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4. 已知$\sinα = 0.7321$，则$α =$
47
°3
′46
″.答案
4. 47 3 46
解析
【分析】
本题是已知锐角的正弦值求对应锐角的度数，解题思路如下：首先确认计算器处于角度运算模式，避免弧度制导致结果错误；其次使用计算器的反正弦（sin⁻¹/arcsin）功能计算0.7321对应的反正弦值，得到以度为单位的结果；最后根据度、分、秒之间60进制的进率，将结果的小数部分依次换算成分和秒即可。
【解析】
步骤1：将计算器调整为角度模式，保证运算结果为角度制单位。
步骤2：按下计算器的功能切换键（如SHIFT/2ndF），再按“sin”键调出反正弦计算功能，输入0.7321后按等号，得到结果约为$47.0628°$。
步骤3：将度的小数部分换算为分：$0.0628° × 60 = 3.768'$，取整数部分得3分。
步骤4：将分的小数部分换算为秒：$0.768' × 60 \approx 46''$，取整数部分得46秒。
因此$α \approx 47° 3' 46''$。
【答案】
47 3 46
【知识点】
用计算器求反三角函数值；度分秒的单位换算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查计算器操作熟练度和度分秒60进制换算的准确性，掌握计算器反三角函数的调用方法和单位换算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是已知锐角的正弦值求对应锐角的度数，解题思路如下：首先确认计算器处于角度运算模式，避免弧度制导致结果错误；其次使用计算器的反正弦（sin⁻¹/arcsin）功能计算0.7321对应的反正弦值，得到以度为单位的结果；最后根据度、分、秒之间60进制的进率，将结果的小数部分依次换算成分和秒即可。
【解析】
步骤1：将计算器调整为角度模式，保证运算结果为角度制单位。
步骤2：按下计算器的功能切换键（如SHIFT/2ndF），再按“sin”键调出反正弦计算功能，输入0.7321后按等号，得到结果约为$47.0628°$。
步骤3：将度的小数部分换算为分：$0.0628° × 60 = 3.768'$，取整数部分得3分。
步骤4：将分的小数部分换算为秒：$0.768' × 60 \approx 46''$，取整数部分得46秒。
因此$α \approx 47° 3' 46''$。
【答案】
47 3 46
【知识点】
用计算器求反三角函数值；度分秒的单位换算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查计算器操作熟练度和度分秒60进制换算的准确性，掌握计算器反三角函数的调用方法和单位换算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知$\tanβ=3.527$，则$β=$
74°10′14″
.答案
5. 74°10′14″
解析
【分析】
本题已知锐角的正切值求对应角度，解题思路分为两步：首先需要使用计算器的反正切功能，先将计算器调整为角度模式，输入正切值3.527后调用反正切（tan⁻¹）功能，得到以度为单位的近似角度；再按照1°=60′、1′=60″的60进制进率，将度的小数部分逐次转换为分和秒，最终得到度分秒形式的角度值。操作时要注意计算器模式选择，避免得到弧度制的错误结果。
【解析】
1. 调整计算器为角度（DEG）模式，按下功能转换键（shift/2ndf）后按tan键，调出反正切计算功能，输入数值3.527，按下等号得到近似值：$\tan^{-1}(3.527)\approx74.17056°$。
2. 单位换算：
度的小数部分为$0.17056°$，转换为分：$0.17056×60\approx10.2336'$，取整数部分得10′；
分的小数部分为$0.2336'$，转换为秒：$0.2336×60\approx14''$。
合并后得到$β\approx74°10'14''$。
【答案】
$74°10'14''$
【知识点】
计算器求锐角、度分秒换算
