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9.如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2，∠AOB=30°，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过斜边OB的中点C.
(1)$k=$
(2)D为该反比例函数图象上的一点，若$DB// AC$，则$OB^2 - BD^2$的值为
(1)$k=$
$\sqrt{3}$
；(2)D为该反比例函数图象上的一点，若$DB// AC$，则$OB^2 - BD^2$的值为
4
.答案
9.(1)$\sqrt{3}$ (2)4
解析
【分析】
(1) 先利用直角三角形的边角关系求出点B的坐标，再根据中点坐标公式得到OB中点C的坐标，将C点坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
(2) 先用待定系数法求出直线AC的一次项系数，根据平行直线的一次项系数相等得到直线BD的系数，求出直线BD的解析式后与反比例函数联立，求出D点坐标与B点坐标的差值，结合勾股定理分别计算$OB^2$和$BD^2$，再求差值即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$AB=2$，$∠ AOB=30°$，
由$\tan∠ AOB=\frac{AB}{OA}$，得$OA=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(2\sqrt{3},2)$，
∵ C是OB的中点，原点O坐标为$(0,0)$，
∴ 点C的坐标为$(\frac{0+2\sqrt{3}}{2},\frac{0+2}{2})$，即$(\sqrt{3},1)$，
将$C(\sqrt{3},1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{\sqrt{3}}$，解得$k=\sqrt{3}$。
(2) 设直线AC的解析式为$y=ax+c$，将$A(2\sqrt{3},0)$、$C(\sqrt{3},1)$代入得：
$\begin{cases} 2\sqrt{3}a +c=0 \\ \sqrt{3}a +c=1 \end{cases}$，
两式相减得$\sqrt{3}a=-1$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵ $DB// AC$，
∴ 直线BD的一次项系数与AC相等，设直线BD解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+d$，
将$B(2\sqrt{3},2)$代入得：$-\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{3}+d=2$，解得$d=4$，
∴ 直线BD的解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4$，
联立$\begin{cases} y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4 \\ y=\frac{\sqrt{3}}{x} \end{cases}$，消去y整理得$x^2-4\sqrt{3}x+3=0$，解得$x=2\sqrt{3}\pm3$，
设D点坐标为$(x,y)$，则$x-2\sqrt{3}=\pm3$，代入直线BD解析式得$y-2=\mp\sqrt{3}$，
∴ $BD^2=(x-2\sqrt{3})^2+(y-2)^2=(\pm3)^2+(\mp\sqrt{3})^2=12$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得$OB^2=OA^2+AB^2=(2\sqrt{3})^2+2^2=16$，
∴ $OB^2-BD^2=16-12=4$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$4$
【知识点】
反比例函数的性质，直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的交点
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，第一问基础，通过坐标法即可快速求解，第二问需要结合平行直线的解析式特征联立方程，注重考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 先利用直角三角形的边角关系求出点B的坐标，再根据中点坐标公式得到OB中点C的坐标，将C点坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
(2) 先用待定系数法求出直线AC的一次项系数，根据平行直线的一次项系数相等得到直线BD的系数，求出直线BD的解析式后与反比例函数联立，求出D点坐标与B点坐标的差值，结合勾股定理分别计算$OB^2$和$BD^2$，再求差值即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$AB=2$，$∠ AOB=30°$，
由$\tan∠ AOB=\frac{AB}{OA}$，得$OA=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(2\sqrt{3},2)$，
∵ C是OB的中点，原点O坐标为$(0,0)$，
∴ 点C的坐标为$(\frac{0+2\sqrt{3}}{2},\frac{0+2}{2})$，即$(\sqrt{3},1)$，
将$C(\sqrt{3},1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{\sqrt{3}}$，解得$k=\sqrt{3}$。
(2) 设直线AC的解析式为$y=ax+c$，将$A(2\sqrt{3},0)$、$C(\sqrt{3},1)$代入得：
$\begin{cases} 2\sqrt{3}a +c=0 \\ \sqrt{3}a +c=1 \end{cases}$，
两式相减得$\sqrt{3}a=-1$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵ $DB// AC$，
∴ 直线BD的一次项系数与AC相等，设直线BD解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+d$，
将$B(2\sqrt{3},2)$代入得：$-\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{3}+d=2$，解得$d=4$，
∴ 直线BD的解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4$，
联立$\begin{cases} y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4 \\ y=\frac{\sqrt{3}}{x} \end{cases}$，消去y整理得$x^2-4\sqrt{3}x+3=0$，解得$x=2\sqrt{3}\pm3$，
设D点坐标为$(x,y)$，则$x-2\sqrt{3}=\pm3$，代入直线BD解析式得$y-2=\mp\sqrt{3}$，
∴ $BD^2=(x-2\sqrt{3})^2+(y-2)^2=(\pm3)^2+(\mp\sqrt{3})^2=12$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得$OB^2=OA^2+AB^2=(2\sqrt{3})^2+2^2=16$，
∴ $OB^2-BD^2=16-12=4$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$4$
【知识点】
反比例函数的性质，直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的交点
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，第一问基础，通过坐标法即可快速求解，第二问需要结合平行直线的解析式特征联立方程，注重考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
三、解答题
10.在工程实施过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数 y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系,图象如图所示.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2)若该工程队有 4 台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠 30 米,问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?
