12.已知关于$x$的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$.
(1)求证:无论$p$取何值,此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=3p^2+1$,求$p$的值.

12.(1)证明:一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$可变形为$x^2 -5x +6 -p^2 -p=0$.
$\because \Delta=(-5)^2 -4(6 -p^2 -p)=25 -24 +4p^2 +4p=4p^2 +4p +1=(2p+1)^2\ge0$,
$\therefore$无论$p$取何值,此方程总有两个实数根.
(2)解:$\because$原方程的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 +x_2=5,x_1x_2=6 -p^2 -p$.
又$\because$方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=3p^2 +1$,
$\therefore (x_1 +x_2)^2 -3x_1x_2=3p^2 +1$,
$\therefore 5^2 -3(6 -p^2 -p)=3p^2 +1$,
$\therefore 25 -18 +3p^2 +3p=3p^2 +1$,
$\therefore 3p=-6,\therefore p=-2$,
即$p$的值为$-2$.

13.(2025·苏州一模)某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用,成功研制出后投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为10元/件,公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于12元,不高于32元.在销售过程中发现:销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示.
(1)求y(万件)与销售价格x(元/件)之间的函数表达式;
(2)求销售这种电子产品的售价是每件多少元时,利润为85万元?(利润=总售价-总成本-研发费用)

13.解:(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$,将$(12,20),(32,0)$代入,得
$\begin{cases}12k +b=20,\\32k +b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=32.\end{cases}$
$\therefore y$(万件)与销售价格$x$(元/件)之间的函数表达式为$y=-x+32$.
(2)根据题意,得$(x-10)y -20=85$,即$(x-10)(-x+32)-20=85$,
整理,得$x^2 -42x +425=0$,解得$x_1=25,x_2=17$.
答:销售这种电子产品的售价是25元/件或17元/件时,利润为85万元.

14.在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中,中国组合击败朝鲜组合夺冠,这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌,填补了国乒在奥运会混双项目上的空白,标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖.
(1)据市场调研发现,某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升,已知6月共销售乒乓球拍500副,每月的月销售增长率相同,8月共销售720副,求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率.
(2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售40副,每副盈利40元,每副的售价每下降2元,则每天可多售10副,该乒乓球拍的日销售利润能否达到3000元?如果能,请求出每副乒乓球拍的售价;如果不能,请说明理由.

14.解:(1)设该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$x$,根据题意,得
$500(1+x)^2=720$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为$20\%$.
(2)不能,理由:设每副乒乓球拍降价$y$元,则每副乒乓球拍盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(40+10×\frac{y}{2})$副,
根据题意,得$(40-y)(40+10×\frac{y}{2})=3000$,
整理,得$y^2 -32y +280=0$,
$\because \Delta=32^2 -4×280=-96＜0$,$\therefore$此方程无实数解.
$\therefore$乒乓球拍的日销售利润不能达到3000元.