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7.(2025·张家港期末)二维码在我们的生活中应用广泛,小明同学借助软件进行掷点实验,估算面积为10 cm×10 cm的正方形二维码中黑色阴影的面积,如图.经过大量重复实验,发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.8左右,则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为
$80\ \mathrm{cm}^2$
.答案
7.$80\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中点落在黑色阴影的频率稳定在0.8，说明点落在黑色区域的概率约为0.8。其次投点问题属于几何概率范畴，事件发生的概率等于对应区域面积和总面积的比值，因此先求出二维码的总面积，再用总面积乘概率即可得到黑色阴影的估计面积。
【解析】
第一步：计算正方形二维码的总面积：
$S_{\mathrm{总}}=10\ \mathrm{cm} × 10\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm}^2$
第二步：根据频率估计概率，大量重复实验下频率稳定值即为概率的估计值，可得点落在黑色阴影的概率$P\approx0.8$。
第三步：结合几何概率公式$P=\dfrac{S_{\mathrm{黑}}}{S_{\mathrm{总}}}$，变形得黑色阴影面积：
$S_{\mathrm{黑}}=P · S_{\mathrm{总}}\approx0.8×100\ \mathrm{cm}^2=80\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$80\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
频率估计概率；几何概率计算
【点评】
本题结合生活中常见的二维码场景，考查概率的实际应用，解题核心是理解大量重复试验下频率可近似替代概率，再结合面积占比关系求解，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中点落在黑色阴影的频率稳定在0.8，说明点落在黑色区域的概率约为0.8。其次投点问题属于几何概率范畴，事件发生的概率等于对应区域面积和总面积的比值，因此先求出二维码的总面积，再用总面积乘概率即可得到黑色阴影的估计面积。
【解析】
第一步：计算正方形二维码的总面积：
$S_{\mathrm{总}}=10\ \mathrm{cm} × 10\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm}^2$
第二步：根据频率估计概率，大量重复实验下频率稳定值即为概率的估计值，可得点落在黑色阴影的概率$P\approx0.8$。
第三步：结合几何概率公式$P=\dfrac{S_{\mathrm{黑}}}{S_{\mathrm{总}}}$，变形得黑色阴影面积：
$S_{\mathrm{黑}}=P · S_{\mathrm{总}}\approx0.8×100\ \mathrm{cm}^2=80\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$80\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
频率估计概率；几何概率计算
【点评】
本题结合生活中常见的二维码场景，考查概率的实际应用，解题核心是理解大量重复试验下频率可近似替代概率，再结合面积占比关系求解，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.85
8.(2025·宿迁泗洪县二模)如图,在$4×4$的正方形网格中,灰色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任选一个白色的小正方形并涂灰,使图中灰色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
$\frac{5}{13}$
。答案
8.$\frac{5}{13}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们按照“算总情况数→找符合条件的情况数→代入概率公式计算”的思路思考：首先，概率的计算需要明确总等可能情况数和符合要求的情况数；先统计4×4网格中白色小正方形的总数，得到总情况数；再根据轴对称图形“沿某条直线对折后，直线两侧部分完全重合”的特征，逐一排查每个白色小正方形涂灰后是否满足轴对称，统计符合条件的数量，最后代入概率公式即可得到结果。
【解析】
解：步骤1：计算总等可能情况数
$4×4$的网格共有$4×4=16$个小正方形，现有灰色小正方形3个，因此白色小正方形的数量为$16-3=13$个，即任选1个白色小正方形涂灰，共有13种等可能的情况。
步骤2：统计符合条件的情况数
根据轴对称图形的定义逐一验证，可发现共有5个白色小正方形涂灰后，灰色部分仍构成轴对称图形。
步骤3：计算概率
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得所求概率为$\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
1. 轴对称图形的判定
2. 概率公式应用
【点评】
本题是轴对称识别与概率计算的基础综合题，解题的易错点是漏数或多数满足轴对称条件的涂灰位置，解题时可通过画出所有可能的对称轴辅助判断。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们按照“算总情况数→找符合条件的情况数→代入概率公式计算”的思路思考：首先，概率的计算需要明确总等可能情况数和符合要求的情况数；先统计4×4网格中白色小正方形的总数，得到总情况数；再根据轴对称图形“沿某条直线对折后，直线两侧部分完全重合”的特征，逐一排查每个白色小正方形涂灰后是否满足轴对称，统计符合条件的数量，最后代入概率公式即可得到结果。
【解析】
解：步骤1：计算总等可能情况数
$4×4$的网格共有$4×4=16$个小正方形，现有灰色小正方形3个，因此白色小正方形的数量为$16-3=13$个，即任选1个白色小正方形涂灰，共有13种等可能的情况。
步骤2：统计符合条件的情况数
根据轴对称图形的定义逐一验证，可发现共有5个白色小正方形涂灰后，灰色部分仍构成轴对称图形。
步骤3：计算概率
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得所求概率为$\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
1. 轴对称图形的判定
2. 概率公式应用
【点评】
本题是轴对称识别与概率计算的基础综合题，解题的易错点是漏数或多数满足轴对称条件的涂灰位置，解题时可通过画出所有可能的对称轴辅助判断。
【难度系数】
0.6
9.(2025·宿迁沭阳县三模)某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域分别标有“10元”“20元”“30元”“40元”的字样(如图).规定:同一天内，顾客在本商场消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券.
