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1.(2025·南京一模)如图,一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形.转动两次,转盘停止时指针均指向区域A的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{3}{16}$
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{3}{16}$
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先分析单次转动的概率：转盘被等分为4个扇形，转动1次共有4种等可能的结果，其中指针指向区域A的结果仅1种，因此单次转动指向A的概率为$\frac{1}{4}$。两次转动是互不影响的独立试验，求两次均指向A的概率，可通过独立事件概率乘法公式计算，也可通过列举所有等可能结果，用符合条件的结果数除以总结果数求解。
【解析】
方法一：独立事件概率乘法
因为转盘4等分，转动1次指针指向区域A的概率为$\frac{1}{4}$，两次转动为独立事件，因此两次均指向A的概率为：
$\frac{1}{4} × \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
方法二：列举法
转动两次转盘，总共有$4 × 4=16$种等可能的结果，其中两次指针都指向区域A的结果只有1种，因此所求概率$P=\frac{1}{16}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能概率计算，独立事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心是先确定单次试验的概率，结合两次试验的独立性即可快速求解，也可通过列举所有结果验证答案，属于基础得分题，掌握概率基本计算方法即可答对。
【难度系数】
0.8
解题时首先分析单次转动的概率：转盘被等分为4个扇形，转动1次共有4种等可能的结果，其中指针指向区域A的结果仅1种，因此单次转动指向A的概率为$\frac{1}{4}$。两次转动是互不影响的独立试验，求两次均指向A的概率，可通过独立事件概率乘法公式计算，也可通过列举所有等可能结果，用符合条件的结果数除以总结果数求解。
【解析】
方法一：独立事件概率乘法
因为转盘4等分，转动1次指针指向区域A的概率为$\frac{1}{4}$，两次转动为独立事件，因此两次均指向A的概率为：
$\frac{1}{4} × \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
方法二：列举法
转动两次转盘，总共有$4 × 4=16$种等可能的结果，其中两次指针都指向区域A的结果只有1种，因此所求概率$P=\frac{1}{16}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能概率计算，独立事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心是先确定单次试验的概率，结合两次试验的独立性即可快速求解，也可通过列举所有结果验证答案，属于基础得分题，掌握概率基本计算方法即可答对。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宿迁沭阳县一模)如图,正方形的边长为2,阴影部分是正方形的内切圆.若在正方形内任取一点,则该点落在阴影部分的概率为（
A.$\frac{π}{4}$
B.$3π$
C.$2π$
D.$\frac{π}{8}$
A
）A.$\frac{π}{4}$
B.$3π$
C.$2π$
D.$\frac{π}{8}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题属于几何概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先明确几何概型中事件发生的概率等于符合条件的区域面积除以总区域的面积。本题总区域是边长为2的正方形，符合条件的区域为正方形的内切圆（阴影部分），因此只需要分别计算出正方形和内切圆的面积，再求二者的比值即可得到所求概率。
【解析】
解：第一步，计算正方形的总面积：
已知正方形边长为2，因此正方形面积为 $S_{\mathrm{正方形}} = 2 × 2 = 4$。
第二步，计算阴影部分（内切圆）的面积：
正方形内切圆的直径等于正方形的边长，即直径$d=2$，因此圆的半径$r=\frac{d}{2}=1$。
根据圆的面积公式可得 $S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π × 1^2 = π$。
第三步，计算所求概率：
根据几何概型的概率计算公式，任取一点落在阴影部分的概率为 $P = \frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{总}}} = \frac{S_{\mathrm{圆}}}{S_{\mathrm{正方形}}} = \frac{π}{4}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
几何概型计算，正方形内切圆性质，图形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是理解几何概型的概率为对应区域的面积比，解题的关键是掌握正方形内切圆半径和正方形边长的关系，只要熟练掌握相关图形的面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
