登录
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AC=11$.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规在边 $BC$ 上求作一点 $D$,使 $S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB: AC$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 在(1)所作的图形中,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$,若 $CD=4$, $S_{△ ABD}=30$,求 $BE$ 的长.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规在边 $BC$ 上求作一点 $D$,使 $S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB: AC$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 在(1)所作的图形中,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$,若 $CD=4$, $S_{△ ABD}=30$,求 $BE$ 的长.
答案
13. (1) 如图，作$∠ BAC$的平分线，交BC于点D，则点D即为所求作的点
(2) 由条件可知，$DC=DE=4$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，$\because \begin{cases} AD = AD, \\ DC = DE, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED. \therefore AE = AC = 11. \because S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB × DE = 30$，$\therefore AB = 15. \therefore BE = AB - AE = 4$
解析
【分析】
(1) 要满足$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB: AC$，先写出两个三角形的面积公式：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × h_1$（$h_1$是点D到AB的距离），$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × h_2$（$h_2$是点D到AC的距离，即CD），化简比值可得需要$h_1=h_2$。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需作$∠ BAC$的角平分线，与BC的交点即为所求点D。
(2) 首先利用角平分线的性质得到$DE=CD=4$，再结合$△ ABD$的面积公式求出AB的长度；之后通过HL判定直角三角形全等，得到$AE=AC=11$，最后用AB的长度减去AE的长度即可得到BE的长。
【解析】
(1) 用尺规作$∠ BAC$的平分线，交BC于点D，点D即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 解：$\because$AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$即$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
$\therefore$由角平分线的性质得$DC=DE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中：
$\begin{cases} AD = AD \\ DC = DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE = AC = 11$。
$\because S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AB · DE = 30$，将$DE=4$代入得：
$\frac{1}{2} × AB × 4 = 30$，解得$AB=15$。
$\therefore BE = AB - AE = 15 - 11 = 4$。
【答案】
(1) 如图，作$∠ BAC$的平分线，交BC于点D，则点D即为所求作的点
(2) $BE$的长为4
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查尺规作图、几何证明与计算，解题的核心是通过面积比的要求关联到角平分线的性质，作图要注意规范，解题时可通过全等三角形转化相等线段，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 要满足$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB: AC$，先写出两个三角形的面积公式：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × h_1$（$h_1$是点D到AB的距离），$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × h_2$（$h_2$是点D到AC的距离，即CD），化简比值可得需要$h_1=h_2$。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需作$∠ BAC$的角平分线，与BC的交点即为所求点D。
(2) 首先利用角平分线的性质得到$DE=CD=4$，再结合$△ ABD$的面积公式求出AB的长度；之后通过HL判定直角三角形全等，得到$AE=AC=11$，最后用AB的长度减去AE的长度即可得到BE的长。
【解析】
(1) 用尺规作$∠ BAC$的平分线，交BC于点D，点D即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 解：$\because$AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$即$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
$\therefore$由角平分线的性质得$DC=DE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中：
$\begin{cases} AD = AD \\ DC = DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE = AC = 11$。
$\because S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AB · DE = 30$，将$DE=4$代入得：
$\frac{1}{2} × AB × 4 = 30$，解得$AB=15$。
$\therefore BE = AB - AE = 15 - 11 = 4$。
【答案】
(1) 如图，作$∠ BAC$的平分线，交BC于点D，则点D即为所求作的点
(2) $BE$的长为4
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查尺规作图、几何证明与计算，解题的核心是通过面积比的要求关联到角平分线的性质，作图要注意规范，解题时可通过全等三角形转化相等线段，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
14. 如图，$∠ ABC$和$∠ ACD$的平分线相交于点$E$，过点$E$作$EG ⊥ BA$交$BA$的延长线于点$G$，$EF ⊥ AC$交$AC$于点$F$。
（1）求证：$EG = EF$；
（2）连结$AE$，求证：$∠ AEG = ∠ AEF$。
（1）求证：$EG = EF$；
（2）连结$AE$，求证：$∠ AEG = ∠ AEF$。
答案
