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9. 如图,在CD上求作一点P,使它到OA、OB的距离相等,则点P是 【 】
A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.OA与CD的中垂线的交点
A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.OA与CD的中垂线的交点
答案
C
解析
【分析】
解题时先从题目的要求入手：第一，点P要到OA、OB的距离相等，结合所学的角平分线相关性质，可知满足这个条件的点都在∠AOB的角平分线上；第二，点P必须在线段CD上。因此同时满足两个条件的点，就是∠AOB的角平分线和CD的交点，再逐一核对选项即可得到正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点，都在这个角的角平分线上。
本题要求点P到OA、OB的距离相等，因此点P一定在∠AOB的角平分线上，同时点P要在CD上，因此点P是CD与∠AOB的平分线的交点。
对其他选项逐一分析：
A. 线段CD的中点不一定在∠AOB的角平分线上，无法保证到OA、OB距离相等，错误；
B. 中垂线是针对线段的概念，OA、OB是射线，且中垂线上的点是到线段两端点距离相等，和到角两边距离相等的要求不符，错误；
D. OA是射线不存在中垂线，且中垂线性质不符合题目要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是区分角平分线和线段垂直平分线的性质差异，解题的关键是牢牢掌握“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一判定定理，结合点的位置限制即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目的要求入手：第一，点P要到OA、OB的距离相等，结合所学的角平分线相关性质，可知满足这个条件的点都在∠AOB的角平分线上；第二，点P必须在线段CD上。因此同时满足两个条件的点，就是∠AOB的角平分线和CD的交点，再逐一核对选项即可得到正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点，都在这个角的角平分线上。
本题要求点P到OA、OB的距离相等，因此点P一定在∠AOB的角平分线上，同时点P要在CD上，因此点P是CD与∠AOB的平分线的交点。
对其他选项逐一分析：
A. 线段CD的中点不一定在∠AOB的角平分线上，无法保证到OA、OB距离相等，错误；
B. 中垂线是针对线段的概念，OA、OB是射线，且中垂线上的点是到线段两端点距离相等，和到角两边距离相等的要求不符，错误；
D. OA是射线不存在中垂线，且中垂线性质不符合题目要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是区分角平分线和线段垂直平分线的性质差异，解题的关键是牢牢掌握“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一判定定理，结合点的位置限制即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，AB // CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE ⊥ AC交AC于点E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 【 】
A.2
B.4
C.5
D.6
A.2
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
求解本题首先要明确：两条平行线间的距离是指夹在两条平行线间的垂线段的长度，我们可以将AB与CD之间的距离转化为过点O分别向AB、CD作的垂线段的长度之和。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知O是∠BAC、∠ACD的平分线交点，且OE⊥AC，即可推出O到AB、CD的距离都等于OE的长度，进而求出两平行线的距离。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N。
1.
∵AO平分∠BAC，OM⊥AB，OE⊥AC，根据角平分线的性质，可得 $ OM=OE=2 $；
2.
∵CO平分∠ACD，ON⊥CD，OE⊥AC，根据角平分线的性质，可得 $ ON=OE=2 $；
3.
∵ $ AB// CD $，且 $ OM⊥ AB $、$ ON⊥ CD $，
∴M、O、N三点共线，AB与CD之间的距离为 $ OM+ON $；
4. 代入数值计算：$ OM+ON=2+2=4 $。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是合理作辅助线，将平行线间的距离转化为点到直线的距离之和，结合角平分线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
求解本题首先要明确：两条平行线间的距离是指夹在两条平行线间的垂线段的长度，我们可以将AB与CD之间的距离转化为过点O分别向AB、CD作的垂线段的长度之和。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知O是∠BAC、∠ACD的平分线交点，且OE⊥AC，即可推出O到AB、CD的距离都等于OE的长度，进而求出两平行线的距离。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N。
1.
∵AO平分∠BAC，OM⊥AB，OE⊥AC，根据角平分线的性质，可得 $ OM=OE=2 $；
2.