本题属于几何概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先明确几何概型中事件发生的概率等于符合条件的区域面积除以总区域的面积。本题总区域是边长为2的正方形，符合条件的区域为正方形的内切圆（阴影部分），因此只需要分别计算出正方形和内切圆的面积，再求二者的比值即可得到所求概率。
【解析】
解：第一步，计算正方形的总面积：
已知正方形边长为2，因此正方形面积为 $S_{\mathrm{正方形}} = 2 × 2 = 4$。
第二步，计算阴影部分（内切圆）的面积：
正方形内切圆的直径等于正方形的边长，即直径$d=2$，因此圆的半径$r=\frac{d}{2}=1$。
根据圆的面积公式可得 $S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π × 1^2 = π$。
第三步，计算所求概率：
根据几何概型的概率计算公式，任取一点落在阴影部分的概率为 $P = \frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{总}}} = \frac{S_{\mathrm{圆}}}{S_{\mathrm{正方形}}} = \frac{π}{4}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
几何概型计算，正方形内切圆性质，图形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是理解几何概型的概率为对应区域的面积比，解题的关键是掌握正方形内切圆半径和正方形边长的关系，只要熟练掌握相关图形的面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
3.(2025·宿迁泗阳县期末)如图,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是
$\frac{4}{9}$
.答案
3.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
本题属于几何概率问题，概率等于阴影部分面积与图形总面积的比值。解题时可先设每个小正方形边长为1，先求出大正方形的总面积，再通过计算空白部分的面积，用总面积减去空白面积得到阴影面积，最后计算两者的比值即可得到所求概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算大正方形总面积：大正方形边长为3，因此总面积 $ S_{\mathrm{总}} = 3 × 3 = 9 $。
2. 计算空白部分面积：空白部分包含4个全等的直角三角形和中间1个小正方形。
每个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，单个三角形面积为 $ \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $，4个三角形总面积为 $ 4 × 1 = 4 $；
中间空白小正方形面积为 $ 1 × 1 = 1 $；
因此空白总面积 $ S_{\mathrm{空白}} = 4 + 1 = 5 $。
3. 计算阴影部分面积：$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{总}} - S_{\mathrm{空白}} = 9 - 5 = 4 $。
4. 计算概率：点取在阴影部分的概率 $ P = \frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{总}}} = \frac{4}{9} $。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
几何概率计算，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查几何概率的求解，核心是掌握几何概率的计算方法，即概率等于相应区域面积与总面积的比值。计算不规则图形面积时采用总面积减空白面积的方法，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概率问题，概率等于阴影部分面积与图形总面积的比值。解题时可先设每个小正方形边长为1，先求出大正方形的总面积，再通过计算空白部分的面积，用总面积减去空白面积得到阴影面积，最后计算两者的比值即可得到所求概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算大正方形总面积：大正方形边长为3，因此总面积 $ S_{\mathrm{总}} = 3 × 3 = 9 $。
2. 计算空白部分面积：空白部分包含4个全等的直角三角形和中间1个小正方形。
每个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，单个三角形面积为 $ \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $，4个三角形总面积为 $ 4 × 1 = 4 $；
中间空白小正方形面积为 $ 1 × 1 = 1 $；
因此空白总面积 $ S_{\mathrm{空白}} = 4 + 1 = 5 $。
3. 计算阴影部分面积：$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{总}} - S_{\mathrm{空白}} = 9 - 5 = 4 $。
4. 计算概率：点取在阴影部分的概率 $ P = \frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{总}}} = \frac{4}{9} $。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