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查由三角函数值求对应锐角的计算器操作，以及度分秒的单位换算规则，解题时需注意计算器角度模式的选择和60进制换算的进率，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题已知锐角的正切值求对应角度，解题思路分为两步：首先需要使用计算器的反正切功能，先将计算器调整为角度模式，输入正切值3.527后调用反正切（tan⁻¹）功能，得到以度为单位的近似角度；再按照1°=60′、1′=60″的60进制进率，将度的小数部分逐次转换为分和秒，最终得到度分秒形式的角度值。操作时要注意计算器模式选择，避免得到弧度制的错误结果。
【解析】
1. 调整计算器为角度（DEG）模式，按下功能转换键（shift/2ndf）后按tan键，调出反正切计算功能，输入数值3.527，按下等号得到近似值：$\tan^{-1}(3.527)\approx74.17056°$。
2. 单位换算：
度的小数部分为$0.17056°$，转换为分：$0.17056×60\approx10.2336'$，取整数部分得10′；
分的小数部分为$0.2336'$，转换为秒：$0.2336×60\approx14''$。
合并后得到$β\approx74°10'14''$。
【答案】
$74°10'14''$
【知识点】
计算器求锐角、度分秒换算
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查由三角函数值求对应锐角的计算器操作，以及度分秒的单位换算规则，解题时需注意计算器角度模式的选择和60进制换算的进率，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
6. 用计算器计算:已知$\sin A=0.5018$,则锐角$A=$
30.1°
.(精确到$0.1°$)答案
6. 30.1°
解析
【分析】
这道题是已知锐角的正弦值求对应锐角度数，解题思路如下：首先要保证计算器处于角度运算模式，避免得到弧度制结果出错；其次调用计算器的反正弦功能（通常先按SHIFT/2ndF功能切换键，再按sin键调出sin⁻¹功能），输入已知正弦值0.5018得到原始运算结果；最后按照题目精确到0.1°的要求，对结果的百分位进行四舍五入即可。
【解析】
1. 打开计算器，调整为角度运算模式；
2. 按下功能切换键（SHIFT/2ndF），再按“sin”键调出反正弦运算功能，输入数值0.5018后按等号，得到运算结果约为30.12°；
3. 按精确到0.1°的要求，对30.12°的百分位数字2进行四舍五入，舍去百分位及之后的数位，得到30.1°。
【答案】
30.1°
【知识点】
已知三角函数值求锐角、计算器使用、近似数取值
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考查用计算器求锐角的操作规范，解题时需注意先确认计算器的运算模式，避免模式错误导致结果偏差，取近似值时要严格按照要求的精确度进行四舍五入。
【难度系数】
0.8
这道题是已知锐角的正弦值求对应锐角度数，解题思路如下：首先要保证计算器处于角度运算模式，避免得到弧度制结果出错；其次调用计算器的反正弦功能（通常先按SHIFT/2ndF功能切换键，再按sin键调出sin⁻¹功能），输入已知正弦值0.5018得到原始运算结果；最后按照题目精确到0.1°的要求，对结果的百分位进行四舍五入即可。
【解析】
1. 打开计算器，调整为角度运算模式；
2. 按下功能切换键（SHIFT/2ndF），再按“sin”键调出反正弦运算功能，输入数值0.5018后按等号，得到运算结果约为30.12°；
3. 按精确到0.1°的要求，对30.12°的百分位数字2进行四舍五入，舍去百分位及之后的数位，得到30.1°。
【答案】
30.1°
【知识点】
已知三角函数值求锐角、计算器使用、近似数取值
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考查用计算器求锐角的操作规范，解题时需注意先确认计算器的运算模式，避免模式错误导致结果偏差，取近似值时要严格按照要求的精确度进行四舍五入。
【难度系数】
0.8
7. 用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001):
(1) $\sin 50°$；
(2) $\cos 23° 34' 12''$；
(3) $\tan 32° 16' 24''$；
(4) $\cot 54°$.
(1) $\sin 50°$；
(2) $\cos 23° 34' 12''$；
(3) $\tan 32° 16' 24''$；
(4) $\cot 54°$.