10.在工程实施过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数 y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系,图象如图所示.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2)若该工程队有 4 台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠 30 米,问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?
答案
10.解:(1)设$y=\frac{k}{x}$,由图可知点$(24,50)$在此图象上,
则$k=50×24=1200$,
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$.
(2)由题意知,4 台挖掘机每天能够开挖水渠 $30×4=120$(米),当$x=120$ 时,$y=\frac{1200}{x}=10$,
答:该工程队需要用 10 天才能完成此项任务.
则$k=50×24=1200$,
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$.
(2)由题意知,4 台挖掘机每天能够开挖水渠 $30×4=120$(米),当$x=120$ 时,$y=\frac{1200}{x}=10$,
答:该工程队需要用 10 天才能完成此项任务.
解析
【分析】
(1) 已知y与x是反比例函数关系，求函数表达式优先使用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再利用图像给出的已知点坐标代入计算，即可求出常数k，得到函数表达式。
(2) 第二问先计算工程队每天的总开挖长度，即自变量x的取值，再将x代入第一问求出的函数表达式中，计算得到的函数值y就是完成任务所需的天数。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由图像可知点$(24,50)$在该函数图象上，将$x=24$，$y=50$代入表达式得：
$k=xy=24×50=1200$，
$\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$。
(2) 由题意得，4台挖掘机每天总开挖长度为：$4×30=120$（米），即$x=120$，
将$x=120$代入$y=\frac{1200}{x}$得：$y=\frac{1200}{120}=10$（天）。
【答案】
(1) $y=\frac{1200}{x}$；(2) 10天
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数实际应用；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数结合工程问题的基础应用题，核心考查待定系数法求反比例函数解析式的掌握程度，以及结合实际场景代入计算的能力，解题时只要理清工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
(1) 已知y与x是反比例函数关系，求函数表达式优先使用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再利用图像给出的已知点坐标代入计算，即可求出常数k，得到函数表达式。
(2) 第二问先计算工程队每天的总开挖长度，即自变量x的取值，再将x代入第一问求出的函数表达式中，计算得到的函数值y就是完成任务所需的天数。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由图像可知点$(24,50)$在该函数图象上，将$x=24$，$y=50$代入表达式得：
$k=xy=24×50=1200$，
$\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$。
(2) 由题意得，4台挖掘机每天总开挖长度为：$4×30=120$（米），即$x=120$，
将$x=120$代入$y=\frac{1200}{x}$得：$y=\frac{1200}{120}=10$（天）。
【答案】
(1) $y=\frac{1200}{x}$；(2) 10天
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数实际应用；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数结合工程问题的基础应用题，核心考查待定系数法求反比例函数解析式的掌握程度，以及结合实际场景代入计算的能力，解题时只要理清工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(1,4),B(4,n)$.
(1)求这两个函数的表达式；
(2)请结合图象直接写出不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集；
(3)若$P$为$x$轴上一点,$△ ABP$的面积为$6$,求点$P$的坐标.
(1)求这两个函数的表达式；
(2)请结合图象直接写出不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集；
(3)若$P$为$x$轴上一点,$△ ABP$的面积为$6$,求点$P$的坐标.
答案
11.解:(1)$\because$双曲线$y=\frac{m}{x}$过点$A(1,4),B(4,n)$,
$\therefore m=1×4=4n$,
$\therefore m=4,n=1$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x},B(4,1)$.
$\because$直线$y=kx+b$过点$A,B$,
$\therefore \begin{cases} k+b=4,\\4k+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-1,\\b=5.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x+5$.
(2)根据图象,得当$0＜x≤1$或$x≥4$时,$kx+b≤\frac{m}{x}$,
$\therefore$不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集为$0＜x≤1$或$x≥4$.
(3)如答图,设直线$AB$与$x$轴交于点$C$,则$C(5,0)$.
