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13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD平分$∠ BAC$,交BC于点D,$CD=\sqrt{3}$,$AC=3$. 求:
(1) $∠ B$的度数;
(2) AB、BC的长.
(1) $∠ B$的度数;
(2) AB、BC的长.
答案
(1) 在$△ ACD$中，$\because ∠C=90°$，$CD=\sqrt{3}$，$AC=3$，$\therefore \tan∠ DAC=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore ∠ DAC=30°$。$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAC=2∠ DAC=60°$，$\therefore ∠ B=30°$。(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠C=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，$\therefore AB=2AC=6$，$\therefore BC=\dfrac{AC}{\tan B}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要求∠B的度数，已知Rt△ABC中∠C=90°，只需先求出∠BAC的度数即可。已知AD平分∠BAC，可先在Rt△ACD中，利用已知的CD、AC的长度，通过正切函数求出∠DAC的度数，再根据角平分线的定义得到∠BAC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B。
(2) 求AB、BC的长，在已求出∠B=30°的前提下，结合已知AC的长度，利用30°直角三角形的性质可求出AB的长，再通过三角函数或勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
(1) 在$△ACD$中，$\because ∠C=90°$，$CD=\sqrt{3}$，$AC=3$，
$\therefore \tan∠DAC=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠DAC=30°$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BAC=2∠DAC=60°$，
$\because Rt△ABC$中$∠C=90°$，
$\therefore ∠B=90°-∠BAC=30°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because ∠C=90°$，$∠B=30°$，$AC=3$，
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore AB=2AC=6$，
又$\because \tan B=\dfrac{AC}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{AC}{\tan B}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=30°}$；(2) $\boldsymbol{AB=6}$，$\boldsymbol{BC=3\sqrt{3}}$
【知识点】
角平分线的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题属于基础计算题，解题的突破口是先借助Rt△ACD的边长求出∠DAC的度数，再结合角平分线的定义和直角三角形的边角关系求解，要求熟练掌握特殊角的三角函数值以及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠B的度数，已知Rt△ABC中∠C=90°，只需先求出∠BAC的度数即可。已知AD平分∠BAC，可先在Rt△ACD中，利用已知的CD、AC的长度，通过正切函数求出∠DAC的度数，再根据角平分线的定义得到∠BAC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B。
(2) 求AB、BC的长，在已求出∠B=30°的前提下，结合已知AC的长度，利用30°直角三角形的性质可求出AB的长，再通过三角函数或勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
(1) 在$△ACD$中，$\because ∠C=90°$，$CD=\sqrt{3}$，$AC=3$，
$\therefore \tan∠DAC=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠DAC=30°$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BAC=2∠DAC=60°$，
$\because Rt△ABC$中$∠C=90°$，
$\therefore ∠B=90°-∠BAC=30°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because ∠C=90°$，$∠B=30°$，$AC=3$，
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore AB=2AC=6$，
又$\because \tan B=\dfrac{AC}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{AC}{\tan B}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=30°}$；(2) $\boldsymbol{AB=6}$，$\boldsymbol{BC=3\sqrt{3}}$
【知识点】
角平分线的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题属于基础计算题，解题的突破口是先借助Rt△ACD的边长求出∠DAC的度数，再结合角平分线的定义和直角三角形的边角关系求解，要求熟练掌握特殊角的三角函数值以及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
14. 阅读下面的材料，并按要求完成相应的任务.
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算$\tan15°$时，可构造如图①所示的图形. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，设$AC=x(x＞0)$，延长$CB$至点$D$，使得$BD=AB$，连结$AD$，易知$∠ D=15°$，$CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x$，所以$\tan15°=\tan D=···$.
任务:(1) 请根据上面的步骤，完成$\tan15°$的计算；
(2) 请类比上述方法，利用图②，计算$\tan22.5°$的值.
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算$\tan15°$时，可构造如图①所示的图形. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，设$AC=x(x＞0)$，延长$CB$至点$D$，使得$BD=AB$，连结$AD$，易知$∠ D=15°$，$CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x$，所以$\tan15°=\tan D=···$.
