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12.（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着锐角的变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，其正弦值和余弦值的变化规律.
（2）根据你探索到的规律，试比较$18°$、$34°$、$52°$、$65°$、$88°$这些角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（3）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）：
若$∠α = 45°$，则$\sinα$
若$∠α ＞ 45°$，则$\sinα$
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
$\sin10°$，$\cos30°$，$\sin50°$，$\cos70°$.
（2）根据你探索到的规律，试比较$18°$、$34°$、$52°$、$65°$、$88°$这些角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（3）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）：
若$∠α = 45°$，则$\sinα$
=
$\cosα$；若$∠α ＜ 45°$，则$\sinα$ ＜
$\cosα$；若$∠α ＞ 45°$，则$\sinα$
＞
$\cosα$.（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
$\sin10°$，$\cos30°$，$\sin50°$，$\cos70°$.
答案
12. (1) 规律：锐角度数增大时，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小. 探索如下：题图①中，令$AB_1=AB_2=AB_3$，$B_1C_1 ⊥ AC$于点$C_1$，$B_2C_2 ⊥ AC$于点$C_2$，$B_3C_3 ⊥ AC$于点$C_3$，显然有：$B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$，$∠B_1AC ＞ ∠B_2AC ＞ ∠B_3AC. ∵\sin∠B_1AC = \frac{B_1C_1}{AB_1}$，$\sin∠B_2AC = \frac{B_2C_2}{AB_2}$，$\sin∠B_3AC = \frac{B_3C_3}{AB_3}$，而$\frac{B_1C_1}{AB_1} ＞ \frac{B_2C_2}{AB_2} ＞ \frac{B_3C_3}{AB_3},∴\sin∠B_1AC ＞ \sin∠B_2AC ＞ \sin∠B_3AC.$ 题图②中，令$∠C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ACB_3$ 中，$\cos∠B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$，$\cos∠B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$，$\cos∠B_3AC = \frac{AC}{AB_3}. ∵AB_3 ＜ AB_2 ＜ AB_1,∴\frac{AC}{AB_3} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_1}.$ 即$\cos∠B_3AC ＞ \cos∠B_2AC ＞ \cos∠B_1AC$ （2）$\sin18° ＜ \sin34° ＜ \sin52° ＜ \sin65° ＜ \sin88°$；$\cos88° ＜ \cos65° ＜ \cos52° ＜ \cos34° ＜ \cos18°$ （3）= ＜ ＞ （4）$\sin10° ＜ \cos70° ＜ \sin50° ＜ \cos30°$
解析
【分析】
（1）探索锐角正弦、余弦的变化规律时，结合三角函数定义，利用题图的几何特征分析：图①控制斜边长度相等，正弦为对边与斜边的比值，观察角度增大时对边的变化即可得到正弦的变化规律；图②控制邻边长度固定，余弦为邻边与斜边的比值，观察角度增大时斜边的变化即可得到余弦的变化规律。
（2）直接应用第（1）问得到的增减规律：正弦值随锐角度数增大而增大，余弦值随锐角度数增大而减小，按角度大小排序即可得到对应三角函数值的大小关系。
（3）结合45°角的正弦、余弦值相等，再结合增减规律判断不同角度下sinα和cosα的大小关系即可。
（4）利用互余角的三角函数关系$\cos A=\sin(90°-A)$，将所有余弦值转化为正弦值，再根据正弦的增减性比较大小即可。
【解析】
（1）规律：锐角度数增大时，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小。
探索过程：
题图①中，令$AB_1=AB_2=AB_3$，$B_1C_1 ⊥ AC$于点$C_1$，$B_2C_2 ⊥ AC$于点$C_2$，$B_3C_3 ⊥ AC$于点$C_3$，显然有$B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$，$∠B_1AC ＞ ∠B_2AC ＞ ∠B_3AC$。
∵$\sin∠B_1AC = \frac{B_1C_1}{AB_1}$，$\sin∠B_2AC = \frac{B_2C_2}{AB_2}$，$\sin∠B_3AC = \frac{B_3C_3}{AB_3}$，且$\frac{B_1C_1}{AB_1} ＞ \frac{B_2C_2}{AB_2} ＞ \frac{B_3C_3}{AB_3}$，
∴$\sin∠B_1AC ＞ \sin∠B_2AC ＞ \sin∠B_3AC$，即锐角越大，正弦值越大。
题图②中，令$∠C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ACB_1$、$\mathrm{Rt}△ACB_2$、$\mathrm{Rt}△ACB_3$中，$\cos∠B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$，$\cos∠B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$，$\cos∠B_3AC = \frac{AC}{AB_3}$。