∵CO平分∠ACD，ON⊥CD，OE⊥AC，根据角平分线的性质，可得 $ ON=OE=2 $；
3.
∵ $ AB// CD $，且 $ OM⊥ AB $、$ ON⊥ CD $，
∴M、O、N三点共线，AB与CD之间的距离为 $ OM+ON $；
4. 代入数值计算：$ OM+ON=2+2=4 $。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是合理作辅助线，将平行线间的距离转化为点到直线的距离之和，结合角平分线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是30 cm²，AB=18 cm，BC=12 cm，则DE=
2
cm.答案
11. 2
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知，△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，我们可过D作BC的垂线DF，根据角平分线性质得DE=DF，再结合两个小三角形的面积和等于大三角形面积，代入已知数据即可求出DE的长度。
【解析】
解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
已知$S_{△ ABC}=30\mathrm{cm}^2$，$AB=18\mathrm{cm}$，$BC=12\mathrm{cm}$，
且$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$可得：
$\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×BC×DF = 30$，
又
∵DE=DF，代入得：
$\frac{1}{2}×18×DE + \frac{1}{2}×12×DE = 30$，
化简得：$9DE + 6DE = 30$，
即$15DE=30$，
解得$DE=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；面积和差法
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，通过割补法将大三角形面积转化为两个小三角形的面积和，进而建立等式求解，能较好地考查学生对基础性质的应用和转化思想的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知，△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，我们可过D作BC的垂线DF，根据角平分线性质得DE=DF，再结合两个小三角形的面积和等于大三角形面积，代入已知数据即可求出DE的长度。
【解析】
解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
已知$S_{△ ABC}=30\mathrm{cm}^2$，$AB=18\mathrm{cm}$，$BC=12\mathrm{cm}$，
且$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$可得：
$\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×BC×DF = 30$，
又
∵DE=DF，代入得：
$\frac{1}{2}×18×DE + \frac{1}{2}×12×DE = 30$，
化简得：$9DE + 6DE = 30$，
即$15DE=30$，
解得$DE=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；面积和差法
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，通过割补法将大三角形面积转化为两个小三角形的面积和，进而建立等式求解，能较好地考查学生对基础性质的应用和转化思想的掌握。
【难度系数】
0.7
12.（威海期中）如图①，两条交叉马路OM、ON的中间区域建有A、B两个温室花房.现要在两条马路OM、ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM、ON的距离相等，且到两个温室花房A、B的距离也相等.如何确定交易中心P的位置？图②是示意图，利用尺规作图在图②中求作点P.（不写作法，保留作图痕迹）
答案
如图，点P即为所求作的点
解析
【分析】
要确定点P的位置，需同时满足两个条件：①到OM、ON的距离相等，根据角平分线的性质，满足该条件的点都在∠MON的角平分线上；②到A、B两点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在线段AB的垂直平分线上。因此只需分别作出这两条线，它们的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
首先用尺规作∠MON的角平分线，再用尺规作线段AB的垂直平分线，两条线的交点即为所求的点P，作图时保留角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹即可。
【答案】
如图，点P即为所求作的点
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图的实际应用类问题，核心是将实际的距离相等要求转化为对应的几何轨迹，两个轨迹的交点即为所求点，掌握角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定点P的位置，需同时满足两个条件：①到OM、ON的距离相等，根据角平分线的性质，满足该条件的点都在∠MON的角平分线上；②到A、B两点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在线段AB的垂直平分线上。因此只需分别作出这两条线，它们的交点就是同时满足两个条件的点P。
【解析】
首先用尺规作∠MON的角平分线，再用尺规作线段AB的垂直平分线，两条线的交点即为所求的点P，作图时保留角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹即可。
【答案】
如图，点P即为所求作的点
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图的实际应用类问题，核心是将实际的距离相等要求转化为对应的几何轨迹，两个轨迹的交点即为所求点，掌握角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