答案
7. (1) 0.7660 (2) 0.9166 (3) 0.6315 (4) 0.7265
解析
【分析】
解题前首先要确认计算器处于角度(DEG)模式，保证计算单位为角度，再按不同题型处理：①直接给出整数度数的三角函数，直接调用对应函数按键计算；②带有度分秒的角度，可先将分、秒按60进制换算为十进制度，或用计算器度分秒输入键直接输入后计算；③求余切值时，利用余切与正切的倒数关系$\cotα=\frac{1}{\tanα}$转换计算，最终所有结果按要求四舍五入到万分位（精确到0.0001）即可。
【解析】
首先将计算器调整为角度(DEG)模式：
(1) 依次按键「sin」「50」「=」，得到结果约为0.766044，四舍五入精确到0.0001为0.7660；
(2) 先换算角度：$12''=(12÷60)'=0.2'$，$34.2'=(34.2÷60)°=0.57°$，故$23°34'12''=23.57°$；依次按键「cos」「23.57」「=」，得到结果约为0.916576，四舍五入精确到0.0001为0.9166；
(3) 先换算角度：$24''=(24÷60)'=0.4'$，$16.4'=(16.4÷60)°\approx0.273333°$，故$32°16'24''\approx32.273333°$；依次按键「tan」「32.273333」「=」，得到结果约为0.631456，四舍五入精确到0.0001为0.6315；
(4) 由余切定义得$\cot54°=\frac{1}{\tan54°}$，先依次按键「tan」「54」「=」得$\tan54°\approx1.37638$，再计算$1÷1.37638\approx0.72654$，四舍五入精确到0.0001为0.7265。
【答案】
(1) 0.7660；(2) 0.9166；(3) 0.6315；(4) 0.7265
【知识点】
1. 计算器三角函数操作；2. 度分秒换算；3. 余切定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础操作题，核心是掌握计算器三角函数的操作规范，注意角度模式的选择，度分秒换算时要牢记60进制规则，求计算器无直接按键的三角函数时要能利用三角函数关系转换计算，计算后注意按要求保留精度。
【难度系数】
0.8
解题前首先要确认计算器处于角度(DEG)模式，保证计算单位为角度，再按不同题型处理：①直接给出整数度数的三角函数，直接调用对应函数按键计算；②带有度分秒的角度，可先将分、秒按60进制换算为十进制度，或用计算器度分秒输入键直接输入后计算；③求余切值时，利用余切与正切的倒数关系$\cotα=\frac{1}{\tanα}$转换计算，最终所有结果按要求四舍五入到万分位（精确到0.0001）即可。
【解析】
首先将计算器调整为角度(DEG)模式：
(1) 依次按键「sin」「50」「=」，得到结果约为0.766044，四舍五入精确到0.0001为0.7660；
(2) 先换算角度：$12''=(12÷60)'=0.2'$，$34.2'=(34.2÷60)°=0.57°$，故$23°34'12''=23.57°$；依次按键「cos」「23.57」「=」，得到结果约为0.916576，四舍五入精确到0.0001为0.9166；
(3) 先换算角度：$24''=(24÷60)'=0.4'$，$16.4'=(16.4÷60)°\approx0.273333°$，故$32°16'24''\approx32.273333°$；依次按键「tan」「32.273333」「=」，得到结果约为0.631456，四舍五入精确到0.0001为0.6315；
(4) 由余切定义得$\cot54°=\frac{1}{\tan54°}$，先依次按键「tan」「54」「=」得$\tan54°\approx1.37638$，再计算$1÷1.37638\approx0.72654$，四舍五入精确到0.0001为0.7265。
【答案】
(1) 0.7660；(2) 0.9166；(3) 0.6315；(4) 0.7265
【知识点】
1. 计算器三角函数操作；2. 度分秒换算；3. 余切定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础操作题，核心是掌握计算器三角函数的操作规范，注意角度模式的选择，度分秒换算时要牢记60进制规则，求计算器无直接按键的三角函数时要能利用三角函数关系转换计算，计算后注意按要求保留精度。
【难度系数】
0.8
8. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1) $\sin 44° + 2\cos 32° 15'$；
(2) $\tan 62° 17' + \frac{1}{2}\sin 89°$.
(1) $\sin 44° + 2\cos 32° 15'$；
(2) $\tan 62° 17' + \frac{1}{2}\sin 89°$.