几何概率计算，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查几何概率的求解，核心是掌握几何概率的计算方法，即概率等于相应区域面积与总面积的比值。计算不规则图形面积时采用总面积减空白面积的方法，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
4.如图,为测量平地上一块不规则区域(图中阴影部分)的面积,画一边长为2 m的正方形,使不规则区域落在正方形内.现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的).经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25,由此可估计不规则区域的面积是
1
m².答案
4.1
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：首先利用大量重复试验中频率稳定在概率附近的规律，得到小石子落在不规则区域的概率；再结合几何概率的计算逻辑：小石子落在不规则区域的概率等于不规则区域面积与正方形总面积的比值，先求出正方形的面积，再代入概率关系就能推算出不规则区域的面积。
【解析】
1. 计算正方形的总面积：
已知正方形边长为$2\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{正方形}}=2×2=4\ \mathrm{m}^2$
2. 用频率估计概率：
经过大量重复投掷试验，小石子落在不规则区域的频率稳定在$0.25$，因此可估计小石子落在不规则区域的概率$P=0.25$。
3. 计算不规则区域的面积：
根据几何概率的计算公式$P=\frac{S_{\mathrm{不规则}}}{S_{\mathrm{正方形}}}$，变形可得：
$S_{\mathrm{不规则}}=P× S_{\mathrm{正方形}}=0.25×4=1\ \mathrm{m}^2$
【答案】
1
【知识点】
用频率估计概率；几何概率计算；正方形面积计算
【点评】
本题是概率在实际测量中的典型应用，通过频率估计概率的方法，将不规则图形的面积求解转化为概率与规则图形面积的乘积计算，很好地体现了数学知识的实用价值，解题逻辑清晰，属于基础类应用题目。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是：首先利用大量重复试验中频率稳定在概率附近的规律，得到小石子落在不规则区域的概率；再结合几何概率的计算逻辑：小石子落在不规则区域的概率等于不规则区域面积与正方形总面积的比值，先求出正方形的面积，再代入概率关系就能推算出不规则区域的面积。
【解析】
1. 计算正方形的总面积：
已知正方形边长为$2\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{正方形}}=2×2=4\ \mathrm{m}^2$
2. 用频率估计概率：
经过大量重复投掷试验，小石子落在不规则区域的频率稳定在$0.25$，因此可估计小石子落在不规则区域的概率$P=0.25$。
3. 计算不规则区域的面积：
根据几何概率的计算公式$P=\frac{S_{\mathrm{不规则}}}{S_{\mathrm{正方形}}}$，变形可得：
$S_{\mathrm{不规则}}=P× S_{\mathrm{正方形}}=0.25×4=1\ \mathrm{m}^2$
【答案】
1
【知识点】
用频率估计概率；几何概率计算；正方形面积计算
【点评】
本题是概率在实际测量中的典型应用，通过频率估计概率的方法，将不规则图形的面积求解转化为概率与规则图形面积的乘积计算，很好地体现了数学知识的实用价值，解题逻辑清晰，属于基础类应用题目。
【难度系数】
0.8
5.如图，转盘的灰色扇形和白色扇形的圆心角分别是$120°$和$240°$，让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率.（指针指在灰白交界处时，重新转动转盘）
答案
5.解:记灰色区域为 A,将白色区域平均分成两部分,分别记为 $B_1,B_2$,画树状图如答图.
共有9种等可能的结果,指针一次落在白色区域,另一次落在灰色区域的结果有4种,
∴指针一次落在白色区域,另一次落在灰色区域的概率为$\frac{4}{9}$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先观察到转盘灰色和白色区域圆心角不同，指针落在两个区域的概率不相等，因此先将面积是灰色2倍的白色区域拆分为两个和灰色面积相等的子区域，把问题转化为三个等概率区域的转盘概率问题；其次转动2次属于两步试验，用树状图法列举出所有等可能的结果，再从中筛选出“一次落在白色区域、一次落在灰色区域”的结果，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
记灰色区域为A，白色扇形圆心角为240°，是灰色扇形圆心角120°的2倍，因此将白色区域平均分为两个圆心角为120°的部分，分别记为$B_1$、$B_2$，此时指针落在A、$B_1$、$B_2$三个区域的概率相等。
画出两次转动转盘的树状图如下：
由树状图可得，共有9种等可能的结果。
其中满足指针一次落在白色区域、另一次落在灰色区域的结果有$(A,B_1)$、$(A,B_2)$、$(B_1,A)$、$(B_2,A)$，共4种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
记灰色区域为 A,将白色区域平均分成两部分,分别记为 $B_1,B_2$,画树状图如答图.
共有9种等可能的结果,指针一次落在白色区域,另一次落在灰色区域的结果有4种,
∴指针一次落在白色区域,另一次落在灰色区域的概率为$\frac{4}{9}$.