(1)若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为10元的概率是
(2)某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.
(1)若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为10元的概率是
$\frac{1}{4}$
；(2)某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.
答案
9.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图所示.
由答图可知,共有16种等可能的结果,其中“该顾客所获购物券金额不低于50元”的结果有10种,故 P(该顾客所获购物券金额不低于 50 元)=$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$.
解析
【分析】
(1) 转动转盘一次时，4个扇形面积相等，因此出现的4种结果是等可能的，其中获得10元购物券的情况只有1种，直接用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”的概率公式即可计算结果。
(2) 顾客消费260元，满足2次转动转盘的条件，两次转动的结果相互独立，可通过画树状图的方法列出两次转动所有等可能的结果，再从中找出两次金额之和不低于50元的结果数量，最后代入概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 转盘被平均分成4个面积相等的扇形，转动一次共有4种等可能的结果，其中指针指向“10元”区域的结果有1种，因此获得10元购物券的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 顾客消费260元，可转动转盘2次，画树状图如下：
由树状图可得，两次转动转盘共有16种等可能的结果，其中所获购物券总金额不低于50元的结果共有10种，因此：
$P(\mathrm{所获购物券金额不低于50元})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2) 树状图见，概率为$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，等可能事件
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查概率的计算，第一问较为基础，直接利用概率公式即可求解；第二问需要正确绘制树状图或列表梳理所有等可能结果，再结合概率公式计算，整体难度适中，侧重对概率基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 转动转盘一次时，4个扇形面积相等，因此出现的4种结果是等可能的，其中获得10元购物券的情况只有1种，直接用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”的概率公式即可计算结果。
(2) 顾客消费260元，满足2次转动转盘的条件，两次转动的结果相互独立，可通过画树状图的方法列出两次转动所有等可能的结果，再从中找出两次金额之和不低于50元的结果数量，最后代入概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 转盘被平均分成4个面积相等的扇形，转动一次共有4种等可能的结果，其中指针指向“10元”区域的结果有1种，因此获得10元购物券的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 顾客消费260元，可转动转盘2次，画树状图如下：
由树状图可得，两次转动转盘共有16种等可能的结果，其中所获购物券总金额不低于50元的结果共有10种，因此：
$P(\mathrm{所获购物券金额不低于50元})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2) 树状图见
，概率为$\frac{5}{8}$【知识点】
概率公式，树状图法求概率，等可能事件
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查概率的计算，第一问较为基础，直接利用概率公式即可求解；第二问需要正确绘制树状图或列表梳理所有等可能结果，再结合概率公式计算，整体难度适中，侧重对概率基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边长分别为$a,b$，斜边长为$c$. 如图②，现将与$\mathrm{Rt}△ ABC$全等的四个直角三角形拼成一个正方形$EFMN$.
(1)若正方形$EFMN$中四个直角三角形的两直角边长之比均为$2:3$. 现随机向图②内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
(2)若正方形$EFMN$的边长为$8$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$18$，求$△ ABC$的面积.
(1)若正方形$EFMN$中四个直角三角形的两直角边长之比均为$2:3$. 现随机向图②内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
(2)若正方形$EFMN$的边长为$8$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$18$，求$△ ABC$的面积.
答案
10.解:(1)
∵四个直角三角形的两直角边长之比均为2:3,
∴设$b=2k,a=3k$,由勾股定理,得$a^2+b^2=c^2$,
∴$c=\sqrt{13}k$,
∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是
$\frac{4×\frac{1}{2}×2k×3k}{13k^2}=\frac{12}{13}$.
(2)
∵正方形 EFMN 的边长为 8,
∴$c=8$,
∴$a^2+b^2=c^2=8^2=64$.