答案
8. (1) 2.3861 (2) 2.4033
解析
【分析】
解这类题的思路如下：①首先要将计算器调整为角度运算模式，避免用弧度模式计算出错；②遇到含有“分”的角度，可根据1°=60'，把分换算为度，也可直接用计算器的度分秒功能输入角度；③分别计算每个三角函数的近似值，再按四则运算规则计算式子的结果；④最后根据精确到0.0001的要求，对结果四舍五入保留四位小数即可。
【解析】
先将计算器切换至角度运算模式：
(1) 计算$\sin 44° + 2\cos 32° 15'$
第一步，角度换算：$15'=\frac{15}{60}°=0.25°$，即$32°15'=32.25°$
第二步，求三角函数值：$\sin44°\approx0.694658$，$\cos32.25°\approx0.845715$
第三步，代入运算：原式$\approx0.694658 + 2×0.845715=2.386088$
第四步，精确到0.0001，四舍五入得$2.3861$
(2) 计算$\tan 62° 17' + \frac{1}{2}\sin 89°$
第一步，角度换算：$17'=\frac{17}{60}°\approx0.283333°$，即$62°17'\approx62.283333°$
第二步，求三角函数值：$\tan62.283333°\approx1.903377$，$\sin89°\approx0.999848$
第三步，代入运算：原式$\approx1.903377 + \frac{1}{2}×0.999848=2.403301$
第四步，精确到0.0001，四舍五入得$2.4033$
【答案】
(1) $\boxed{2.3861}$；(2) $\boxed{2.4033}$
【知识点】
计算器求三角函数值、度分秒换算、近似数取值
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查学生对计算器求锐角三角函数操作的掌握程度，计算时要注意先确认计算器的角度模式，统一角度单位后再运算，避免因操作失误或单位换算错误失分。
【难度系数】
0.85
解这类题的思路如下：①首先要将计算器调整为角度运算模式，避免用弧度模式计算出错；②遇到含有“分”的角度，可根据1°=60'，把分换算为度，也可直接用计算器的度分秒功能输入角度；③分别计算每个三角函数的近似值，再按四则运算规则计算式子的结果；④最后根据精确到0.0001的要求，对结果四舍五入保留四位小数即可。
【解析】
先将计算器切换至角度运算模式：
(1) 计算$\sin 44° + 2\cos 32° 15'$
第一步，角度换算：$15'=\frac{15}{60}°=0.25°$，即$32°15'=32.25°$
第二步，求三角函数值：$\sin44°\approx0.694658$，$\cos32.25°\approx0.845715$
第三步，代入运算：原式$\approx0.694658 + 2×0.845715=2.386088$
第四步，精确到0.0001，四舍五入得$2.3861$
(2) 计算$\tan 62° 17' + \frac{1}{2}\sin 89°$
第一步，角度换算：$17'=\frac{17}{60}°\approx0.283333°$，即$62°17'\approx62.283333°$
第二步，求三角函数值：$\tan62.283333°\approx1.903377$，$\sin89°\approx0.999848$
第三步，代入运算：原式$\approx1.903377 + \frac{1}{2}×0.999848=2.403301$
第四步，精确到0.0001，四舍五入得$2.4033$
【答案】
(1) $\boxed{2.3861}$；(2) $\boxed{2.4033}$
【知识点】
计算器求三角函数值、度分秒换算、近似数取值
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查学生对计算器求锐角三角函数操作的掌握程度，计算时要注意先确认计算器的角度模式，统一角度单位后再运算，避免因操作失误或单位换算错误失分。
【难度系数】
0.85
9. 用计算器求$\sin28°$、$\cos27°$、$\tan26°$的值，它们的大小关系是 【 】
A.$\tan26° ＜ \cos27° ＜ \sin28°$
B.$\tan26° ＜ \sin28° ＜ \cos27°$
C.$\sin28° ＜ \tan26° ＜ \cos27°$
D.$\cos27° ＜ \sin28° ＜ \tan26°$
A.$\tan26° ＜ \cos27° ＜ \sin28°$
B.$\tan26° ＜ \sin28° ＜ \cos27°$
C.$\sin28° ＜ \tan26° ＜ \cos27°$
D.$\cos27° ＜ \sin28° ＜ \tan26°$
答案
C
解析
【分析】
要比较三个锐角三角函数值的大小，解题思路如下：首先按照计算器求锐角三角函数值的操作方法，分别计算出$\sin28°$、$\cos27°$、$\tan26°$的近似值，为了保证比较的准确性，计算时可保留4到5位小数；再将三个近似值按照从小到大的顺序排列，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
