终销量为720副，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
(2) 本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总销售利润=单件利润×销售总量。先设每副降价y元，分别表示出降价后的单件利润、日销售量，代入总利润为3000元的条件列方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数解，即可判断能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$x$，根据题意得：
$500(1+x)^2=720$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 不能达到3000元，理由如下：
设每副乒乓球拍降价$y$元，则降价后每副盈利$(40-y)$元，平均每天可售出的数量为$(40+10×\frac{y}{2})$副。
根据总利润等量关系列方程得：
$(40-y)(40+10×\frac{y}{2})=3000$
整理得：$y^2 -32y +280=0$
计算根的判别式：$\Delta=32^2 -4×1×280=1024-1120=-96＜0$
因此该一元二次方程无实数解，即不存在符合条件的降价金额，所以乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元。
【答案】
(1) 该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$20\%$；
(2) 乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题结合奥运热点设置场景，贴近生活实际，是一元二次方程实际应用的典型题型。解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义检验解的合理性，第二问利用根的判别式判断方程解的存在性，是对一元二次方程相关知识的综合考查。
【难度系数】
0.7