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为 18,
∴$a+b+c=18$,
∴$a+b=10$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=9$.
∵四个直角三角形的两直角边长之比均为2:3,
∴设$b=2k,a=3k$,由勾股定理,得$a^2+b^2=c^2$,
∴$c=\sqrt{13}k$,
∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是
$\frac{4×\frac{1}{2}×2k×3k}{13k^2}=\frac{12}{13}$.
(2)
∵正方形 EFMN 的边长为 8,
∴$c=8$,
∴$a^2+b^2=c^2=8^2=64$.
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为 18,
∴$a+b+c=18$,
∴$a+b=10$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=9$.
解析
【分析】
(1) 针尖落在直角三角形区域的概率等于四个直角三角形的总面积与大正方形EFMN的面积之比。已知直角边比值为2:3，可先设参数表示两条直角边，再通过勾股定理求出斜边（即大正方形的边长），分别计算两部分面积后求比值即可得到概率。
(2) 正方形EFMN的边长就是Rt△ABC的斜边长c，可得c=8，结合周长条件可求出a+b的值。要求三角形面积即求$\frac{1}{2}ab$，无需单独求解a、b的具体值，利用完全平方公式的变形，结合勾股定理代入计算即可。
【解析】
(1) 已知四个直角三角形的两直角边长之比为2:3，设$b=2k$，$a=3k$（$k＞0$）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，代入得$c=\sqrt{(3k)^2+(2k)^2}=\sqrt{13}k$，即大正方形EFMN的边长为$\sqrt{13}k$。
四个直角三角形的总面积为：$4× S_{△ABC}=4×\frac{1}{2}×2k×3k=12k^2$
大正方形EFMN的面积为：$c^2=(\sqrt{13}k)^2=13k^2$
因此针尖落在四个直角三角形区域的概率为：$\frac{12k^2}{13k^2}=\frac{12}{13}$。
(2)
∵正方形EFMN的边长为8，即Rt△ABC的斜边长$c=8$，
由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=8^2=64$。
又
∵Rt△ABC的周长为18，即$a+b+c=18$，
∴$a+b=18-c=18-8=10$。
对$a+b=10$两边平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=100$，
将$a^2+b^2=64$代入得：$64+2ab=100$，解得$ab=18$。
因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×18=9$。
【答案】
(1) $\frac{12}{13}$；(2) $9$
【知识点】
勾股定理，几何概率计算，完全平方公式应用
【点评】
本题结合了几何图形性质、概率计算和代数变形知识，解题时灵活运用公式变形可避免单独求解未知量，简化计算过程，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 针尖落在直角三角形区域的概率等于四个直角三角形的总面积与大正方形EFMN的面积之比。已知直角边比值为2:3，可先设参数表示两条直角边，再通过勾股定理求出斜边（即大正方形的边长），分别计算两部分面积后求比值即可得到概率。
(2) 正方形EFMN的边长就是Rt△ABC的斜边长c，可得c=8，结合周长条件可求出a+b的值。要求三角形面积即求$\frac{1}{2}ab$，无需单独求解a、b的具体值，利用完全平方公式的变形，结合勾股定理代入计算即可。
【解析】
(1) 已知四个直角三角形的两直角边长之比为2:3，设$b=2k$，$a=3k$（$k＞0$）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，代入得$c=\sqrt{(3k)^2+(2k)^2}=\sqrt{13}k$，即大正方形EFMN的边长为$\sqrt{13}k$。
四个直角三角形的总面积为：$4× S_{△ABC}=4×\frac{1}{2}×2k×3k=12k^2$
大正方形EFMN的面积为：$c^2=(\sqrt{13}k)^2=13k^2$
因此针尖落在四个直角三角形区域的概率为：$\frac{12k^2}{13k^2}=\frac{12}{13}$。
(2)
∵正方形EFMN的边长为8，即Rt△ABC的斜边长$c=8$，
由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=8^2=64$。
又
∵Rt△ABC的周长为18，即$a+b+c=18$，
∴$a+b=18-c=18-8=10$。
对$a+b=10$两边平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=100$，
将$a^2+b^2=64$代入得：$64+2ab=100$，解得$ab=18$。
因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×18=9$。
【答案】
(1) $\frac{12}{13}$；(2) $9$
【知识点】
勾股定理，几何概率计算，完全平方公式应用
【点评】
本题结合了几何图形性质、概率计算和代数变形知识，解题时灵活运用公式变形可避免单独求解未知量，简化计算过程，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