用计算器分别计算三个三角函数的近似值：
1. $\sin28°\approx0.4695$
2. $\cos27°\approx0.8910$
3. $\tan26°\approx0.4877$
比较三个近似值的大小可得：$0.4695 ＜ 0.4877 ＜ 0.8910$，即$\sin28° ＜ \tan26° ＜ \cos27°$。
【答案】
C
【知识点】
计算器求锐角三角函数值；实数大小比较
【点评】
本题重点考查对计算器求三角函数值的操作掌握程度，以及实数大小比较的基本方法，只要能准确计算出各三角函数的近似值就能顺利解题，是基础类题目。
【难度系数】
0.85
要比较三个锐角三角函数值的大小，解题思路如下：首先按照计算器求锐角三角函数值的操作方法，分别计算出$\sin28°$、$\cos27°$、$\tan26°$的近似值，为了保证比较的准确性，计算时可保留4到5位小数；再将三个近似值按照从小到大的顺序排列，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
用计算器分别计算三个三角函数的近似值：
1. $\sin28°\approx0.4695$
2. $\cos27°\approx0.8910$
3. $\tan26°\approx0.4877$
比较三个近似值的大小可得：$0.4695 ＜ 0.4877 ＜ 0.8910$，即$\sin28° ＜ \tan26° ＜ \cos27°$。
【答案】
C
【知识点】
计算器求锐角三角函数值；实数大小比较
【点评】
本题重点考查对计算器求三角函数值的操作掌握程度，以及实数大小比较的基本方法，只要能准确计算出各三角函数的近似值就能顺利解题，是基础类题目。
【难度系数】
0.85
10. 如图，梯子长度不变，跟地面所成的锐角为α，下列关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是 【 】
A.$\sinα$的值越大，梯子越陡
B.$\cosα$的值越大，梯子越陡
C.$\tanα$的值越小，梯子越陡
D.陡缓程度与α的函数值无关
A.$\sinα$的值越大，梯子越陡
B.$\cosα$的值越大，梯子越陡
C.$\tanα$的值越小，梯子越陡
D.陡缓程度与α的函数值无关
答案
A
解析
【分析】
要判断梯子的倾斜程度与角α的三角函数值的关系，首先明确：梯子越陡，说明锐角α越大。接下来结合锐角范围内各三角函数的增减性，逐一分析选项即可得出正确结论。
【解析】
梯子的倾斜程度由锐角α的大小决定，α越大，梯子越陡。在0°＜α＜90°的范围内：
1. sinα随α的增大而增大，因此sinα的值越大，α越大，梯子越陡，A选项叙述正确；
2. cosα随α的增大而减小，因此cosα的值越大，α越小，梯子越平缓，B选项叙述错误；
3. tanα随α的增大而增大，因此tanα的值越小，α越小，梯子越平缓，C选项叙述错误；
4. 由上述分析可知，梯子的陡缓程度与α的三角函数值直接相关，D选项叙述错误。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的增减性，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题将锐角三角函数的性质和实际场景结合，解题的核心是掌握锐角范围内正弦、余弦、正切值随角度变化的规律，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要判断梯子的倾斜程度与角α的三角函数值的关系，首先明确：梯子越陡，说明锐角α越大。接下来结合锐角范围内各三角函数的增减性，逐一分析选项即可得出正确结论。
【解析】
梯子的倾斜程度由锐角α的大小决定，α越大，梯子越陡。在0°＜α＜90°的范围内：
1. sinα随α的增大而增大，因此sinα的值越大，α越大，梯子越陡，A选项叙述正确；
2. cosα随α的增大而减小，因此cosα的值越大，α越小，梯子越平缓，B选项叙述错误；
3. tanα随α的增大而增大，因此tanα的值越小，α越小，梯子越平缓，C选项叙述错误；
4. 由上述分析可知，梯子的陡缓程度与α的三角函数值直接相关，D选项叙述错误。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的增减性，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题将锐角三角函数的性质和实际场景结合，解题的核心是掌握锐角范围内正弦、余弦、正切值随角度变化的规律，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
11. (1) 通过计算(用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想:
① $\sin 30°$
③ $\sin 45°$
⑤ $\sin 80°$
猜想当 $0° ＜ α ≤ 45°$ 时, $\sin 2α$ 与 $2\sinα\cosα$ 的大小关系.
