6. 在锐角三角形$ABC$中，$\sin A=\frac{1}{2}\tan C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$△ ABC$的形状是。

6. 等边三角形

【分析】
解题时首先从已知的三角函数等式入手，先利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，再通过变形求出tanC的值，进而得到∠C的度数，最后结合三角形内角和定理计算出∠B的度数，根据三个内角的度数即可判断三角形的形状。注意题目明确是锐角三角形，因此求角度时只需考虑0°~90°范围内的特殊角即可。
【解析】
解：已知$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$△ ABC$是锐角三角形，$∠ A$为锐角，
根据特殊角的三角函数值可得$∠ A=60°$。
又$\because \frac{1}{2}\tan C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
等式两边同时乘2得$\tan C=\sqrt{3}$，
$∠ C$为锐角，因此$∠ C=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-60°-60°=60°$。
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60°$，故$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是对特殊角三角函数值的识记，结合三角形内角和定理即可快速求出三个内角的度数，进而判定三角形的形状。
【难度系数】
0.8

ABC中，$|\sqrt{3}\tan A - 1| + (\sqrt{2} - 2\cos B)^2 = 0$，则$∠ C$的度数为。

7. $105°$

【分析】
本题可根据非负数的性质先求出∠A和∠B的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值确定∠A、∠B的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠C的度数。首先，我们知道绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此可列方程求出tanA和cosB的值；其次，对照特殊角的三角函数值，找到对应的∠A和∠B的度数；最后用三角形内角和180°减去∠A和∠B的度数，即可得到∠C的度数。
【解析】
∵ 绝对值和平方数均为非负数，且$|\sqrt{3}\tan A - 1| + (\sqrt{2} - 2\cos B)^2 = 0$
∴ 可得两个方程：
$\sqrt{3}\tan A - 1 = 0$，$\sqrt{2} - 2\cos B = 0$
解第一个方程：
$\sqrt{3}\tan A = 1$，即$\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ $\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ A = 30°$
解第二个方程：
$2\cos B = \sqrt{2}$，即$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠ B = 45°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，综合了非负数性质、特殊角三角函数值以及三角形内角和的相关知识，解题的核心是熟练记忆特殊角的三角函数值，能根据三角函数值快速对应角度，同时正确运用非负数的性质列等式求解。
【难度系数】
0.8

8. 计算：
(1) $3\tan^2 45° - \sqrt{3}(\sin 60° - 2\tan 30°)$；
(2) $\frac{3\tan 30° - 2\tan 60°}{\sin 60°} + \cos^2 25° + \sin^2 25°$；
(3) $(\sin 60° + \cos 45°)(\sin 60° - \cos 45°)$；
(4) $6\tan^2 30° - \sqrt{3}\sin 60° - 2\sin 45°$。

(1) $\frac{7}{2}$ (2) $-1$ (3) $\frac{1}{4}$ (4) $\frac{1}{2}-\sqrt{2}$

【分析】
解决这类计算题的核心思路是：首先准确记忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值，再结合代数式的运算规则（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的）计算，遇到可以用简便公式的部分（如同角三角函数平方关系、平方差公式）优先用公式简化运算，最后按照二次根式的运算规则化简得到结果即可。
【解析】
先明确用到的基础结论：$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；同角三角函数关系：$\sin^2α+\cos^2α=1$；平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(1) 原式$=3×1^2 - \sqrt{3}×(\frac{\sqrt{3}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3})$
$=3 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$=3 - \frac{3}{2} + 2$
$=\frac{7}{2}$
(2) 原式$=\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{3} - 2×\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + (\cos^225°+\sin^225°)$
$=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} +1$
$=\frac{-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} +1$
$=-2 +1$
$=-1$
(3) 原式$=\sin^260° - \cos^245°$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
$=\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$
$=\frac{1}{4}$
(4) 原式$=6×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} - 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=6×\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - \sqrt{2}$
$=2 - \frac{3}{2} - \sqrt{2}$
$=\frac{1}{2} - \sqrt{2}$
【答案】
(1) $\frac{7}{2}$；(2) $-1$；(3) $\frac{1}{4}$；(4) $\frac{1}{2}-\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式混合运算；同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是准确记忆特殊角的三角函数值，运算过程中合理运用公式可以简化计算、降低出错概率，需要注意运算顺序和二次根式化简的规范性。
【难度系数】
0.8