∵$AB_3 ＜ AB_2 ＜ AB_1$，
∴$\frac{AC}{AB_3} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_1}$，即$\cos∠B_3AC ＞ \cos∠B_2AC ＞ \cos∠B_1AC$，即锐角越大，余弦值越小。
（2）根据正弦值随锐角度数增大而增大，可得：$\sin18° ＜ \sin34° ＜ \sin52° ＜ \sin65° ＜ \sin88°$；
根据余弦值随锐角度数增大而减小，可得：$\cos88° ＜ \cos65° ＜ \cos52° ＜ \cos34° ＜ \cos18°$。
（3）当$∠α=45°$时，$\sinα=\cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故填=；
若$∠α＜45°$，根据增减性，$\sinα＜\sin45°$，$\cosα＞\cos45°$，故$\sinα＜\cosα$，填＜；
若$∠α＞45°$，根据增减性，$\sinα＞\sin45°$，$\cosα＜\cos45°$，故$\sinα＞\cosα$，填＞。
（4）根据互余两角的三角函数关系：$\cos A=\sin(90°-A)$，可得：
$\cos30°=\sin(90°-30°)=\sin60°$，$\cos70°=\sin(90°-70°)=\sin20°$，
∵$10°＜20°＜50°＜60°$，正弦值随角度增大而增大，
∴$\sin10°＜\sin20°＜\sin50°＜\sin60°$，即$\sin10° ＜ \cos70° ＜ \sin50° ＜ \cos30°$。
【答案】
(1) 锐角度数增大时，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小。
(2) $\sin18° ＜ \sin34° ＜ \sin52° ＜ \sin65° ＜ \sin88°$；$\cos88° ＜ \cos65° ＜ \cos52° ＜ \cos34° ＜ \cos18°$
(3) =；＜；＞
(4) $\sin10° ＜ \cos70° ＜ \sin50° ＜ \cos30°$
【知识点】
锐角三角函数增减性，互余角三角函数关系，特殊角三角函数值
【点评】
本题通过几何图形推导锐角三角函数的增减规律，再结合规律、互余角三角函数关系比较三角函数值大小，既考查了规律探索能力，也考查了性质的应用能力，数形结合的思路能帮助更直观地理解锐角三角函数的性质。
【难度系数】
0.7
（1）探索锐角正弦、余弦的变化规律时，结合三角函数定义，利用题图的几何特征分析：图①控制斜边长度相等，正弦为对边与斜边的比值，观察角度增大时对边的变化即可得到正弦的变化规律；图②控制邻边长度固定，余弦为邻边与斜边的比值，观察角度增大时斜边的变化即可得到余弦的变化规律。
（2）直接应用第（1）问得到的增减规律：正弦值随锐角度数增大而增大，余弦值随锐角度数增大而减小，按角度大小排序即可得到对应三角函数值的大小关系。
（3）结合45°角的正弦、余弦值相等，再结合增减规律判断不同角度下sinα和cosα的大小关系即可。
（4）利用互余角的三角函数关系$\cos A=\sin(90°-A)$，将所有余弦值转化为正弦值，再根据正弦的增减性比较大小即可。
【解析】
（1）规律：锐角度数增大时，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小。
探索过程：
题图①中，令$AB_1=AB_2=AB_3$，$B_1C_1 ⊥ AC$于点$C_1$，$B_2C_2 ⊥ AC$于点$C_2$，$B_3C_3 ⊥ AC$于点$C_3$，显然有$B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$，$∠B_1AC ＞ ∠B_2AC ＞ ∠B_3AC$。
∵$\sin∠B_1AC = \frac{B_1C_1}{AB_1}$，$\sin∠B_2AC = \frac{B_2C_2}{AB_2}$，$\sin∠B_3AC = \frac{B_3C_3}{AB_3}$，且$\frac{B_1C_1}{AB_1} ＞ \frac{B_2C_2}{AB_2} ＞ \frac{B_3C_3}{AB_3}$，
∴$\sin∠B_1AC ＞ \sin∠B_2AC ＞ \sin∠B_3AC$，即锐角越大，正弦值越大。
题图②中，令$∠C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ACB_1$、$\mathrm{Rt}△ACB_2$、$\mathrm{Rt}△ACB_3$中，$\cos∠B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$，$\cos∠B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$，$\cos∠B_3AC = \frac{AC}{AB_3}$。
∵$AB_3 ＜ AB_2 ＜ AB_1$，
∴$\frac{AC}{AB_3} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_1}$，即$\cos∠B_3AC ＞ \cos∠B_2AC ＞ \cos∠B_1AC$，即锐角越大，余弦值越小。
（2）根据正弦值随锐角度数增大而增大，可得：$\sin18° ＜ \sin34° ＜ \sin52° ＜ \sin65° ＜ \sin88°$；
根据余弦值随锐角度数增大而减小，可得：$\cos88° ＜ \cos65° ＜ \cos52° ＜ \cos34° ＜ \cos18°$。
（3）当$∠α=45°$时，$\sinα=\cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故填=；
若$∠α＜45°$，根据增减性，$\sinα＜\sin45°$，$\cosα＞\cos45°$，故$\sinα＜\cosα$，填＜；
若$∠α＞45°$，根据增减性，$\sinα＞\sin45°$，$\cosα＜\cos45°$，故$\sinα＞\cosα$，填＞。
（4）根据互余两角的三角函数关系：$\cos A=\sin(90°-A)$，可得：
$\cos30°=\sin(90°-30°)=\sin60°$，$\cos70°=\sin(90°-70°)=\sin20°$，
∵$10°＜20°＜50°＜60°$，正弦值随角度增大而增大，