$\because△ ABP$的面积为6,
$\therefore\frac{1}{2}× PC×4-\frac{1}{2}× PC×1=6$,
$\therefore PC=4,\therefore$点$P$的坐标为$(1,0)$或$(9,0)$.
解析
【分析】
(1)求函数表达式采用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式，再将点B代入反比例函数求出n的值得到B点坐标，最后将A、B两点代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数。
(2)求不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合图象观察，注意反比例函数$x≠0$的定义域限制。
(3)求x轴上点P的坐标，先找到直线AB与x轴的交点C，将$△ ABP$的面积转化为$△ ACP$与$△ BCP$的面积差，两个三角形同底为PC，高分别为A、B的纵坐标，根据面积列方程求出PC的长度，再分点P在C的左侧、右侧两种情况计算P的坐标即可。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$过点$A(1,4)$，
$\therefore$ 代入得$m=1×4=4$，即反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
将$B(4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{4}=1$，即$B(4,1)$。
$\because$ 一次函数$y=kx+b$过$A(1,4)$、$B(4,1)$，
$\therefore$ 列方程组$\begin{cases}k+b=4\\4k+b=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=5\end{cases}$，即一次函数表达式为$y=-x+5$。
(2) 观察图象：$x＜0$时一次函数值为正，反比例函数值为负，一次函数始终在反比例函数上方；$0＜x≤1$或$x≥4$时，一次函数图象在反比例函数下方（含交点），因此不等式的解集为$0＜x≤1$或$x≥4$。
(3) 令一次函数$y=-x+5$中$y=0$，解得$x=5$，即直线AB与x轴交点$C(5,0)$。
设P点坐标为$(t,0)$，则$PC=|t-5|$，
$\because S_{△ ABP}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}=6$，
$\therefore \frac{1}{2}× PC×4 - \frac{1}{2}× PC×1=6$，
化简得$\frac{3}{2}PC=6$，解得$PC=4$，
$\therefore |t-5|=4$，即$t=5+4=9$或$t=5-4=1$，
$\therefore$ 点P的坐标为$(1,0)$或$(9,0)$。
【答案】
(1)反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x+5}$；
(2)不等式的解集为$\boldsymbol{0＜x≤1}$或$\boldsymbol{x≥4}$；
(3)点$P$的坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$或$\boldsymbol{(9,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、函数图象解不等式、坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了数形结合思想的应用，处理三角形面积时要学会将不规则面积转化为规则图形面积的和差，注意分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)求函数表达式采用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式，再将点B代入反比例函数求出n的值得到B点坐标，最后将A、B两点代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数。
(2)求不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合图象观察，注意反比例函数$x≠0$的定义域限制。
(3)求x轴上点P的坐标，先找到直线AB与x轴的交点C，将$△ ABP$的面积转化为$△ ACP$与$△ BCP$的面积差，两个三角形同底为PC，高分别为A、B的纵坐标，根据面积列方程求出PC的长度，再分点P在C的左侧、右侧两种情况计算P的坐标即可。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$过点$A(1,4)$，
$\therefore$ 代入得$m=1×4=4$，即反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
将$B(4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{4}=1$，即$B(4,1)$。
$\because$ 一次函数$y=kx+b$过$A(1,4)$、$B(4,1)$，
$\therefore$ 列方程组$\begin{cases}k+b=4\\4k+b=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=5\end{cases}$，即一次函数表达式为$y=-x+5$。
(2) 观察图象：$x＜0$时一次函数值为正，反比例函数值为负，一次函数始终在反比例函数上方；$0＜x≤1$或$x≥4$时，一次函数图象在反比例函数下方（含交点），因此不等式的解集为$0＜x≤1$或$x≥4$。
(3) 令一次函数$y=-x+5$中$y=0$，解得$x=5$，即直线AB与x轴交点$C(5,0)$。
设P点坐标为$(t,0)$，则$PC=|t-5|$，
$\because S_{△ ABP}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}=6$，
$\therefore \frac{1}{2}× PC×4 - \frac{1}{2}× PC×1=6$，
化简得$\frac{3}{2}PC=6$，解得$PC=4$，
$\therefore |t-5|=4$，即$t=5+4=9$或$t=5-4=1$，
$\therefore$ 点P的坐标为$(1,0)$或$(9,0)$。
【答案】
(1)反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x+5}$；
(2)不等式的解集为$\boldsymbol{0＜x≤1}$或$\boldsymbol{x≥4}$；
(3)点$P$的坐标为$\boldsymbol{(1,0)}$或$\boldsymbol{(9,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、函数图象解不等式、坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了数形结合思想的应用，处理三角形面积时要学会将不规则面积转化为规则图形面积的和差，注意分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