9. 如果锐角 A 的余弦值为$\frac{2}{3}$，下列关于锐角 A 的取值范围的说法中，正确的是 【 】

A.$0° ＜ ∠ A ＜ 30°$
B.$30° ＜ ∠ A ＜ 45°$
C.$45° ＜ ∠ A ＜ 60°$
D.$60° ＜ ∠ A ＜ 90°$

C

【分析】
要解决这道题可按以下思路推导：①先明确锐角余弦函数的增减性规律：锐角的余弦值随角度的增大而减小；②熟记30°、45°、60°这几个常用特殊角的余弦值，可换算为近似小数方便比较；③将已知的cosA=2/3也换算为近似小数，和特殊角的余弦值比对大小；④根据余弦的增减性，由余弦值的大小关系反推角度的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先写出常见特殊锐角的余弦值并换算为近似值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，
$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，
$\cos60°=\frac{1}{2}=0.5$，
已知$\cos A=\frac{2}{3}\approx0.667$，
因此可得余弦值的大小关系：$\cos60° ＜ \cos A ＜ \cos45°$，
又因为锐角的余弦值随角度的增大而减小，
所以对应角度的大小关系为：$45° ＜ ∠ A ＜ 60°$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，明确锐角余弦函数的变化规律，注意不要混淆正弦、余弦的增减性，避免推导角度范围时出现反向错误。
【难度系数】
0.7

10. 按如图所示的运算程序，能使输出的y值为$\frac{1}{2}$的是 【 】

A.$α=60°$，$β=45°$
B.$α=30°$，$β=45°$
C.$α=30°$，$β=30°$
D.$α=45°$，$β=30°$

（第10题） （第12题）

C

【分析】
首先明确运算程序的规则：先比较输入的α和β的大小，若α≥β，则按y=sinα计算输出值；若α＜β，则按y=cosβ计算输出值。接下来只需将四个选项的α、β值分别代入对应规则计算y值，筛选出y=1/2的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 选项A：α=60°，β=45°，满足α≥β，因此$y=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}≠\frac{1}{2}$，不符合要求；
2. 选项B：α=30°，β=45°，不满足α≥β，因此$y=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≠\frac{1}{2}$，不符合要求；
3. 选项C：α=30°，β=30°，满足α≥β，因此$y=\sin30°=\frac{1}{2}$，符合要求；
4. 选项D：α=45°，β=30°，满足α≥β，因此$y=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≠\frac{1}{2}$，不符合要求。
综上，只有选项C符合条件。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；程序框图运算；角度大小比较
【点评】
本题将程序运算与三角函数结合考查，难度较低，解题的核心是先根据α和β的大小关系选择对应的运算公式，再准确代入特殊角的三角函数值计算即可，只要熟记特殊角的三角函数值就能快速解答。
【难度系数】
0.8

11. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$△ ABC$的周长为。

11. $\dfrac{3\sqrt{3}+3}{4}$

【分析】
解题思路：本题可结合特殊角的三角函数值、直角三角形性质求解周长。第一步，根据已知的$\sin A$的值，结合特殊角的三角函数值确定$∠ A$的度数，进而得到$∠ B$的度数；第二步，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出较短直角边的长度；第三步，通过勾股定理求出另一条直角边的长度；第四步，将三边长度相加得到三角形周长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
1. 确定角的度数：
$\because \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ A$是直角三角形的锐角
$\therefore ∠ A=60°$，则$∠ B=90°-∠ A=30°$
2. 求直角边$AC$的长度：
$∠ B=30°$，其对边为$AC$，斜边$AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，根据30°直角三角形性质得：
$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
3. 求直角边$BC$的长度：
由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值计算：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2-(\dfrac{\sqrt{3}}{4})^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{16}}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$
4. 计算周长：
$△ ABC$的周长$=AB+BC+AC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}+3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}+3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础运算题，解题关键是熟练记忆特殊角的三角函数值，结合直角三角形的性质准确计算各边长度，运算时注意根式计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都是格点,则$\cos∠ BAC=$ .

12. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
要求$\cos∠BAC$的值，我们可以先计算$△ ABC$三边的长度，再判断三角形的形状，最后根据余弦的定义求解。步骤如下：①设每个小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算AB、BC、AC的长度；②通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是否为直角三角形；③若为直角三角形，根据余弦的定义“锐角的余弦=邻边/斜边”，代入对应边长化简即可得到结果。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因为$AB^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2=AC^2$，
所以$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
在$Rt△ ABC$中，根据余弦的定义：
$\cos∠ BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理及逆定理，余弦的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于网格类三角函数求值基础题，核心是通过网格特征结合勾股定理计算边长，再利用逆定理确定直角三角形，最后根据三角函数定义计算结果，解题时需注意数准格数，避免因边长计算错误失分。
【难度系数】
0.7