任务:(1) 请根据上面的步骤，完成$\tan15°$的计算；
(2) 请类比上述方法，利用图②，计算$\tan22.5°$的值.
答案
14. (1) 设$AC=x(x＞0)$，延长$CB$至点$D$，使得$BD=AB$，连结$AD$。$\because ∠ABC=30°$，$AB=BD$，$\therefore ∠D=∠DAB=15°$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin30°=\dfrac{AC}{AB}$，$\therefore AB=2x$。同理可得，$BC=\sqrt{3}x$。$\therefore CD=2x+\sqrt{3}x$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2-\sqrt{3}$，即$\tan15°=2-\sqrt{3}$。(2) 延长$CB$到点$D$，使$BD=BA$。$\because ∠ABC=45°$，$AB=DB$，$\therefore ∠D=∠DAB=22.5°$。令$AC=x$，则$BC=x$，$AB=\sqrt{2}x$。$\therefore BD=AB=\sqrt{2}x$。则$CD=CB+DB=x+\sqrt{2}x$。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$，即$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
本题运用数形结合思想求解非特殊角的正切值，解题思路如下：
(1) 求解$\tan15°$时，先根据题干给出的构造方法，利用等腰三角形等边对等角和外角性质，得到$∠ D=15°$；再结合含$30°$角的直角三角形的边角关系，设$AC=x$，求出$AB$、$BC$的长度，进而得到$CD$的长度；最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中根据正切的定义计算$\tan D$，即可得到$\tan15°$的值。
(2) 类比第一问的方法，$22.5°$是$45°$的一半，同样延长$CB$到$D$使$BD=AB$，得到$∠ D=22.5°$；再结合等腰直角三角形的边长关系求出各边长度，最后用正切的定义计算即可得到$\tan22.5°$的值。
【解析】
(1) 设$AC=x(x＞0)$，延长$CB$至点$D$，使得$BD=AB$，连结$AD$。
$\because ∠ ABC=30°$，$AB=BD$，
$\therefore ∠ D=∠ DAB=\frac{1}{2}∠ ABC=15°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin30°=\frac{AC}{AB}$，$\therefore AB=\frac{AC}{\sin30°}=2x$。
由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3}x$。
$\therefore CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，即$\tan15°=2-\sqrt{3}$。
(2) 延长$CB$到点$D$，使$BD=BA$，连接$AD$。
$\because ∠ ABC=45°$，$AB=DB$，
$\therefore ∠ D=∠ DAB=\frac{1}{2}∠ ABC=22.5°$。
令$AC=x$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，
$\therefore BC=AC=x$，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，
$\therefore BD=AB=\sqrt{2}x$，
$\therefore CD=CB+DB=x+\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，即$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过构造等腰三角形将非特殊角转化为特殊角的一半，再结合直角三角形的边角关系求解非特殊角的三角函数值，重点考查知识迁移能力和类比推理能力，解题的关键是掌握构造半角的方法。
【难度系数】
0.7
本题运用数形结合思想求解非特殊角的正切值，解题思路如下：
(1) 求解$\tan15°$时，先根据题干给出的构造方法，利用等腰三角形等边对等角和外角性质，得到$∠ D=15°$；再结合含$30°$角的直角三角形的边角关系，设$AC=x$，求出$AB$、$BC$的长度，进而得到$CD$的长度；最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中根据正切的定义计算$\tan D$，即可得到$\tan15°$的值。
(2) 类比第一问的方法，$22.5°$是$45°$的一半，同样延长$CB$到$D$使$BD=AB$，得到$∠ D=22.5°$；再结合等腰直角三角形的边长关系求出各边长度，最后用正切的定义计算即可得到$\tan22.5°$的值。