(2) 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=l$, $∠ BAC=2α$,请根据图中的提示,利用面积法验证你的结论.
① $\sin 30°$
=
$2\sin 15°\cos 15°$; ② $\sin 36°$ =
$2\sin 18°\cos 18°$;(第10题)③ $\sin 45°$
=
$2\sin 22.5°\cos 22.5°$; ④ $\sin 60°$ =
$2\sin 30°\cos 30°$;⑤ $\sin 80°$
=
$2\sin 40°\cos 40°$; ⑥ $\sin 90°$ =
$2\sin 45°\cos 45°$.猜想当 $0° ＜ α ≤ 45°$ 时, $\sin 2α$ 与 $2\sinα\cosα$ 的大小关系.
(2) 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=l$, $∠ BAC=2α$,请根据图中的提示,利用面积法验证你的结论.
答案
11. (1) ① = ② = ③ = ④ = ⑤ = ⑥ = 猜想：$\sin2α = 2\sinα\cosα$ （2）第一个图形：$\because∠AEB=90°,∴BE=AC·\sin2α. ∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BE=\frac{1}{2}AC^2·\sin2α. ∵AC=l,∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}l^2\sin2α.$ 第二个图形：$\because AB=AC,∴△ABC$ 是等腰三角形.$\because AD ⊥ BC,∴BD=CD. ∵BD=AB·\sinα, AD=AC·\cosα,∴BC=2BD=2AB·\sinα. ∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=AB·AC·\sinα\cosα. ∵AB=AC=l,∴S_{△ABC}=l^2\sinα\cosα. ∵$ 第一个图形与第二个图形的面积相等,$∴\frac{1}{2}l^2\sin2α = l^2\sinα\cosα. ∴\sin2α = 2\sinα\cosα$
解析
【分析】
(1) 先借助计算器分别计算每组式子左右两边的数值，对比大小后归纳所有组的共同规律，即可提出关于$\sin2α$与$2\sinα\cosα$大小关系的猜想。
(2) 利用面积法验证猜想：同一个$△ ABC$的面积是定值，用两种不同方式表示其面积，联立两个面积表达式化简即可证明结论。第一种以$AC$为底、$AC$边上的高$BE$为高计算面积；第二种以$BC$为底、等腰三角形底边上的高$AD$为高计算面积，两式相等化简即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各组式子的值：
① $\sin30°=0.5$，$2\sin15°\cos15°\approx2×0.2588×0.9659\approx0.5$，故$\sin30°=2\sin15°\cos15°$；
② $\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx2×0.3090×0.9511\approx0.5878$，故$\sin36°=2\sin18°\cos18°$；
③ $\sin45°\approx0.7071$，$2\sin22.5°\cos22.5°\approx2×0.3827×0.9239\approx0.7071$，故$\sin45°=2\sin22.5°\cos22.5°$；
④ $\sin60°\approx0.8660$，$2\sin30°\cos30°=2×0.5×\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.8660$，故$\sin60°=2\sin30°\cos30°$；
⑤ $\sin80°\approx0.9848$，$2\sin40°\cos40°\approx2×0.6428×0.7660\approx0.9848$，故$\sin80°=2\sin40°\cos40°$；
⑥ $\sin90°=1$，$2\sin45°\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，故$\sin90°=2\sin45°\cos45°$。
由上述结果猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 验证猜想：
左图计算面积：
$\because BE⊥ AC$，$∠ BAC=2α$，$AB=AC=l$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABE$中，$BE=AB·\sin2α=l\sin2α$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=\frac{1}{2}l^2\sin2α$。
右图计算面积：
$\because AB=AC=l$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=2α$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=α$，且$BC=2BD$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABD$中，$BD=AB·\sinα=l\sinα$，$AD=AB·\cosα=l\cosα$，
$\therefore BC=2l\sinα$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}·2l\sinα· l\cosα=l^2\sinα\cosα$。