(1) 过点E作$EH ⊥ BD$于点H. $\because BE$平分$∠ ABC$，$EG ⊥ BA$，$EH ⊥ BD$，$\therefore EG = EH. \because CE$平分$∠ ACD$，$EF ⊥ AC$，$EH ⊥ CD$，$\therefore EF = EH. \therefore EG = EF$
(2) $\because EG ⊥ BA$，$EF ⊥ AC$，$\therefore ∠ AGE = 90° = ∠ AFE$. 在$\mathrm{Rt}△ AEG$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\because \begin{cases} EG = EF, \\ AE = AE, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ AEG ≌ \mathrm{Rt}△ AEF. \therefore ∠ AEG = ∠ AEF$
解析
【分析】
（1）要证明$EG=EF$，可利用角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知点E同时在$∠ABC$和$∠ACD$的平分线上，已有$EG⊥BA$、$EF⊥AC$，我们可过点E作$EH⊥BD$于H，先通过BE是角平分线得$EG=EH$，再通过CE是角平分线得$EF=EH$，等量代换即可得到$EG=EF$。
（2）要证明$∠AEG=∠AEF$，观察两个角分别属于$\mathrm{Rt}△AEG$和$\mathrm{Rt}△AEF$，结合第一问结论$EG=EF$，且AE是两个三角形的公共斜边，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再由全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
(1) 过点E作$EH ⊥ BD$于点H。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EG ⊥ BA$，$EH ⊥ BD$，
$\therefore EG = EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because CE$平分$∠ ACD$，$EF ⊥ AC$，$EH ⊥ CD$，
$\therefore EF = EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\therefore EG = EF$。
(2) $\because EG ⊥ BA$，$EF ⊥ AC$，
$\therefore ∠ AGE = 90° = ∠ AFE$，即$△ AEG$和$△ AEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AEG$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，
$\because \begin{cases} EG = EF, \\ AE = AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEG ≌ \mathrm{Rt}△ AEF \ (\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ AEG = ∠ AEF$（全等三角形对应角相等）。
【答案】
(1) 过点E作$EH ⊥ BD$于点H. $\because BE$平分$∠ ABC$，$EG ⊥ BA$，$EH ⊥ BD$，$\therefore EG = EH. \because CE$平分$∠ ACD$，$EF ⊥ AC$，$EH ⊥ CD$，$\therefore EF = EH. \therefore EG = EF$
(2) $\because EG ⊥ BA$，$EF ⊥ AC$，$\therefore ∠ AGE = 90° = ∠ AFE$. 在$\mathrm{Rt}△ AEG$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\because \begin{cases} EG = EF, \\ AE = AE, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ AEG ≌ \mathrm{Rt}△ AEF. \therefore ∠ AEG = ∠ AEF$
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形应用的基础典型题，构造辅助线EH是解决第一问的关键，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$EG=EF$，可利用角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知点E同时在$∠ABC$和$∠ACD$的平分线上，已有$EG⊥BA$、$EF⊥AC$，我们可过点E作$EH⊥BD$于H，先通过BE是角平分线得$EG=EH$，再通过CE是角平分线得$EF=EH$，等量代换即可得到$EG=EF$。
（2）要证明$∠AEG=∠AEF$，观察两个角分别属于$\mathrm{Rt}△AEG$和$\mathrm{Rt}△AEF$，结合第一问结论$EG=EF$，且AE是两个三角形的公共斜边，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再由全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
(1) 过点E作$EH ⊥ BD$于点H。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EG ⊥ BA$，$EH ⊥ BD$，
$\therefore EG = EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because CE$平分$∠ ACD$，$EF ⊥ AC$，$EH ⊥ CD$，
$\therefore EF = EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\therefore EG = EF$。
(2) $\because EG ⊥ BA$，$EF ⊥ AC$，
$\therefore ∠ AGE = 90° = ∠ AFE$，即$△ AEG$和$△ AEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AEG$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，
$\because \begin{cases} EG = EF, \\ AE = AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEG ≌ \mathrm{Rt}△ AEF \ (\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ AEG = ∠ AEF$（全等三角形对应角相等）。
【答案】
(1) 过点E作$EH ⊥ BD$于点H. $\because BE$平分$∠ ABC$，$EG ⊥ BA$，$EH ⊥ BD$，$\therefore EG = EH. \because CE$平分$∠ ACD$，$EF ⊥ AC$，$EH ⊥ CD$，$\therefore EF = EH. \therefore EG = EF$
(2) $\because EG ⊥ BA$，$EF ⊥ AC$，$\therefore ∠ AGE = 90° = ∠ AFE$. 在$\mathrm{Rt}△ AEG$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\because \begin{cases} EG = EF, \\ AE = AE, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ AEG ≌ \mathrm{Rt}△ AEF. \therefore ∠ AEG = ∠ AEF$
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形应用的基础典型题，构造辅助线EH是解决第一问的关键，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