【解析】
(1) 设$AC=x(x＞0)$，延长$CB$至点$D$，使得$BD=AB$，连结$AD$。
$\because ∠ ABC=30°$，$AB=BD$，
$\therefore ∠ D=∠ DAB=\frac{1}{2}∠ ABC=15°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin30°=\frac{AC}{AB}$，$\therefore AB=\frac{AC}{\sin30°}=2x$。
由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3}x$。
$\therefore CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，即$\tan15°=2-\sqrt{3}$。
(2) 延长$CB$到点$D$，使$BD=BA$，连接$AD$。
$\because ∠ ABC=45°$，$AB=DB$，
$\therefore ∠ D=∠ DAB=\frac{1}{2}∠ ABC=22.5°$。
令$AC=x$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，
$\therefore BC=AC=x$，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，
$\therefore BD=AB=\sqrt{2}x$，
$\therefore CD=CB+DB=x+\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，即$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过构造等腰三角形将非特殊角转化为特殊角的一半，再结合直角三角形的边角关系求解非特殊角的三角函数值，重点考查知识迁移能力和类比推理能力，解题的关键是掌握构造半角的方法。
【难度系数】
0.7
1. 已知$\sin A = 0.8917$，运用科学计算器求锐角$A$时，若要显示以“度”“分”“秒”为单位的结果，按下的键是 【 】
A.$\sin^{-1}$
B.2ndf
C.DMS
D.ab/c
A.$\sin^{-1}$
B.2ndf
C.DMS
D.ab/c
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确题目核心需求：已通过反正弦运算得到小数形式的锐角A的度数，需要将其转换为“度”“分”“秒”为单位的显示结果，解题关键是准确区分各选项对应按键的功能，逐一排除不符合要求的选项即可锁定答案。
【解析】
逐个分析各选项按键的功能：
A选项$\sin^{-1}$是反正弦运算键，是已知正弦值求对应角度的第一步操作按键，不具备将小数度数转换为度分秒的功能，不符合要求；
B选项2ndf是第二功能切换键，仅用于调用按键上标注的第二功能，本身无法实现度分秒显示的功能，不符合要求；
C选项DMS键通常用于输入度分秒形式的角度，无法将已得到的小数度数转换为度分秒显示，不符合要求；
D选项ab/c键原本为分数转换显示键，在角度运算场景下，按下该键可将小数形式的度数转换为度、分、秒的形式显示，符合题目要求。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
计算器三角函数操作
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查科学计算器常用按键的功能，需要熟记各按键在三角函数运算中的作用，避免混淆不同按键的功能。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目核心需求：已通过反正弦运算得到小数形式的锐角A的度数，需要将其转换为“度”“分”“秒”为单位的显示结果，解题关键是准确区分各选项对应按键的功能，逐一排除不符合要求的选项即可锁定答案。
【解析】
逐个分析各选项按键的功能：
A选项$\sin^{-1}$是反正弦运算键，是已知正弦值求对应角度的第一步操作按键，不具备将小数度数转换为度分秒的功能，不符合要求；
B选项2ndf是第二功能切换键，仅用于调用按键上标注的第二功能，本身无法实现度分秒显示的功能，不符合要求；
C选项DMS键通常用于输入度分秒形式的角度，无法将已得到的小数度数转换为度分秒显示，不符合要求；
D选项ab/c键原本为分数转换显示键，在角度运算场景下，按下该键可将小数形式的度数转换为度、分、秒的形式显示，符合题目要求。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
计算器三角函数操作
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查科学计算器常用按键的功能，需要熟记各按键在三角函数运算中的作用，避免混淆不同按键的功能。
【难度系数】
0.7
2. $\cos 36.32°$的值约为 【 】
A.1.8057
B.0.5708
C.0.8057
D.0.8570
A.1.8057
B.0.5708
C.0.8057