【知识点】
几何概率，树状图列举法，概率计算
【点评】
本题重点考查非等可能事件的概率转化思路，解题的关键是将不等概率的区域转化为等概率区域，再用列举法求概率，需要注意“一次白一次灰”包含两种先后顺序的情况，避免漏算结果。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先观察到转盘灰色和白色区域圆心角不同，指针落在两个区域的概率不相等，因此先将面积是灰色2倍的白色区域拆分为两个和灰色面积相等的子区域，把问题转化为三个等概率区域的转盘概率问题；其次转动2次属于两步试验，用树状图法列举出所有等可能的结果，再从中筛选出“一次落在白色区域、一次落在灰色区域”的结果，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
记灰色区域为A，白色扇形圆心角为240°，是灰色扇形圆心角120°的2倍，因此将白色区域平均分为两个圆心角为120°的部分，分别记为$B_1$、$B_2$，此时指针落在A、$B_1$、$B_2$三个区域的概率相等。
画出两次转动转盘的树状图如下：
由树状图可得，共有9种等可能的结果。
其中满足指针一次落在白色区域、另一次落在灰色区域的结果有$(A,B_1)$、$(A,B_2)$、$(B_1,A)$、$(B_2,A)$，共4种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
记灰色区域为 A,将白色区域平均分成两部分,分别记为 $B_1,B_2$,画树状图如答图.
共有9种等可能的结果,指针一次落在白色区域,另一次落在灰色区域的结果有4种,
∴指针一次落在白色区域,另一次落在灰色区域的概率为$\frac{4}{9}$.
【知识点】
几何概率，树状图列举法，概率计算
【点评】
本题重点考查非等可能事件的概率转化思路，解题的关键是将不等概率的区域转化为等概率区域，再用列举法求概率，需要注意“一次白一次灰”包含两种先后顺序的情况，避免漏算结果。
【难度系数】
0.7
6.(2025·广东)如图,在直径BC为$2\sqrt{2}$的圆内有一个圆心角为$90°$的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为 (
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
D
)A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
6.D
解析
【分析】
本题属于几何概型问题，随机投米落在扇形内的概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值。解题思路如下：第一步先根据圆的直径求出整个圆的面积；第二步利用直径所对圆周角为直角的性质，结合扇形半径相等的特点，判断△ABC为等腰直角三角形，通过勾股定理求出扇形的半径长度；第三步利用扇形面积公式求出扇形ABC的面积；最后计算两个面积的比值即可得到所求概率。
【解析】
解：1. 计算整个圆的面积：
已知圆的直径$BC=2\sqrt{2}$，因此圆的半径$R=\sqrt{2}$，
根据圆的面积公式得：$S_{\mathrm{圆}}=π R^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
∵BC是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ BAC=90°$，
又
∵AB、AC是扇形ABC的半径，
∴AB=AC，即$△ ABC$为等腰直角三角形，
设AB=AC=r，由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，
代入数据得：$2r^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$r=2$。
已知扇形圆心角为$90°$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{n}{360°}π r^2$（n为圆心角度数），
代入$n=90°$，$r=2$得：$S_{\mathrm{扇}}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=π$。
3. 计算概率：
$P(\mathrm{米粒落在扇形内})=\frac{S_{\mathrm{扇}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型概率计算，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题将几何概率计算和圆的性质、勾股定理结合考查，解题的核心是明确几何概型的概率对应区域面积的比值，熟练掌握相关公式和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概型问题，随机投米落在扇形内的概率等于扇形ABC的面积与整个圆的面积的比值。解题思路如下：第一步先根据圆的直径求出整个圆的面积；第二步利用直径所对圆周角为直角的性质，结合扇形半径相等的特点，判断△ABC为等腰直角三角形，通过勾股定理求出扇形的半径长度；第三步利用扇形面积公式求出扇形ABC的面积；最后计算两个面积的比值即可得到所求概率。
【解析】
解：1. 计算整个圆的面积：
已知圆的直径$BC=2\sqrt{2}$，因此圆的半径$R=\sqrt{2}$，
根据圆的面积公式得：$S_{\mathrm{圆}}=π R^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
∵BC是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ BAC=90°$，
又
∵AB、AC是扇形ABC的半径，
∴AB=AC，即$△ ABC$为等腰直角三角形，
设AB=AC=r，由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，
代入数据得：$2r^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$r=2$。
已知扇形圆心角为$90°$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{n}{360°}π r^2$（n为圆心角度数），
代入$n=90°$，$r=2$得：$S_{\mathrm{扇}}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=π$。
3. 计算概率：
$P(\mathrm{米粒落在扇形内})=\frac{S_{\mathrm{扇}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型概率计算，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题将几何概率计算和圆的性质、勾股定理结合考查，解题的核心是明确几何概型的概率对应区域面积的比值，熟练掌握相关公式和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