$\because$ 两式均为$△ ABC$的面积，
$\therefore \frac{1}{2}l^2\sin2α=l^2\sinα\cosα$，
化简得$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想成立。
【答案】
(1) ①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；⑥$=$；猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$
(2) 验证成立，结论为$\sin2α=2\sinα\cosα$
【知识点】
1. 锐角三角函数计算
2. 三角形面积公式
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题从特殊角度的三角函数运算入手归纳规律，再通过几何面积法验证结论，体现了从特殊到一般的数学探究思想，既考查了锐角三角函数的基础运算能力，又锻炼了结合几何性质推导结论的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先借助计算器分别计算每组式子左右两边的数值，对比大小后归纳所有组的共同规律，即可提出关于$\sin2α$与$2\sinα\cosα$大小关系的猜想。
(2) 利用面积法验证猜想：同一个$△ ABC$的面积是定值，用两种不同方式表示其面积，联立两个面积表达式化简即可证明结论。第一种以$AC$为底、$AC$边上的高$BE$为高计算面积；第二种以$BC$为底、等腰三角形底边上的高$AD$为高计算面积，两式相等化简即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各组式子的值：
① $\sin30°=0.5$，$2\sin15°\cos15°\approx2×0.2588×0.9659\approx0.5$，故$\sin30°=2\sin15°\cos15°$；
② $\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx2×0.3090×0.9511\approx0.5878$，故$\sin36°=2\sin18°\cos18°$；
③ $\sin45°\approx0.7071$，$2\sin22.5°\cos22.5°\approx2×0.3827×0.9239\approx0.7071$，故$\sin45°=2\sin22.5°\cos22.5°$；
④ $\sin60°\approx0.8660$，$2\sin30°\cos30°=2×0.5×\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.8660$，故$\sin60°=2\sin30°\cos30°$；
⑤ $\sin80°\approx0.9848$，$2\sin40°\cos40°\approx2×0.6428×0.7660\approx0.9848$，故$\sin80°=2\sin40°\cos40°$；
⑥ $\sin90°=1$，$2\sin45°\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，故$\sin90°=2\sin45°\cos45°$。
由上述结果猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 验证猜想：
左图计算面积：
$\because BE⊥ AC$，$∠ BAC=2α$，$AB=AC=l$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABE$中，$BE=AB·\sin2α=l\sin2α$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=\frac{1}{2}l^2\sin2α$。
右图计算面积：
$\because AB=AC=l$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=2α$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=α$，且$BC=2BD$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABD$中，$BD=AB·\sinα=l\sinα$，$AD=AB·\cosα=l\cosα$，
$\therefore BC=2l\sinα$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}·2l\sinα· l\cosα=l^2\sinα\cosα$。
$\because$ 两式均为$△ ABC$的面积，
$\therefore \frac{1}{2}l^2\sin2α=l^2\sinα\cosα$，
化简得$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想成立。
【答案】
(1) ①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；⑥$=$；猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$
(2) 验证成立，结论为$\sin2α=2\sinα\cosα$
【知识点】
1. 锐角三角函数计算
2. 三角形面积公式
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题从特殊角度的三角函数运算入手归纳规律，再通过几何面积法验证结论，体现了从特殊到一般的数学探究思想，既考查了锐角三角函数的基础运算能力，又锻炼了结合几何性质推导结论的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