D.0.8570
答案
C
解析
【分析】
这道题考查锐角余弦值的计算，解题可分两步推进：第一步先根据锐角余弦的取值范围快速排除错误选项，锐角的余弦值一定在0到1之间，因此大于1的A选项可直接排除；第二步按照计算器求锐角三角函数的标准操作步骤，计算36.32°的余弦值，对应匹配正确选项即可。
【解析】
1. 排除错误选项：对于任意锐角α，其余弦值满足$0＜\cosα＜1$，选项A的1.8057＞1，明显不符合取值范围，直接排除A。
2. 计算器操作计算：
① 先将计算器调整为角度计算模式；
② 依次按下“cos”键，输入数字“36.32”，再按下“=”键；
③ 读取输出结果约为0.8057，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
锐角余弦的取值范围；计算器求锐角三角函数值
【点评】
本题属于基础类题目，解题时可先利用锐角三角函数的取值范围快速排除明显错误的选项，提高做题效率；使用计算器计算时要提前确认处于角度模式，避免模式设置错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.9
这道题考查锐角余弦值的计算，解题可分两步推进：第一步先根据锐角余弦的取值范围快速排除错误选项，锐角的余弦值一定在0到1之间，因此大于1的A选项可直接排除；第二步按照计算器求锐角三角函数的标准操作步骤，计算36.32°的余弦值，对应匹配正确选项即可。
【解析】
1. 排除错误选项：对于任意锐角α，其余弦值满足$0＜\cosα＜1$，选项A的1.8057＞1，明显不符合取值范围，直接排除A。
2. 计算器操作计算：
① 先将计算器调整为角度计算模式；
② 依次按下“cos”键，输入数字“36.32”，再按下“=”键；
③ 读取输出结果约为0.8057，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
锐角余弦的取值范围；计算器求锐角三角函数值
【点评】
本题属于基础类题目，解题时可先利用锐角三角函数的取值范围快速排除明显错误的选项，提高做题效率；使用计算器计算时要提前确认处于角度模式，避免模式设置错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.9
3. 已知$\cosα = 0.7415926$，则$α$约为 【 】
A.$40°$
B.$41°$
C.$42°$
D.$43°$
A.$40°$
B.$41°$
C.$42°$
D.$43°$
答案
C
解析
【分析】
本题是已知锐角的余弦值求对应角度，解题思路有两种：一是利用锐角余弦函数的单调性（锐角范围内，角度越大，余弦值越小），通过比对常见整数度锐角的余弦值匹配答案；二是直接使用计算器计算反余弦值，再对应选项即可。
【解析】
方法1：利用余弦函数单调性判断
锐角范围内，余弦值随角度增大而减小，已知常见整数度的余弦值：
$\cos40°\approx0.7660$，$\cos41°\approx0.7547$，$\cos42°\approx0.7431$，$\cos43°\approx0.7314$
题目给出$\cosα=0.7415926$，该值与$\cos42°$的数值最接近，因此$α$约为$42°$。
方法2：计算器求解
将计算器切换至角度模式，输入$\arccos0.7415926$，计算得结果约为$42°$。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
余弦函数的增减性；用计算器求锐角角度
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对锐角三角函数变化规律的掌握，以及计算器操作的熟练度，只要掌握余弦函数的增减规律或会使用计算器求反三角函数值即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是已知锐角的余弦值求对应角度，解题思路有两种：一是利用锐角余弦函数的单调性（锐角范围内，角度越大，余弦值越小），通过比对常见整数度锐角的余弦值匹配答案；二是直接使用计算器计算反余弦值，再对应选项即可。
【解析】
方法1：利用余弦函数单调性判断
锐角范围内，余弦值随角度增大而减小，已知常见整数度的余弦值：
$\cos40°\approx0.7660$，$\cos41°\approx0.7547$，$\cos42°\approx0.7431$，$\cos43°\approx0.7314$
题目给出$\cosα=0.7415926$，该值与$\cos42°$的数值最接近，因此$α$约为$42°$。
方法2：计算器求解
将计算器切换至角度模式，输入$\arccos0.7415926$，计算得结果约为$42°$。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
余弦函数的增减性；用计算器求锐角角度
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对锐角三角函数变化规律的掌握，以及计算器操作的熟练度，只要掌握余弦函数的增减规律或会使用计算器求反三角函数值即可得分。
【难度系数】
0.8