∴$\sin10°＜\sin20°＜\sin50°＜\sin60°$，即$\sin10° ＜ \cos70° ＜ \sin50° ＜ \cos30°$。
【答案】
(1) 锐角度数增大时，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小。
(2) $\sin18° ＜ \sin34° ＜ \sin52° ＜ \sin65° ＜ \sin88°$；$\cos88° ＜ \cos65° ＜ \cos52° ＜ \cos34° ＜ \cos18°$
(3) =；＜；＞
(4) $\sin10° ＜ \cos70° ＜ \sin50° ＜ \cos30°$
【知识点】
锐角三角函数增减性，互余角三角函数关系，特殊角三角函数值
【点评】
本题通过几何图形推导锐角三角函数的增减规律，再结合规律、互余角三角函数关系比较三角函数值大小，既考查了规律探索能力，也考查了性质的应用能力，数形结合的思路能帮助更直观地理解锐角三角函数的性质。
【难度系数】
0.7
1.（南通中考）在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，则$BC$的长为 【 】
A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5
A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5
答案
C
解析
【分析】
本题是直角三角形中的边长求解问题，解题核心是利用锐角三角函数中正切的定义建立等量关系。首先明确在∠C为直角的Rt△ABC中，∠A的正切值等于∠A的对边BC与邻边AC的比值，已知tanA和AC的长度，代入比值式即可直接求解BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，代入上式得：
$\frac{BC}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$
解得：$BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础型考题，重点考查对锐角三角函数中正切概念的理解与运用，解题关键是准确识别直角三角形中指定锐角对应的对边和邻边，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中的边长求解问题，解题核心是利用锐角三角函数中正切的定义建立等量关系。首先明确在∠C为直角的Rt△ABC中，∠A的正切值等于∠A的对边BC与邻边AC的比值，已知tanA和AC的长度，代入比值式即可直接求解BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，代入上式得：
$\frac{BC}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$
解得：$BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础型考题，重点考查对锐角三角函数中正切概念的理解与运用，解题关键是准确识别直角三角形中指定锐角对应的对边和邻边，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东$50°$方向,距离灯塔P为10 n mile的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B处,那么海轮航行的距离AB的长为 【 】
A.10 n mile
B.$10\sin50°$ n mile
C.$10\cos50°$ n mile
D.$10\tan50°$ n mile
A.10 n mile
B.$10\sin50°$ n mile
C.$10\cos50°$ n mile
D.$10\tan50°$ n mile
答案
C
解析
【分析】
首先结合方向角的定义与平行线的内错角相等性质，确定直角△ABP中∠A的度数；再明确已知边PA是直角三角形的斜边，所求边AB是∠A的邻边，根据锐角余弦的定义即可列式求出AB的长度。
【解析】
由题意得：AB沿正南方向，与灯塔P的正北方向平行，因此∠A=50°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵B在灯塔P的正东方向，
∴∠ABP=90°，即△ABP是直角三角形。
在Rt△ABP中，斜边PA=10 n mile，根据余弦的定义：$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{PA}$，
∴$AB=PA·\cos A=10\cos50°$ n mile。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角的识别；锐角余弦的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形在实际方向问题中的基础应用，解题的核心是准确将方向角转化为直角三角形的内角，再根据边角对应关系选择合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.8
首先结合方向角的定义与平行线的内错角相等性质，确定直角△ABP中∠A的度数；再明确已知边PA是直角三角形的斜边，所求边AB是∠A的邻边，根据锐角余弦的定义即可列式求出AB的长度。
【解析】
由题意得：AB沿正南方向，与灯塔P的正北方向平行，因此∠A=50°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵B在灯塔P的正东方向，
∴∠ABP=90°，即△ABP是直角三角形。
在Rt△ABP中，斜边PA=10 n mile，根据余弦的定义：$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{PA}$，
∴$AB=PA·\cos A=10\cos50°$ n mile。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角的识别；锐角余弦的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形在实际方向问题中的基础应用，解题的核心是准确将方向角转化为直角三角形的内角，再根据边角对应关系选择合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.8
